CHAPITRE PREMIER

463. Dans les livres qui précèdent , nous avons vu comment on détermine, sur la surface d'un corps , les parties qui sont éclairées et celles qui sont obscures. Nous allons maintenant rechercher les causes d'où résultent les différences d'intensité de la lumière et de l'ombre sur les surfaces.

464. Lorsqu'un rayon de lumière sm (/îgf. 152, pi, 55), rencontre une surface plane et parfaitement uni6 , il est renvoyé par cette surface dans une direction mv , telle que mn étant la normale à la surface , on doit toujours avoir l'angle ^mn égal à l'angle nm/c , ou , ce qui est la même chose , l'angle smp égal à l'angle nymq.

465. L'angle smp est ce que Ton nomme Vangîe d'inctdsnce, et l'angle vmq est Vanglede réflexion. ,

314 POINTS BRILLAimi. Al,; 5{(.

466. Ces deux angles sont toujours situés dans un même plan perpendiculaire au plan pY et contenant paf gçj^^^i^jjgnt la normale mn*

C'est dans les traités de physique qu'il faut chercher Texplication du principe pr^cédent^ nQU^ n^us bornerons ici à en étudier les effets.

467. Supposons {fig. 153) une surface plane pV parfaitement polie , comme , par exemple, une glace ou une planche de métal.

Supposons de plus qu'il y ait en s un point lumineux, et que notre œil soit au point v. Il est évident que les rayons 8m\sm" renvoyés dans les directions mV, m"v" ne rencontreront pas notre œil , et ne pourront, par conséquent, produire pour nous aucupq fepsqtjon , t^p^s; qut^ |ç f^yon mv provenant de la réflexion du rayon «m, produira pour nous le même effet que si le point lumineux était situé en m ; d'où il résulte que, vue du point v', la surface du plan parattra obscure, à l'exception du point m que l'on nomme lepoint brillant.

468 Voyons fiotuellemeni comment on pourrait parvenir à construire les points brillants sur uqe surface quelconque.

Soit par exemple (/!gf. 454), une surface AB sur laquelle od veut obtenir le point brillant oi, en admettant que 9 soit le point lumineux et que Tœil soit situé en v.

Concevons une infinité d'ellipsoïdes de révolution qui aient tous pour foyers les points s et t? ; il y aura nécessairement un de ces ellipsoïdes qui touchera la surfecé donnée , et le point de tangènce m sera lé point brillant demandé.

En efflst, si Ton conçoit le plan tangent pq et la normale mn^ on aura l'angle smnz=:nmv^ et par iBonséquent Fangle d'incidence smp égale l'angle de réflexion vmq'^ on peut donc résumer ainsi le principe général ;

i"" On construiM un ellipsoïde 4e iPévaliiltoH qui aurait

Bl, 55. POINTS BOMLLANTa dift

pour foyen Vml et le point lumineux eê qui serait tangent à la surface donnée.

2° Le point de tangence déterminé avec exactitude sera le poinjtbfillantd^cin^.

469. Il peut, dans certains cas, y avoir plusieurs solutions : ainsi , sur une surface qui auniit des parties convexes et concaves, il pourrait y avoir dans la partie concave un autre point brillapt m\ qui serait déterminé pa;* un second ellipsoïde tangent, ayant le^ ménies foyers que le premier.

jpln général , jl y aur^ autant de points brillants que Ton pourra concevoir d'ellipsoïdes tangents à la surfac^.

470. PareiUçmpnt, tous les points suivi^pt lesquels l'un de ces ellipspïdes serai^ touché par une surface quelconque , seraient des points brillants de cette surfac^ , et Ton conçoit aue si l'un de ces ellipsoïdes qui ont pour, foyers Tœil et le point lumineqx éta\t solide, bien poli, et vu intérieurement du point D, tous ses points seraient brillants, puisque pour un quelconque m" de ces points, on aurait toujours l'angle smV z=nVv\ ou l'angle d'incidence smV'=rm"9", en admettant que p"fl" soit le plan tangent en m".

Cette propr jeté, ainsi que Tçaiploi de cette surface dans la solution dp problème général, nous engageront à J?^ non^nier ellipsoïde brillant auodliaire.

471 . Si l'un des deux points , le point v, par exemple, reculait dans la direction mv {fig, ISo), cela changerait les diH^nsiqns de l'ellipsoïde au&iUalpe et la direction de soagfand axe , qui deviendrait successivement at^', sv^* ^ ifnm le point brillant «m serait toujours le mémp. Enfin , si le point v reculait jusqu'il l^iiifini dans la direction mvl\ l'eUipsotde se tsaniformerait en ma parahqtoîde da ravolution unus, qui t^r^it pai^r axe la droite w'" parallèle à mv". . , -. .^jvm ,

Cest le cas où , la lumière mv provenant du soleil , l'œil serait à une distance finie $m de l'objet proposé.

472. Enfin, si nous reprenons {fig. 156) le paraboloîde de révolution auquel nous sommes parvenu {fig. 155), et si nous supposons que le point v , restant à Tinfini dans la direction mv, le point $ recule à son tour en suivant le rayon ms , le paramètre du paraboloîde augmentera, et par conséquent la courbure de la surface diminuera jusqu'à ce que le point $ soit arrivé à Finfini :, alors le paraboloîde se confondra avec le plan tangent p9, qui, pour ce cas, remplace l'ellipsoïde brillant auxiliaire du principe général.

Dans cette dernière bypothèse , tous les points du plan pq et de tout plan pV' parallèle à pg seront brillants ; en effet, les points 5 et v étant reculés jusqu'à Tinfini , tous les rayons incidents «m, «W, «"m" seront parallèles entre eux 5 tous les rayons visuels mu, mV, mV seront pareillement parallèles, et par conséquent toutes les bissectrices mn^ m'6', m"6" seront parallèles.

Quant à la surface proposée , il est évident que si on la suppose vue du point V, situé à l'infini dans la direction mi?, elle n'aura de points brillants que ceux pour lesquels la direction de la normale mn sera parallèle à la direction des bissectrices m'6', m"6", parce qu'alors le rayon réfléchi se confondra avec le rayon visuel , ce qui n'a pas lieu pour les autres points de la surface.

473. De ce que nous venons de dire , il résultera que, pour le cas où le point lumineux et l'œil seraient tous deux à l'infini , il faudra en général opérer de la manière suivante :

1® On ehouira àan$ V espace (/I9. 157) un point quelconque m , par lequel on construira un rayon de lumière sm et un rayon visuel mv.

2^ On partagea en deux parties égales V angle smv par la droite mb, qui sera la direction des bissectrices.

3* On construira tous les plans tangents à la surface , perpendiculairement à la direction mb.

4* Tous les points de tangence déterminés avec exactitude seront des points brillants de la surface proposée.

474. Nous donnerons le nom de plan brillant auociliaire à tout plan pq , pV perpendiculaire à la direction des bissectrices.

Quoique le principe qui vient d'être énoncé ne soit qu'un cas particulier de celui du numéro 244, il possède cependant un caractère de généralité suffisant pour les applications qui doivent faire le sujet de cet ouvrage puisque dans les dessins de ringénieur, on suppose toujours que la lumière vient du soleil , et que l'œil est à une distance infinie du plan de projection. •"

Nous allons appliquer les principes précédents à quelques exemples.

Construction de points brillants.

475. Cylindre. Dans Thypothèse d'un point de vue et d'un point lumineux situés tous les deux à une distance infinie de Tobjet , il n'y a presque jamais de points brillants sur un cylindre.

£n effet , le plan brillant auxiliaire ne pourra être tangent au cylindre que dans le cas où la direction des bissectrices . ferait elle-même un angle droit avec celle du cylindre.

Dans ce cas, tous les points de la génératrice suivant laquelle le cylindre serait touché par le plan brillant auxiliaire seraient eux-mêmes brillants, et formeraient ce que nous nommerons une lignfi brillante.

318 POINTS 8Rfl.UNT8; PL. 36^

Supposons donc que l'on âil(/i9. 158 et 150 $ pi. 36) '^^ deux projections d'un cylindre , et {f§, 160 et 161 ) les deui projections sm, d'un rayon lumineux i il s'agit de reedbnâître sHl existe une ligne brillante sur la piiojeciioa vertieat'é du oyliiàdre ; voici quel sera l'ordre des opérations :

Le point de vue pour la projection ld8 éiant à une distance infinie du plan vertical de projection, le rayon visuel sera projeté {fig. 161) par la droite mv et (/Sgr^ 160) par le poifitm.

Le plan qui contient les deux rayons snti^vm étant rabatta autour de mv , l'angle smv deviendra sW \ on construira la bissectrice m 6 qui, étant ramenée à sa plaee^ aura pour ses deux projections mi', m».

Il n'y aura plus qu'à reconnaître si, parmi tous les plans tangents au cylindre, il y en a un perpendiculaire à eette droite.

Dans cette hypothèse, la trace horizontale pq doit être perpendiculaire à la projection horizontale mb\

De plus, la droite mV parallèle à la iraoe verticale du plan tangent pq doit faire un angle droit avec la projection verticale Vfis ou m'fr'' de la bissectrice.

Si ces conditions ont lieu, la génératrice mW sera la ligne brillante de la projection l8d.

Lorsque l'angle nWfr" sera plus petit ou plus grand qu'un angle droit, il n'y aurtt i^as de p6ittt ni de ligiie brillante sur la pr(^ection verticale du cylindre.

476. C6ne. Pour qu'y y ait une ligne brillante sur le cône, il ne suffit pas que Tune de ses géAëratt'iof^s soit perpendicuiaird à la bissectrice, il faut encore que le pltii tangent conduit suivant cette géliérstriee, soit parallèle «u plan brillant auxiliaire.

Or, ces deux conditions ne pourraient se trouver réunies qsue par le plus grand dds hasards *, aussi peat-^dif dire en général qu'il n'y a pas de points brillants sut un bôAeè

PiU 50» POINTS BRILLANTO. 319

Il Qe faut pas oublier que nous parlons toujours dans l'hypothèse d'un point de vue et d'un point lumineux situés à l'infini.

SUf là figuré i63, la gétléràtrice MW' Ost une ligné brillante, patM ((Ue le plan tangent sntvàAt cette* ligne est perpetidtediairè à là bissectrice.

En effet, sa traée horizontale pq èit petpéiifdiculaife à fàV (fi^. 161},' et la droHe mV, parallèle à la trace verticale, fait un angle droit avec m'b" parallèle à fns.

477. Sphifèf. Les deux cercles 166 et 167 étant tes àent pre^ections d'àtlé sphère, et les drdites os étant lëi projection» i'iiù rayon de lumière, an vetrt construire le point brillant sur la projection verticale 166.

On rabattra (/i0. 167) l'angle «o^ysur le plan horiaontal qui contient le c^atie deld sphère ^ ce qui donnera »W; ofl 6on«f struica la iHfi^âctrke oft, et le^ point il^ où oette ligne perce )a ^^bère éjtoQ^t ranMiié en m' et de là ea^ m" sera le poini cherché.

Eo (tffàit^' il eit 4vi4etti que k» fk^n tangent en m" sera perpendiçillaifie àila biifsedHriee^ el qu« par conséquent te point m" sera brillant*

478.. Smi(9ce de rémhUion. Pour e<H>9truire le point brillant sun la pcajection verticale 4e l'ellipsoide {fig, 164), nous avons supposé la même direetion de la lumière que dans l'exemple précédent.'

1^ bissectrice ayant été transportée es oSf ob'y il ne restait plus qu'à construire un plan tangent perpendiculaire à cette droite.

Pour y parvenir, on a fait tourner le méFi4i^(^,o6' jusqu'à c^.fju'il soit aiprivéeo e6''; par suke de ce mouvement) la bissecU;icfi est v^^^ &e placer en ob'",, et la taagante pq perpendiculaire à 0^"' est la tva^e dru plan brHIatii aiixiliaii*e.

Le point de tangence m projeté en ni a été ramené en m",

d'où on a déduit ni" pour le point brillant demandé.

479. Dans la figure 169, on s'est proposé de construire les points brillants sur la projection horizontale d'un tore.

Les droites $o étant les deux projections d'un rayon de lumière, et le rayon visuel étant la verticale ot,

On a fait tourner le plan méridien vo$ jusqu'en voJ^ et Ton a construit la bisBectrice oft.

l^es deux rayons cm parallèles à cette bissectrice ont déterminé les points m suivant lesquels la surface du tore est touchée par les plans brillants auxiliaires \ ces points projetés en ni et ramenés de la dans le méridien sni^ ont donné les deux points brillants ni\

480. Les mômes moyens ont été employés (/Igf. 170, pL 37) pour construire tous les points brillants du piédouche.

L'angle 50t étant rabattu (/S^. 172) autour du rayon ov, on a construit la bissectrice ob qui, ramenée à sa place, a pour projection les deux droites os^ ob'.

La bissectrice 0$^ ob' ayant été transportée (fig. 168 et 169), on l'a rabattue sur le plan vertical de projection en la faisant tourner autour de la verticale projetante du point o, ce qui a donné ob". ^

Enfin toutes les tangentes pq menées ((fig. 170) perpendiculairement à la bissectrice ob" sont les traces de tous les plans brillants tangents au piédouche.

Ces plans sont au nombre de cinq et déterminent autant de points brillants m. Savoir :

Un sur le quart de rond ;

Un sur la scotie;

Un sur le tore;

Deux , sur les arêtes supérieures des filets , que l'on peut considérer comme des petites surfaces annulaires dont le cercle générateur aurait un rayon infiniment petit.

481. £d effet, dans les applications, les intersections des surfaces ne sont jamais des lignes rigoureusement mathématiques.

Ainsi, par exemple, Tintersection de deux faces planes d'un corps est presque toujours un peu arrondie, et forme par conséquent une petite surface cylindrique tangente aux plans qui forment ces faces.

Par la même raison, les arêtes supérieures des filets du piédouche peuvent être considérées comme des portions de surfaces annulaires engendrées par des cercles d'un rayon très-petit.

En regardant les arêtes d*un corps poli, le lecteur sera convaincu de la nécessité de tenir compte de ces effets dans la pratique du dessin.

482. Surfaces réglées. Supposons que Ton ait (fig, 177 et 178) une portion de surface réglée, projetée sur un plan parallèle au rayon de lumière 50, on veut obtenir le point brillant sur la projection horizontale 178.

Dans ce cas, le rayon visuel sera la verticale ov, et la bissectrice sera 06.

La génératrice pg, perpendiculaire sur la bissectrice 06, sera la trace verticale du pian brillant auxiliaire.

Ce plan 4tant perpendiculaire au plan vertical de projection, il sera facile de construire la courbe zx^ suivant laquelle il coupe les autres génératrices de la surface.

Le point de tangence m' sera le point brillant demandé.

Si la surface n'était pas projetée sur un plan parallèle au rayon lumineux, on ferait une projection auxiliaire.

483. Par suite de l'obliquité suivant laquelle les génératrices percent le plan tangent, on peut être forcé de chercher d'autres moyens de déterminer le point de tangence.

Sapposons,'par, exemple, qu'il s'agisse d'obtenir le point

aee pourra ihullants. pi,. 37.

brillant sur la surface supérieure du filet d'une vis triangtitaire projetée {fig, 17â)<

La direction de la lumière étant donnée par ses deux ]wojectioDS o< (/Sjf. 173 et 174), on rabattra j'angle «ot? en â'ov, puis on i^Bsiruira la bisseoiricc o&) qui, ram^Dée à sa piace, &era projetée par les deux droites os {fig. 173) et oH^ {fig. 174).

Cela étant fait, on remarquera que le plan brillant auxiliaire doit satisfaire aux conditions suivantes :

1"^ 11 doit être tangent à la surface réglée proposée^ ^u^.^^ H doit être perpendioulake à la bissedfice, et par conséquent il doit faire avec le plan horizontal un angle Vof^ eomplément de h"oh^ qui exprime Tinclinaison de la bissectrice.

Or, si par le point c de la figure 1 75 nous construisons la droite ex perpendiculaire sur la bissectrice 6"o, Tangle cxp sera égal à ll'or^ et tout plan tangent au c6ne circulaire engendré par eâo, fera avec le plan horizontal un angle 6"dr.

Ainsi ^ la droite op étant une génératrice de la surface, si Ton construit la droite pq tangente à la eirt^onférance jcn'n, te plan cpf jouira de la double propriété d*étre tangent à la surface, puisqu'il contient la génératrice cp, et d'être comveuabk^ent tnclfiné sur le plan hopîzoqtal^ pursqii^l est tangent au cAne engendré par la droite ex,

, Si no«s faisofi9 actuellement tourner le plMi epq jusqu-à ce que sa tiraee horizoalàle soit devenue ]»Y perpendiculaire aur oV {fig. 174), il deviendra briUasity ear^ dans cette nonvdle positÂon^'îl sera perpendiculaire à la bissectrice, mais il aura cessé d'être tttBgent, puisifael» droite ep aunr^^itté la surface pour, veiiir éprendre la posilian cp'. ' . /'

Or, si on fait remonter le plan cp'q' parallèlement à luimême, il sera de nouToau tanigéôt à iasupfeoe lorsctue la iteiiee'e' {fig, 175)sefa venue'seplaceren d'é^'.