DROITES

« An*

S. U sera aussi facile tte tracer par points sur une projection l'orbite AB d'une comète ou d'une planète, orbite ordinairement donnée par son inclinaison BCE = vCK = n sur l'écliptique vt, et par la longitude vC s= k du tw*ud Q$cenda»l t c'est-à-dire du point d'intersection avec l'écliptique (fig. 9).

On déterminera en fonction de ces données l'inclinaison BAE =» N

de l'orbite sur Téquateur et l'ascension droite yA = K du nœud ascendant à l'aide des formules suivantes :

cosN = cose cosn — sine sin n cosAr, cotangn sin e -f cose cosfc

co,an « K = Si ;

et, comme vérification, on devra avoir

sin N sin K = sin n sin k.

Quand on connaîtra N et K, on trouvera le point d'intersection M de l'orbite avec un méridien donné PD de la sphère céleste dont l'ascension droite vD sera représentée par a, à l'aide du triangle ADM rectangle en D. En appelant 8 la déclinaison cherchée DM de ce point, on aura

tang 8 = sin (a — K) tang N.

Par exemple, pour la comète de 181 i, on aurait

n = 106- 57' 24\ * = 140*24'30", e = 23*27' 50"; on trouve

donc

tang 8 = 1,58679 sin («— 142» 25').

En faisant successivement a = 0°, a = 10% a = 20*, a = 30*... on obtient

TBÉOBIE CÉRÉBALE MS P10JECTI0RS.

•. Nous avons montré précédemment que la théorie générale des projections pouvait être ramenée au principe de la transformation des méridiens et des parallèles en d'autres lignes droites ou courbes tracées sur un plan d'après des conditions relatives aux propriétés que doit avoir la carte ; cette théorie est indépendante de la forme particulière attribuée à la surface de révolution que l'on considère, et suppose seulement qu'un point quelconque de cette surface est défini par l'arc de méridien s qui mesure sa distance au pôle et qui est une fonction connue de la latitude /, et par l'angle de ce méridien avec

CHAP. I. — COHSIDIlÀTIOÎlS GÉNÉRALES. 25

celui que l'on prend pour premier méridien, c'est-à-dire par la longitude t.

Imaginons maintenant que le même lieu soit placé sur la carte géographique de manière que sa position soit déterminée par deux coordonnées rectangulaires x et y comptées à partir d'une origine quelconque. Ces deux variables s et y doivent dépendre de s et de t et par conséquent de l et de t , et l'on voit que si, dans ces fonctions on fait la variable t constante, on aura les coordonnées de la courbe qui représente le méridien dont la longitude est t; au contraire, si l'on y fait $ et par suite l constante, on aura les coordonnées de la courbe qui représente le parallèle auquel répond l'arc de méridien s.

Considérons sur l'ellipsoïde de révolution deux parallèles et deux méridiens infiniment voisins se coupant respectivement en A, B, A', B' ; appelons a, 6, a! b' les points correspondants de la carte et qui sont les extrémités d'arcs infiniment petits de méridiens et de parallèles de la projection. Les coordonnées de A étant s et f , celles de B seront s et t -f- dt, celles de A', s + ds et (, et celles de B', s + ds t et t + dt. De plus si nous appelons r le rayon du parallèle de A, rayon qui, comme l'arc *, ne dépend que de la latitude J, nous pourrons exprimer les longueurs des côtés du petit quadrilatère considéré :

AB = rdt et AA' = <fr.

Quant à la distance AB' elle sera évidemment exprimée par

AB'=v / rW + d« 1 .

Considérons maintenant (fig. 10) le petit quadrilatère aba'b' de la

carte ; les coordonnées x, y de a étant fonctions de la latitude et de

la longitude, celles de 6 s'obtiendront en faisant varier la longitude

seule et cherchant l' accroissement correspondant de x et y ; elles

doc du pourront donc être représentées par x -f- — dt et y + dt. De

même celles de a' pourront s'exprimer par * + dl, et y + dl ;

enfin celles de b' par x -f-~ dl + $ dt et y + %dl + ^dt.

al at al dt

Il en résulte que

^=pp'=^rf/, et que pb = ws ^dl,

26 PABTIB. — THEOBIS DES PROJECTIONS.

ce qui montre que

aa' = bb' et que ab = a'b' .

c'est-à- dire que le quadrilatère ABA'B' est représenté par un parallélogramme aba'b'. Les côtés de ce parallélogramme sont

Enfin les angles de ab et aa' avec l'arc des abscisses ont respectivement pour tangentes

et l'angle du méridien et du parallèle est donné par l'équation

dy dx dy dx Il dt ~ dt H

tang t ~~ Jy fa fa'

dîTt+dîdt

Si l'on veut que cet angle soit droit comme sur le sphéroïde, il faut que l'on ait

dy dx

dx dx dy dy dl dt

Tl Tt~~"~Tl dt 011 dx~~ dy'

dl dl

Si l'on demandait que les deux figures ABA'B', aba'b' fussent nonseulement semblables, mais égales, il faudrait : 1° que ab fût égal à AB :

2* que aa' fût égal à AA'

CPAP. I. - C0N8IDÉR4TlQIf8 GÊNÊR41ES. 27

»• que l'angle bao! fût droit :

dy dx Tl dt

•w» mmmm ■ *

cU ~~ rfy' dl dt

or si nous posons

* dl

la troisième condition donnera

dy dt

^ = -cotang ? ;

par conséquent

dl dl r? dt dt 8?

Ces valeurs substituées dans les équations de condition donneront

dx . , dx ~=,'cos ? , et ^ = rs.n ? .

en appelant 5' la dérivée de s par rapport à ï.

Or entre la différentielle totale et les différentielles partielles d'une fonction de deux variables on a les équations

dx dx

qui deviennent, après la substitution des valeurs de et

dx = ds cosf — rdt sin?, dy = <is sin? + rAcos<p.

28 I" PARTlB. — THÉORIE DES PROJECTIONS.

Pour que les seconds membres soient des différentielles complètes comme les premiers, il faut que l'on ait

d/dx\d (dx\ ±l*J\-±(*j\ dt\dl)- dl\dt) ' dt\dl)~~ dl\dt)'

ce qui transforme ainsi ces deux équations

dr . dv

df dr rf ?

^1 (f cos ç )= - cos f - g r sin <?.

En multipliant la première par cos <p, la seconde par un cp et ajoutant, on obtient

dt '

ce qui donne

Ji- 0 '

la fonction <p doit donc être indépendante de la variable l. Mais si nous multiplions la seconde équation par cos <p , la première par sin <p et que nous retranchions, nous obtenons

rftp , dr df dr 1

Tt s ~di ou dï-dî-ï''

comme r et s sont des fonctions de /, il en est de même de leurs dérivées (1) ; cette relation indique donc que <p est fonction de /; comme cette condition contredit la précédente, il en résulte, ce que nous savions déjà, qu'il est impossible de représenter exactement la surface du sphéroïde sur un plan.

Puisque nous ne pouvons rendre parfaitement égales les figures infiniment petites correspondantes du sphéroïde et de la carte, nous

(1) Nous arons trouré, en appelant * un arc d'ellipse compté à partir du />o7e,

(t-e*8in«/)î " (l-*«8ln*/)i'

On calcula rfr= , iln 1 ^ X ~~*\ , donc ~= — «In/.

(I-<»»ln«*» £

pouvons chercher à les rendre soit semblables, soit équivalentes. Nous aurons atteint le premier but si nous établissons que, sur la carte, les distances d'un point quelconque aux points infiniment voisins sont aux distances qui leur correspondent sur le sphéroïde dans un rapport qui ne dépend que de la position du premier point considéré. La similitude des distances entraînera évidemment celle des surfaces infiniment petites et par suite la conservation des angles ; et réciproquement si les angles sont partout conservés, les surfaces infiniment petites seront nécessairement semblables et, autour de chaque point, les éléments différentiels seront dans un rapport constant avec les éléments qui leur correspondent sur la surface du sphéroïde.

Si, au lieu de la similitude des surfaces, on demande leur équivalence, on obtiendra les équations générales de tous les systèmes de projections qui satisfont à cette condition en égalant la surface d'un quadrilatère quelconque mais infiniment petit du sphéroïde à celle du parallélogramme rectiligne qui lui correspond.

Nous allons étudier successivement ces deux questions avec tous les développements qu elles comportent.

CnAP. II. — PiOJECT10*S OKTUOMORPHES.