iw a [ { -* ;-tsô (i - gU

Mais la géodésie donne la formule

dans laquelle Q = 10,000,000 mètres, c'est-à-dire le quart du méridien; on a donc

ou, en développant et s'arrêtant aux termes du premier ordre,

et définitivement en remettant pour U sa valeur,

formule dans laquelle a devra être remplacé par la valeur que nous

ad °P t0nS 2SST5-

Dans ce calcul les arcs A, , A, , A, .. . qui aboutissent tous au centre de la carte et se terminent au périmètre de l'espace à représenter, sont supposés très-petits; mais s'ils excédaient à ou 5 degrés, il conviendrait, pour plus d'exactitude, de prendre les rayons tic courbure correspondants au milieu de ces arcs.

Nous avons supposé ces mêmes arcs mesurés sur une carte géographique, mais on peut aussi calculer les valeurs de ces arcs à l'aide de la formule

D = M 1 + 1 ï» T^? sin2X siB ' * + ï=7 «* x °° s ♦)'

dans laquelle D désigne l'arc de 1° d'une section oblique faite flans l'ellipsoïde à la latitude X par un plan vertical faisant l'angle *y avec la perpendiculaire au méridien; l'excentricité e* pourra être prise égale à 2a ou, plus exactement, à a (2 — a), soit 0,00607437 dans le

cas où a est pris égal à

BÉTE1MISATI0» DES POINTS 801 LE CAHIVAS.

5. Nousavons dit que, les points du globe se déterminant par leur latitude et leur longitude, on cherchait, dans toute projection, à tracer d'abord le canevas, c'est-à-dire l'ensemble des parallèles et des méridiens, puis à placer les différents lieux par rapport à ces lignes comme ils le sont sur la sphère par rapport aux cercles de latitude et de longitude. Nous nous occuperons, dans ce qui suivra, du tracé des méridiens et des parallèles de la projection, mais nous ne nous arrêterons pas sur la seconde partie de la question qui est purement graphique et déjà familière à toutes les personnes qui s'occupent de dessin : nous dirons seulement que toutes les fois que les lignes des coordonnées géographiques ne seront pas rectilignes, on devra les tracer assez rapprochées pour que la détermination des points intermédiaires se fasse dans chaque quadrilatère avec toute l'exactitude désirable; on aura satisfait le mieux possible à cette condition si, à l'échelle de la construction, chaque côté du quadrilatère considéré peut être regardé sans erreur appréciable comme une ligne droite, parce qu'alors le point cherché se placera, à l'aide de la règle et du compas, par les différences entre sa longitude et sa latitude et celles des côtés méridien et parallèle de ce quadrilatère.

Remarquons ici que, dans la construction d'une carte, on pourra toujours adopter pour premier méridien celui d'un lieu quelconque préalablement désigné et compter les longitudes des autres lieux à Test et à l'ouest de celui-ci ; il suffira pour cela de remplacer les longitudes comptées à partir du méridien de Paris, par exemple, par les différences entre ces longitudes et celle du lieu dont le méridien sera pris pour départ.

Soit, par exemple, (fig. 4) 65° 23' N. la latitude du point donné et 5°A'0. sa longitude à l'ouest du méridien à partir duquel on compte les longitudes. Supposons les méridiens et les parallèles tracés de 10

CBAP. I. — CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES. 17

en 10 minutes ; on prendra, à l'aide du compas de proportion, les longueurs DU, BG respectivement égales aux £ des arcs de parallèles CD et AB, et les longueurs DE, CF respectivement égales aux ^ des arcs de méridien BD et AC ; on joindra GH, FE, et l'intersection M donnera la position du point d'une manière très-approchée.

Lorsque l'on a placé sur la carte par leur latitude et leur longitude les sommets d'une triangulation, on a souvent à placer les sommets d'une triangulation secondaire dont on n'a pas calculé les coordonnées géographiques, c'est-à-dire à projeter sur la carte un triangle dont la projection de la base est déjà connue. Voici comment on résoudra graphiquement cette question en supposant que les projections des côtés du triangle soient des lignes droites et que les quadrilatères formés par les méridiens et les parallèles de la carte puissent être, sans erreur sensible, considérés comme des parallélogrammes, hypothèse qui se vérifiera le plus souvent sur les cartes de détail.

On construira d'abord (fig. 5), sur l'un des côtés CD du parallélogramme où se trouve la projection MiN de la base, le rectangle A'B'CD ; puis, en menant Mm', Nn' parallèles au côté CD et prenant M'm' = Mm et N'n' = Nn, on passera de la projection donnée MN à la projection de cette base dans le rectangle A'B'CD. Sur la nouvelle base M'N' on construira sans altération le triangle donné M VI* et l'on projettera le sommet P' dans le parallélogramme en menant Vp' parallèle à CD et prenant Pp = P'p' ; le triangle PMN sera le triangle cherché.

Si l'on voulait résoudre ce problème par le calcul, il faudrait déterminer la projection des angles adjacents à la base donnée MN, ce qui exigerait que l'on eût une formule pour déterminer la projection d'un angle formé sur le sphéroïde par un méridien et une autre ligne quelconque de plus courte distance, car tout angle étant toujours la différence des azimuts de ses côtés, il est évident que sa projection sera aussi la différence des projections de ces mêmes azimuts. En étudiant chacune des projections applicables aux cartes particulières, nous donnerons le moyen de calculer la projection d'un angle donné sur le sphéroïde.

On a souvent à résoudre ce problème inverse de celui que nous venons de traiter : Déterminer la latitude et la longitude d'un point donné sur la projection.

Lorsque la carte que l'on considère est une mappemonde ou une carte générale, on ne peut pas compter sur une grande exactitude, et la latitude et la longitude cherchée se déterminent le plus souvent

18 i" PART». — THÉORIE DES PROJECTIONS.

à vue en se représentant le méridien et le parallèle qui passeraient par le point donné et les intersections de ces courbes avec les côtés du quadrilatère où est situé ce point. Il est inutile d'ajouter que ce méridien et ce parallèle devront être exactement tracés toutes les fois qu'il sera possible de le faire, et prolongés jusqu'à celles de ces courbes qui portent la graduation en degrés et fractions de degré.

Dans les cartes particulières, si les méridiens et les parallèles sont assez rapprochés pour que les quadrilatères formés par ces lignes puissent être considérés comme des parallélogrammes, on résoudra très-simplement la question qui nous occupe en menant par le point donné deux droites respectivement parallèles aux côtés de ce quadrilatère préalablement divisés en degrés et minutes, et l'on connaîtra, à l'aide des divisions dont il s'agit et de la graduation marquée autour de la carte, la latitude et la longitude du point donné.

Si le quadrilatère dans lequel est renfermé ce point, tout en étant sensiblement rectiligne, ne pouvait pas être réellement assimilé à un parallélogramme, les deux droites à mener dans le sens des parallèles et des méridiens devraient concourir avec ces lignes. Soit (fig. 6) ABGD le quadrilatère dans lequel est le point donné M ; on mènera la droite à\Ld parallèle à AD et l'on déterminera ie point m sur AD par l'égalité

Am oM

ÂD ~~ïd'

L'emploi du compas de proportion permettra de déterminer facilement la longueur Am ; la droite mMm' pourra être considérée comme le parallèle du point M, et la graduation de m sur AD ou de m' sur BG préalablement divisés en degrés et fractions, donnera la latitude cherchée; il sera même inutile de partager AD ou BG en parties égales, car le compas de proportion donnera la fraction de AD que représente la longueur wA. En opéraut de même pour les côtés AB, CD, on déterminera la longitude du point donné M.

Il arrive souvent, dans la construction des mappemondes et des cartes générales, que la position des lieux secondaires et les détails de la topographie sont donnés, non plus par leurs coordonnées géographiques, mais sur une carte déjà construite sur une autre projection à une échelle au moins égale à celle que l'on veut tracer. On devra alors partager les deux projections en quadrilatères correspondants par des méridiens et des parallèles assez rapprochés pour que

CHAP. I. — CONSIDtlATIOHS GtlfllALKS. 19

ces quadrilatères puissent être considérés comme rectilignes, et opérer dans chacun d'eux la réduction des détails en prenant pour point de départ les points principaux préalablement placés par leur longitude et leur latitude.

tmUATIOI DES DISTANCES.

«. L'échelle de la carte se détermine toujours par la valeur que l'on assigne au degré de l'équateur, soit que I l'on prenne ce degré pour unité, soit que l'on fixe l'échelle naturelle, c'est-à-dire la fraction de mètre qui, sur le dessin, devra représenter une distance de 1 mètre au point que l'on considère. De l'impossibilité d'obtenir une projection conservant toutes les distances, il résulte évidemment que la même échelle ne peut s'appliquer exactement dans toutes les directions aux différents points de la carte, et que, môme en supposant la terre sphérique, la valeur du degré ou, si l'on veut, de la minute de grand cercle, ne pourra être représentée partout par la même longueur. En traitant de chaque système de projection en particulier, nous indiquerons la manière de tracer l'échelle correspondante et, toutes les fois que cela sera possible, la construction qui permettra de passer de cette échelle approchée à la détermination de la distance réelle de deux lieux.

On pourra d'ailleurs toujours calculer la distance exacte de deux points donnés par leur latitude et leur longitude. En appelant A cette distance, ô la différence l — V des longitudes de ces denx points, l et f les latitudes, le triangle sphérique ayant pour sommets le pôle et les deux points considérés donnera

cos a = sin / sin /' -f- cos / cos /' cos ô.

Pour rendre cette formule calculable par logarithmes, on cherchera d'abord l'angle auxiliaire <p à l'aide de la formule

cotç = cot/cosO,

et l'on aura ensuite

sift /«>$(/' —

cos a = — .

sino

Si les angles 8 et (/ — f) sont moindres que trois degrés, on pourra employer pour plus de commodité les formules suivantes qui donneront une approximation presque toujours suffisante :

tang<? =

et

COSCp

Si l'on voulait, dans le calcul de la distance de deux lieues, tenir compte de l'aplatissement de la terre, on se servirait des formules ' données par Puissant (1). Ce problème, considéré dans toute sa généralité, n'est guère utile en géographie, car, outre que les formules sont très-compliquées, à quoi peut servir de connaître la plus courte distance de Paris à Saint-Pétersbourg avec une exactitude qui n'existe même pas dans la nature, à cause des mille accidents de localité qui forcent d'allonger la route d'au moins un quart? Il est vrai que lorsqu'on compare deux stations voisines d'une triangulation il peut être très-utile d'en connaître la distance exacte d'après leurs latitudes et longitudes ; mais le problème appartient alors à la géodésie et sort du domaine de la géographie; nous n'avons donc pas à l'étudier.

Voici une construction graphique qui, dans la plupart des cas, déterminera avec une exactitude suffisante la distance de deux points de la sphère quand on connaîtra soit directement, soit sur une carte géographique, leurs latitudes et la différence de leurs longitudes.

Soient (fig. 7) Aet B les deux points considérés, P le pôle, EE' l'équateur. Dans le méridien de chacun de ces points nous connaissons la perpendiculaire qui le projette sur l'équateur et qui est la demicorde de l'arc double de sa latitude; nous connaissons en outre l'angle des intersections de ces méridiens avec l'équateur qui est égal à la différence des longitudes des deux points ; il est donc facile de construire le trapèze ÀBa6 dont le côté AB servira à évaluer l'arc de grand cercle qu'il sous-tend, c'est-à-dire la distance cherchée.

Nous ferons donc (fig. 8) au centre d'un cercle divisé en degrés et fractions un angle égal à la différence donnée des longitudes ; sur chaque côté de cet angle nous porterons respectivement des longueurs égales aux cosinus des latitudes données en construisant les triangles AaO, BbO ayant le rayon pour hypoténuse et la latitude correspondante pour angle au centre ; puis nous porterons, sur les perpendiculaires élevées en a et 6 à la corde aft, les longueurs des côtés

( I ) Traité de géodaie.

CHAP. I. — CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES. Ji

aA, 6B de ces triangles ; A'B' sera la corde de l'arc de grand cercle compris sur la sphère entre les deux lieux proposés ; en la portant sur la circonférence divisée, l'arc qu'elle sous-tendra mesurera la plus courte distance des deux lieux.

Si la latitude du point A étant australe, celle du point B était boréale, la construction pour le point A se ferait au-dessous du rayon Oa, et la corde de l'arc cherché serait A',B'.

TBACÉ DES CABTES CÉLESTES i L'AISE DES C001DOHHÉES ASTHOHOKIQUES.

7. Si, en géographie, un point est défini par sa latitude et sa longitude, c'est-à-dire par sa distance à l'équateur et par l'angle que fait son méridien avec un autre méridien connu, il n'en est pas toujours ainsi en astronomie ; la position d'un astre est le plus souvent définie par sa latitude et sa longitude astronomique, c'est-à-dire par sa distance à l'écliptique, et par l'angle que fait le grand cercle perpendiculaire à l'écliptique et passant par l'astre avec celui qui passe par le point équinoxial (intersection de l'équateur et de l'écliptique). Les premières coordonnées de cet astre, sa latitude et sa longitude terrestre, prennent alors le nom de déclinaison et d'ascension droite.

Si nous supposons que les méridiens et les parallèles à l'équateur aient été tracés sur une projection, nous sommes conduits à chercher les projections des grands cercles perpendiculaires à l'écliptique et des petits cercles parallèles, afin de pouvoir placer ensuite chaque astre par sa latitude et sa longitude céleste.

Cherchons d'abord les points d'intersection des méridiens de la projection avec un petit cercle parallèle à l'écliptique; soit p la latitude astronomique de ce parallèle, a l'ascension droite du méridien déjà tracé, o la déclinaison cherchée du point d'intersection, e l'inclinaison de l'écliptique sur l'équateur (environ 23° 28'). Dans le triangle sphérique (fig. 9) ayant pour sommets les pôles P et n de l'équateur et de l'écliptique, et le point d'intersection cherché S, l'angle en P est égal à 90° -f- a, le côté opposé t:S à 90» — ,3, et le côté tcP à e ; nous pourrons donc calculer le troisième côté PS=90*— 8 qui déterminera le point S sur la projection.

Nous nous servirons pour cela des formules

tang <p = — sin a tang e,

..... sin p cos •

sin « + «p = — 1.

cose

SS I" PARTIE, ~, TPtOlII W FHOJlCTJO«8.

Par exemple, si la latitude du parallèle à l'écliptique est de 40% l'ascension droite du méridien de la projection de 30% nous trouverons

12M5' et 8 =55° 28'.

En donnant à a successivement les valeurs 0*, 10°, 20'... et réunissant ensuite tous les points obtenus par une même courbe, on obtiendra la projection du parallèle céleste considéré. On opérera de même pour autant de parallèles que l'on voudra en donnant successivement à p les valeurs 10*,20°...

Pour obtenir l'écliptique il suffira de faire (3=0 ; dans ce cas

S -f"P = 0 ou « = —

la déclinaison cherchée des points où les méridiens traversent récliptique est alors donnée par la formule

tangSsssins tang*,

dans laquelle on donnera à a les valeurs successives 0% 10% 20°...

Cherchons maintenant les intersections des méridiens de la carte avec un grand cercle passant par les pôles de l'écliptique et perpendiculaire sur lui ; soit X sa longitude connue. Dans le triangle sphérique déjà considéré PuS, on connaît l'angle au pôle « qui est égal à 90° — X, l'angle au pôle P qui est égal à 90°+», et le côté Pir = e; on cherche le côté PS qui est égal à 90° — 8. Nous emploierons les formules

tang<J< = cos« cotangX, tM|ft H cotange cos(g + 4>) ^* sin*

Par exemple, si la longitude X =60, l'ascension droite a = 55\ on trouve

En cherchant le point où ce grand cercle de longitude X traverse le méridien dont l'ascension droite est 70°, on a

* = 27«54' et « = — 34'5\

le signe — devant la valeur de 8 indique que le point cherché a une déclinaison australe, c'est-à-dire qu'il se trouve dans le méridien donné à 34° 5' au-dessous de l'équatcur.

En donnant à a successivement les valeurs 0\ 10%20 et réu-

nissant les points obtenus par une courbe, on tracera le grand cercle de longitude astronomique 1 ; en donnant ensuite à X les valeurs 0°, i0°... on tracera autant de grands cercles perpendiculaires à l'écliptique que l'on voudra, et l'on pourra alors placer tous les astres par leurs coordonnées astronomiques.

La table suivante donne les déclinaisons des points de l'édiptique dont les ascensions droites varient de 5° en 5°.

Tftfeift tfe ««natractlon de l'écllptlquc.