PROJECTIONS SANS DÉFORMATION 00 ORTBOBORPHES

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fl. Nous avons montré que la condition nécessaire et suffisante à la conservation des angles et par suite à la similitude des surfaces était que les éléments différentiels autour d'un môme point fussent dans un rapport constant avec les éléments qui leur correspondent sur la surface du sphéroïde.

Désignons par m ce rapport qui est fonction de la latitude l et de la longitude t.

L'équation fondamentale sera alors

on, en posant mr = n,

Cherchons quelle fonction de la latitude représente le rapport ~.

Si nous désignons par - le complément de la latitude, c'est-à-dire l'angle de la normale avec l'axe des pôles, on aura dz = — dl, et par suite

ds (1 — e*)rfz dz e'sinz<fc

r "(I — e'cos'sjsiiu ~~ sins 1 — e'cos's'

expression qui se réduit à son premier terme dans le cas où la terre est supposée sphérique.

Le rapport — est donc une quantité intégrable que nous pouvons

désigner par du. Dans le cas de la terre sphérique l'intégrale est

* i cosz , , - . 9t s

32 1" PARTIE. — TFtÊORIR DBS PROJECTIONS.

en appelant K une constante arbitraire. Si la terre est supposée ellip-

,,. » , , t 1 sin zdz e. 1 — e cos z ,

tique, 1 intégrale de i = r- est s log j— ; ; on aura donc

n ° 1 — e'cos's 2 °l + ecoss

en général

. I ,r . * /*+ f cosz\ ï Si l'on appelle Ç un angle tel que l'on ait

l'expression de u aura la même forme que dans le cas de la terre sphérique, car on aura alors

u = logKtang

en sorte que l'on pourra regarder Ç comme la distance au pôle corrigée en vertu de l'aplatissement de la terre, et, comme l'excentricité est fort petite, on pourra trouver la correction dont il s'agit, c'est-àdire la différence de Ç à s, par la relation