C.s=s— sin2z
et cette approximation aura toute l'exactitude désirable (1). Revenons maintenant à l'équation générale du problème
la question se réduit à déterminer au moyen de cette équation les valeurs de a; et de y en fonction de t et t*.
Posons
Nous pouvons écrire, en appelant v ce que devient n quand on y remplace u et ( par leurs valeurs en a et (3 ,
(l)La différence Ç-z, que nous avons appelée t au § 3 du chap. I, est égale i ta différence entre la latitude géographique / et la latitude géocentrique elle est donnée dans la table III pour toutes les valeurs de t de degré en degré.
. II. — PROJBCTIOKS ORTHOMORPHE9. 3S
rf«'dB' = vt/(«/B.
Il est alors très-facile d'obtenir a' et ft.
Remplaçons
j i dct j • d% j«
et
il vient d'où
et par conséquent
— = 0 et — — — q
ou bien
«fa* ^
c'est-à-dire, en intégrant,
ou bien
a' = *(6) et . B'=* t (a).
Nous serions arrivés au même résultat en exprimant que l'angle de deux éléments quelconques de la carte est égal à l'angle des deux éléments correspondants du sphéroïde.
En effet, le cosinus de l'angle compris entre les deux éléments am,, am, de la carte qui partent du point {xy) et se terminent respectivement aux points (x -j- dx, y + d'y) , {x -f Sx, y -f 8y) sera, abstraction faite du signe,
dxly — Ixdy
De même le cosinus de l'angle formé sur le sphéroïde par les deux éléments AM, , AM , qui partent du point (w, f) et se terminent
respectivement aux points (u + du , * -MO » ( M + Su » 1 + 8l) » s 61- *
da8/ — dr8 M
Nous aurons donc pour l'équation du problème
duSt — Su dt dx 8 y — dy 8 x
ou, en introduisant les variables a, p, a', {3' ,
dp 8a— da8p <y^rf«y i i/dadiioaSp Jd» 'dp' 8a' 89'
d'Où
rfa'rfB'8«'8S'(dB8« - 8pda)« = dadp8a8p(dpV - da'88')«.
Posons
da p p da ^rfp P '
et, supposant les éléments AM, , am, fixes, faisons varier les éléments ÀM t . am,, c'est-à-dire supposant da, d£, da', d£' constants, faisons varier Sa, o£, Sa', Sp's l'égalité ci-dessus étant une identité, il ne pourra y avoir dans le premier nombre d'autres termes en Sa et Sp que ceux qui se trouvent dans le second ; ainsi les termes en 8a* et du premier membre devront disparaître, ce qui exige que
da' dô' da' dp'
— -i- = 0 et — --t = 0, da da dp dp '
comme nous l'avions déjà obtenu.
La similitude des éléments autour de chaque point entraîne donc la conservation des angles, et réciproquement \ c'est ce que nous avions déjà fait remarquer sans calcul»
Revenons aux résultats que nous avons trouvés
a'=F(a) avec P'=F,(P) ou bien a'*=(p); avec P'=4\(a).
Substituons à a, p, a', |3' leurs valeurs en x, y, uett; les deux solutions de notre problème deviendront
«+|fV / — ï«:F(«+f ^î) avec y y— 7 = F,(m— I /^ï), et
ClUr. II. — PKOJICTIOKS 0RTH0M0RPHE3. 35
Les caractéristiques F et * désignent deux fonctions indéterminées quelconques, de sorte que F(u + / v — ï) et* (h— t y^T) sont des fonctions quelconques de u+l^~i et de m— «
Mais x et y devant être réels comme u et f, les deux fonctions F, et * t ne peuvent pas être prises arbitrairement une fois que les fonctions F et 4> ont été fixées ; il faut évidemment, si la fonction F est réelle, que F, soit la même fonction ; et, si F est imaginaire, que F, soit la fonction conjuguée obtenue en changeant dans la première V^-l en — yC^Ï; il en est de même de*, relativement à *; ainsi chacune de nos solutions ne contient qu'une fonction arbitraire qui peut être imaginaire aussi bien que réelle.
M. Bonnet (1) a montré très-simplement que la première solution correspond à la similitude directe lorsque Ton se place dans la région extérieure au sphéroïde, c'est-à-dire au cas où l'on veut représenter les différents lieux de la terre comme ils sont placés en réalité sur le globe; la seconde solution, au contraire, correspond à la similitude inverse; c'est le contraire qui aurait lieu si l'on se plaçait dans la région intérieure. Comme le premier cas est seul intéressant» nous ne considérerons que la première solution
x+y)/=ï = F{u + î yCn] et x- y \~\ = F t {u-t V — T). Nous en tirons
* = \ [F(u + t\'~i) + F t (y - ty/=ï)]
Telles sont les expressions les plus générales des coordonnées j- et y qui déterminent sur la carte la position que doit avoir chaque lieu de la terre en vertu de la condition supposée : que la distance de deux lieux quelconques infiniment voisins sur la surface de la terre soit à la distance des mêmes lieux sur la carte dans le rapport de 1 à m.
H est facile de voir que réciproquement les expressions dont il s'agit renferment nécessairement la loi de la description de toutes
(I) Thèses de mécanique et d'astronomie présentées à la Faculté des sciences de Paris, le 2 août 1862, par M. Owlao Bohhet, in », page* 30 à 78.
36 t" PARTIE. — THÉORIE DBS PROJECTIONS.
les cartes géographiques dans lesquelles la même condition pourra avoir lieu.
9. Cherchons l'expression du rapport d'agrandissement m en chaque point.
Nous avons posé m = £ et les conditions du problème ont donné
dx*+dy' = n\du*+dt*);
donc, en appelant F et F', les dérivées des fonctions F et F, par rapport à u + t y/'^ï et àu-l \J — i, on aura
dx + dy v^T = F'(u -f / yCTî) x (du + d/ ) *
</*— dy vCT = F\ (u - 1 yPl) X (du— d/ y — 0 ;
donc
dx« -f dy» = F (u -f- f V— 1 ) F' t (u - < y 7 — i ) X (du» + d<^
ainsi
n" = F'(u + r v^T) F, (u - < V— U et par conséquent
V/f(u-H V^ï) F t (u — f y^T) /(l-eWi)F.F, j t
r " sinz rû
v/f(ii + < v-ï) F'i (u - 1 V 17 *) = | .
Si nous considérons autour de deux points correspondants de la terre et de la carte deux figures infiniment petites, les côtés homologues étant dans le rapport de 1 à m, les figures seront semblables et leurs surfaces seront dans le rapport de 1 à m* ; ainsi chaque portion infiniment petite de la surface de la terre conserve sa figure et n'est altérée que dans sa grandeur.
Nous savons déjà que lâ supposition de m constant est inadmissible dans l'hypothèse de la terre sphéroïde, c'est-à-dire qu'il est impossible d'obtenir un mode de représentation pour lequel une portion finie de la terre soit partout semblable à la partie correspondante de la carte. L'analyse démontre qu'en supposant seulement que la terre soit une surface de révolution, le rapport d'agrandissement ne pourrait être constant que si cette surface était un cylindre ou un cône. Nous ne nous arrêterons pas à ce calcul.
en posant
C&A.P. n. — P10JICTI0NS OITHOHORPBES. 57
