Reprenons maintenant les relations
x-\-y<J^Î = F(u+t>J^Ï) et x—y = F^u—t^i)}
qui lient les différents points de la carte aux points correspondants du globe, et cherchons à déterminer la fonction inconnue F.
Je remarque que si nous supposons f =0, nous aurons les valeurs des coordonnées de la courbe qui représente le premier méridien :
F(u) + F,(«) FW-F»
x — 5 y If — -= — ;
ces valeurs contenant deux fonctions arbitraires, savoir la partie
réelle et le coefficient de \j — 1 de F, peuvent être des fonctions quelconques de u ; il en résulte que le premier méridien de la carte peut être représenté par une courbe quelconque et que la latitude peut varier sur ce méridien suivant une loi aussi quelconque. En effet, supposons que pour ce méridien on ait
y (u) et <j<(u) représentant des fonctions quelconques données de u; on aura
F '"> + F -W = tM et F W-!j"" = W ; 2 2 y 7 — -i
d'où Ton tire
?{u) = ? («) + *(u) ; F, (u) = ? (u) - * (a) yCHF ;
donc, mettant cette forme de fonction dans les expressions générales de x et y, on aura
et ces expressions ont l'avantage que les imaginaires s'y détruisent toujours d'elles-mêmes.
Supposons, par exemple, que nous représentions le premier méridien par une droite sur laquelle la latitude devra varier, de telle sorte que x = Ku, K étant une constante ; prenons cette droite pour
38 1" PARTI! . — THÉOIIB
axe des a;; les deux fonctions et ^(u) t sont dans ce cas 0 et u; nous aurons donc, en supposant la terre sphérique,
y = Kf et x = Klogtang — - — ,
ce qui est la loi de la projection des cartes marines; les méridiens sont des droites parallèles également espacées, et les parallèles des droites perpendiculaires aux premières et dont l'espacement est soumis à la loi
dx = 4 (KlogUng 25^=f) = = =§£
Ces cartes (1) sont employées pour la navigation parce que les rumbs de vent y sont conservés et que, par conséquent, la route à suivre pour se rendre d'un point à un autre à l'aide de la boussole en coupant tous les méridiens sous le même angle y est représentée par une droite.
En appliquant la formule m — — *, on trouve facilement que, dans l'hypothèse de la terre sphérique,
m — — cos/
Le rapport d'agrandissement des surfaces sera par conséquent
cos 1 /
rapport considérable, mais qui importe peu pour les besoins de la navigation.
4. D'autres considérations peuvent nous faire déterminer immédiatement différents genres de représentation.
Quand on choisit pour F une fonction linéaire, c'est-à-dire F(A) rs KA, on obtient la projection de Mercator ou des cartes marines, dont nous venons de parler.
On peut prendre pour F une fonction exponentielle réelle, par exemple l'une des plus simples
F (« + /vCrT) = Ke X( " +/V:rï) î
(1) Voir la deuxième partie, chap. V, pour la théorie et la construction de cette projection, et le § 22 du chapitre VI partie) pour l'historique de sou invention due a
CHAP. II. — PROJECTIONS ORTHOB01PHB9 . 39
on a alors
On peut écrire
F (« + 1 yCT) = Ke ltt (co 8 a f-f v^sinXf) , Fi(« — t sf^ï) = K<> (cosXf - yf^l sinXf] .
On aura donc
«ssKe^W*, et yaaKe^slnX/.
Dans le cas de la terre sphérique u = log tang -, z étant le complément de la latitude, donc
et par conséquent
x = K (tang ^cosX/ et y = K ^tang |)\inX/. (A)
Comme | = tang Xl et que x % + y* = K'^tang |^* X = p% on
voit que les projections de tous les points pour lesquels la latitude est constante forment un cercle, et que les projections de tous les points pour lesquels la longitude est constante forment une droite ; de plus tous les cercles représentant les parallèles ont un centre commun autour duquel rayonnent tous les méridiens. Le rapport d'agrandissement est ici
sin« — «na
Gomme X est une constante arbitraire, nous pouvons lui donner telle valeur que nous voulons. Si nous faisons d'abord X = 1 nous obtenons la projection dite stéréographique polaire (1)
|=tangr et x'-fy'ssK'^tang^^-Izi^ , K représente alors le rayon de l'équateur.
(4) Voir V partie, chap. I, § S.
Le rapport d'agrandissement devient
tang|
sins ,2 s
Si nous faisons, dans les équations (A), X = 0, nous obtenons encore les cartes marines comme il est facile de s'en convaincre en développant
V 2 \tan g 43«+Ungij (l+tangQ*
suivant les puissances de tang |.
Revenons aux expressions générales :
x = K (tang X cos Xf, y = K (tang ^sinXi,
XK(tang|) X
wï — : .
SMS
Elles peuvent se mettre sous la forme
x=pcosXf, v=psinXf et m =
Nous voyons que les coordonnées d'un point quelconque dont la longitude est t sont les mêmes que celles qui correspondent à X fois la longitude t dans la projection stéréograpbique polaire définie par l'hypothèse X = i. Si donc X est une fraction moindre que l'unité, la projection de la sphère entière, au lieu d'occuper la totalité d'un cercle, sera comprise dans un secteur qui sera la même fraction de l'aire totale. Ainsi, si X = -, la projection de la sphère entière sera comprise dans un demi-cercle; si X = J, dans un secteur de 120 - ; si X = \, dans un secteur de 240°.
Nous reviendrons (1) sur cette projection imaginée par Lambert et plus connue sous le nom de projection de Gauss.
(1) Voir chap. II, § 8, et 2* partie, chap. XI.
CHAP. H. — P10JICTI0KS 0RTH0S0RPHB3. 41
Si nous posons K = 1, c'est-à-dire si nous prenons pour unité le rayon del'équateur de la projection, nous avons
formule qui permet de calculer facilement le rayon p de chaque parallèle pour chaque valeur de 2 de 0 à 180°. Les valeurs de p pour
z = 10% 20% 30* dans les quatre cas X = {, J, \, j, ont été
réunies dans le tableau du chap. XI (2 9 ^arûe)et ont servi à tracer les projections n°* VI et VII.
5. La manière dont nous avons déterminé les fonctions arbitraires qui entrent dans les valeurs de x et de y, quoique la plus simple et la plus naturelle, n'est pas néanmoins celle qui convient le mieux à notre objet II vaut mieux, en eflet, profiter de l'indétermination des deux fonctions qui entrent dans F, et F, de manière à faire acquérir à la carte quelque nouvelle propriété qui rende sa construction facile ou son emploi commode.
Proposons-nous de déterminer les fonctions arbitraires par la condition qu'une série de points de la surface du globe occupe une position déterminée sur la carte. Nous pouvons supposer dans ce cas F réel, et alors F, étant égale à F, on n'a plus qu'une seule fonction à déterminer. Cette fonction devant avoir des valeurs connues
pour une série de valeurs de u et de 1 et par conséquent de u -{- 1 \J — 1 , pourra toujours être déterminée au moyen des formules d'interpolation.
On pourrait aussi assujettir le rapport d'agrandissement m à avoir une même valeur déterminée pour une série de points du globe ; à l'aide des formules d'interpolation, on trouverait encore aisément les fonctions arbitraires.
Enfin on peut se donner la figure même des parallèles et des méridiens, et alors la question se réduit à déterminer la forme des fonctions inconnues de la solution générale, de sorte qu'il en résulte pour les méridiens et pour les parallèles des lignes d'une nature donnée. Ce problème, pris dans toute sa généralité, est peut-être impossible à résoudre ; mais comme il parait naturel, quand on se donne d'avance la forme des méridiens et des parallèles, de prendre les formes les plus simples, nous ne considérerons que le cas où ces courbes doivent être des cercles, les droites pouvant être considérées comme des cercles de rayon infini. Cette question, étudiée avec beau-
« 1" PARTIE. — TltfQU* PK8 PS0JSCT10KS,
coup de détails par Lagrange (1) , a été reprise plui tard par M. Bonnet (2) , qui l'a traitée avec l'élégance et la clarté qui caractérisent tous ses travaux.
o. Comme la principale propriété du cercle consiste en ce que le rayon de courbure est constant, nous allons d'abord chercher l'expressiun des rayons osculateurs p des courbes qui représentent les méridiens et les parallèles par les formules générale» que nous avons trouvées.
L'expression du rayon osculateur d'une courbe plane quelconque rapportée aux coordonnées rectangulaires x et y est
p dyd*x — dxd*y'
Occupons-nous d'abord des méridiens ; nous devons supposer f constant dans la formule générale
nous en déduirons
dx = *du et dy = $dv t
en appelant, pour simplifier, <t la partie réelle, et p le coefficient de
*/— 1 dans la dérivée, par rapport à ti, de F (u + t \/ — 1) ; il en résulte
rf*x = ~ du* et d'y = ^ du*, du du
ce qui donne, en substituant dans l'expression générale de p,
? du du
Or, pour un point quelconque de la surface, on a dx=*du — $dt et dy — $du -f ad t J
(I) Sur la construction des cartes géographiques (deux me moires consécutifs) dans Jes Nouveaux mémoires de l'Académie royale des sciences et belles-lettres, année M.bCC.LXXJV, Berlin 1781, lu 4«,puge* 401 a SIO.
(i) Thès€<r<utnmmie, par M. Ossiau BomiMSa.
CHAP. II. — PlOJECTlÛMa ORTHOMO«P1IS. 45
donc en a aussi les relations
11 en résulte
da rfp d$ dct
ou enfin
*dt^ m dt
Pour les parallèles, en considérant u comme constant, on trouvera de même
D'après la définition de a et de p et la forme des fonctions F et F,, il est clair que
v'?qrpï = ^F'(tt-f.rv /z: î)Fi'(" -'V^h
quantité que nous avons appelée - dans l'expression du rapport
d'agrandissement m = -^r-
ru
Nous pouvons donc écrire
Revenons maintenant à la question que nous nous sommes proposée, de représenter les méridiens et les parallèles par des cercles.
La première condition exige que la courbure des méridiens ne
Pm
varie pas quand u varie, et soit par conséquent fonction de ( seulement ; donc
dïd~u-°'
Il en résulte cette conséquence importante que, par cela même que les méridiens sont représentés par des cercles, les parallèles le
44 1" PAIT». — THÊOaU DU
d'il dû
sont aussi, car la condition = 0 montre que la courbure — des
parallèles est fonction de u seulement, puisque sa dérivée par rapport à t est nulle ; par conséquent cette courbure est constante pour tous les points d'un même parallèle. On prouverait de la même manière que, si les parallèles sont représentés par des cercles , les méridiens le sont également ; et la condition commune à la circularité des uns et des autres est = 0.
du dt
Voyons maintenant quelle doit être la forme des fonctions arbitraires F et F, pour que cette condition soit remplie. Posons, pour simplifier,
V^5) VF»
ce qui donne
û= ? (« + / v / 3T) + ( u /v /Zl).
La condition deviendra
en appelant ç" et <(/' les dérivées secondes des fonctions <p et <|/. L'égalité précédente peut se mettre sous la forme
cp(u -f- /y/ — *) ♦(« — t^—î)'
or le second membre, d'après la nature des fonctions ? et <|/, se déduisant du premier par l'échange de J=ïen - v/=ï, cette égalité ne peut exister que si les deux membres se réduisent à une même constante * ; on a donc
d'où
? (u + f V CTÏ)=Ae^ + ^+B,-^ + ' v/rî) ,
A et B étant des constantes quelconques, réelles ou imaginaires ; et par conséquent.
