CHAP. II. — PROJECTIONS ORTHOMORPHES
Mtf ^ +rv /. 1 , 1 N -✓*(«+/v-l) ,
M, N, P étant des constantes de même nature que À et B. Quant à
la constante Jk> comme son carré peut être aussi bien négatif que positif, elle peut de même être réelle ou imaginaire ; mais on peut remarquer que la valeur que reçoit le second membre de l'égalité précédente pour une valeur de k négative et égale à — c\ se déduit de la valeur que l'on obtient pour * = c*, en changeant seulement u en t et t en — w. Cela étant, nous nous contenterons d'attribuer une valeur positive c'; il viendra ainsi
F(« + fv^T), ou bien ^ ^
( " '+vv^î=P+ MtCi . +< ^,' + ^. e ',, + ,^ ) -
Ce résultat peut être considérablement simplifié.
Je remarque d'abord que l'on peut toujours supposer nulle la constante P, car cela revient à ajouter une simple constante à x et y, c'est-à-dire à transporter les axes des x et des y parallèlement à euxmêmes. De plus les constantes que nous avons dit être réelles ou imaginaires peuvent être supposées réelles et même positives. En
effet, on peut, dans tous les cas, poser M = mc*^-», N = n«P* / - r « ♦ m et n étant positifs, et notre formule devient
me
Multiplions le premier membre par cos $+\/~\ sin p, et le second par c?v/~, puis posons
xcosp— ysinp = x,, xsinp-f-ycosp = y,; nous aurons
Or x t et y t sont évidemment les coordonnées correspondantes à x
46 1" PARTIR. — TlrtOftll DES PROJECTIONS.
et y dans un système d'axes rectangulaires (OX, , OYJ que l'on obtient en faisant tourner de l'angle p le système des axes OX, OY); le second membre de la dernière équation ne diffère du second membre de l'équation (I), après qu'on y a fait P=0, M = #t, N = n, qu'en
ce que 1 4- ^Zll est mis à la place de comme on le voit aisément
en réduisant ces seconds membres au môme numérateur ï. Donc, si Ton prend d'avance les axes des (X, , Y,) pour axes des (X, Y), et si Ton recule le méridien initial, à partir duquel se comptent les longitude* K, de l'angle 2, la dernière équation se confondra avec
l'équation (1). On peut donc toujours supposer réelles et positives les constantes M et N.
Pour déduire de l'équation (I) simplifiée, comme il vient d'être dit, les valeurs de œ et y en u et f, multiplions, dans le second membre haut et bas par Me«<«- ( 4- N«-«(«-i V^) , il viendra
M<?~ !f ' v/irT -f-Ne~ îf *
X * •' /v/ "~ * MV fU - ^ -2M^ T cos2c/-i-NV ^Uf,
et en égalant séparément les parties réelles et les parties imaginaires,
Mcos3c<-f Nr 1 " X ~~ M V" 4- 2MN cos 2ct 4- N^r**'
-~Msin2c*
y - M , cte . 4-2MN cos 2cf +
Si, entre ces équations, on élimine m, on obtiendra une relation entre x, y, t qui représentera tous les cercles répondant aux différents méridiens, et réciproquement, si l'on élimine t, on aura une équation en x, y, m, qui sera l'équation commune à tous les cercles répondant aux différentes parallèles. Pour faciliter les éliminations, il convient de faire d'abord la somme des carrés des deux équations; on trouve
+ MV c + 2MN cos 2c , + et cela permet de mettre les équations sous la forme plus simple
, = N 4- Me»'" cos 2c/,
y = — Me"" sinîcf.
GBAf. II. — PROJECtlOHS ORTBOMORPHES. 47
Éliminant maintenant la variable ti, on a
(II) x«-f y*— |cotang2d— | =0.
La circonférence représentée par cette équation passe par l'origine 0 des coordonnées et par le point A de OX qui a -i pour
abscisse; de plus elle coupe l'axe des x au point 0 sous un angle égal à 7t — 2cf ou à — 2cf suivant que t = 0 est positif ou négatif; ajoutons que, dans le premier cas, on ne doit prendre que le segment situé du côté des y négatifs, et, dans le second, que le segment situé du côté des tj positifs.
Éliminons, en second lieu, la variable /; on trouve
2 Ni: 1 M *' + ^ + M y-N« ~
La circonférence représentée par cette équation a l'axe des m pour diamètre. Pour achever de la définir, je vais chercher un système de deux points situés sur l'axe des a% et tels que leurs distances à un point quelconque de la circonférence soit dans un rapport constant. A cet effet, je prends l'équation
qui représente le lieu des points dont les distances à deux points situés sur l'axe des x y et ayant pour abscisses a et a', ont un rapport*, et j'identifie avec l'équation ci-dessus; il vient
— 2a-j-2a'*' 2N fcV 1 — a* \
4— k 1 MV e "-N'' i—lc* ~"MV C --N*'
On vérifie ces deux équations en posant
donc les circonférences représentant les différents parallèles du globe terrestre sont les lieux de points dont les distances aux deux points fixes A et 0 déjà obtenus comme intersections des méridiens
et de l'axe des x, sont dans un rapport constant et égal à ^
Il convient de transporter l'origine des coordonnées au milieu de OA, afin de simplifier les équations (II) et (III) ; on trouve ainsi,
en posant OA = ^ = 2a,
(IV) x* + y* — 2a cotang 2tf . y = o%
pour l'équation des méridiens , et
pour celle des parallèles.
Cette dernière équation peut se mettre sous une forme plus élégante; faisant Aa'M* = le coefficient de x deviendra
£4e»+»ek I | g!e(u+fc)|g-!«(»+k)
* u ^tu^th | e h!«tk)^-l«l»+»)
et l'équation sera
(V) x* + y* — 2a \f=\ cotang <tou l x=— a\
en posant
A = K lV / —
On doit remarquer que la constante h qui entre dans l'expression de u, , n'a aucune influence sur la solution trouvée, et qu'elle ne sert qu'à fixer le parallèle terrestre qui correspond à un cercle déterminé de la série représentée par l'équation (V). Ainsi il n'y a, en réalité, dans notre solution, que deux constantes arbitraires c et a.
11 est utile de connaître les valeurs de x et de y, en fonction de u, et de t. Or reprenons les valeurs
Mcos2c<4-Ne- tfM X ~~ MV<" + 2MN cosîcf + NV»~'
— Msin2c<
y - M v*. + 2MN cos 2cf + NV"'
obtenues précédemment. Changeons dans la première x en x -f- ^ ,
pour tenir compte du déplacement d'origine opéré plus haut ; ce qui donne
X ~ 2N(MV* + 2MN cos2cf+ N'e-"")'
CHAP. II. — PROJBCTIOSS ORTBOMORPHBS. 49
puis introduisons les nouvelles notations, il viendra
€ ~ie^ K) e u^k) ^ — - sin2ct/, c ,e< ^4-2cos2rr-f e~ u M m °^ cosîc^ + cos^'
g. vv-™, ^ ^ COS -|- e~"v-">
sic Set
De là on tire encore
/— r , — r sin 2cu, -4- sm2c/ ;
JV cos 2 cti, + cos 2cf o \ t i /»
par conséquent
F (u4- #V— ï) = — Q S/^} tangc(«, + 0, F,(u — /y/^ï) = — ay— ^ tangcfw, — r) ;
donc û , qui est égal à
V / P(u + /V-l)F w ,(u-r v Cn)
Q = cosc( Ml + f)coscK-Q ^ ac
On peut obtenir une autre valeur de Û d'une forme assez remarquable. Soient r et r 7 les distances d'un point quelconque (x, y) aux points A et 0 situés sur l'axe des x, et à la distance a de l'origine ; nous aurons
ou bien, d'après l'équation (V) ,
r 1 = 2ox(l -f- y/^T cotang 2cwJ, r* = 2ox(— 4 + V— 4 cotang^J,
et, en substituant à x sa valeur en u t et *,
r i 2 a i cos 2cw i — ^ — 1 sin2c«, cos2c« t +V--4 sin 2cm,
cos2cu,-|-cos2cf ' cos2ce<, 4-cos2cf '
de là on déduit
rr > —
" cos 4- f) cos c(u, — t) '
donc on a
80 |»k PARTIE. — THÉORIE DES P80JECTIOKS.
On devra, dans les résultais que nous venons d'obtenir, reinplàcer u par sa valeur en fonction de la latitude, valeur que nous avons trouvée précédemment (§ 1).
W = logKtang^
Ç désignant la distance polaire corrigée en vertu de l'aplatissement de la terre.
Résumons les règles qui résultent de ce qui précède, pour la construction d'une carte du système considéré, lorsqu'on suppose d'ailleurs la terre sphérique. Après avoir fixé la constante c qui est en quelque sorte l'exposant de la carte, on prend sur une horizontale les points A et A' où viennent se couper tous les méridiens, c'est-àdire les pôles de la carte, en ayant soin de placer à droite le pôle boréal A ; on connaît ainsi le méridien AA' correspondant à t = 0, et le parallèle BB', perpendiculaire au milieu de AA', correspondant à u, = 0. Ce méridien et ce parallèle peuvent se rapporter à un lieu quelconque du globe terrestre, qui devient alors le centre de la carte. De la connaissance de ce lieu résulte celle du méridien à partir duquel se comptent les longitudes et celle de la constante h; car puisque pour le centre de la carte on ai = 0, u, = 0, d'après la valeur de f, le méridien à partir duquel se comptent les longitudes est précisément celui qui passe par le centre de la carte ; et d'après la valeur de w,, si l'on appelle z 0 la valeur du complément de la latitude
pour le centre de la carte, et par conséquent log tang ^ la valeur
de u pour ce même point, on a
A + logtanf|°=0, d'où h = - îôg tang | .
Maintenant, pour obtenir là représentation du méridien correspondant à une longitude f, on décrit, avec A A' pour base, un segment capable de l'angle « — 2cf, au-dessous de AA' si / est positif, ou bien un segment capable de x+2ct au-dessous de AA' si t est négatif; et pour avoir la représentation du parallèle correspondant à la latitude
^ — z, et par conséquent à la valeur log tang - de u, on décrit le
cercle lieu des points dont le rapport des distances aux points A et A' est égal à
CHAP. H. — PROJECTIONS 0RTHOM0RPHUS. 51
-\ Je
m ( lan & i)
Ht)
le*
On peut ainsi obtenir la représentation des différents méridiens et des différents parallèles, et, par conséquent, placer sur la cirte te! lieu que l'on veut.
La valeur de c étant arbitraire, on voit que, en faisant c — 0, on retrouve la projection de Mercator ; en prenant c = [ , on obtient la projection stéréographique méridienne où la moitié seulement du
