AA
globe est représentée sur le cercle d'un rayon égal à — . En prenant
c = J, on peut représenter toute la surface du globe parce qu'alors les méridiens se coupent aux pôles sous des angles qui sont la moitié des angles de la sphère, mais les autres angles sont conservés. Quand nous reviendrons sur la construction de cette projection, nous donnerons les tables qui conviennent à ce cas particulier. Le canevas n" V, qui représente l'hémisphère nord, a été dressé dans ce système.
Si l'on veut, dans la projection générale qui nous occupe, tenir compte de l'aplatissement de la terre, il suffira de remplacer partout
les angles z par les distances aux pôles Ç corrigées en vertu de l'apla-
tissement et calculées dans la table HI pour l'hypothèse a = ^-j-.
1. On voit que dans la construction de ces cartes il y a, comme indéterminées, d'abord la distance A A' ou 2a dont dépend la grandeur ou l'échelle de la carte, puis la constante c, et enfin la position du lieu de la terre que l'on prend pour centre de la carte. Nous allons nous proposer de fixer ces indéterminées de manière à diminuer le plus possible l'altération causée par la représentation dans la grandeur des différents lieux de la terre. Cherchons le point pour lequel le rapport d'agrandissement, désigné ci-dessus par m, est un minimum, ou bien le point dans le voisinage duquel m est le moins altéré.
M. Bonnet a montré, dans ses travaux sur la théorie générale des surfaces, que si l'on appelle A une courbe tracée sur une surface de révolution, A' la courbe correspondante tracée sur la représentation plane de cette surface, ût le déplacement infiniment petit normal à la courbe A, la relation générale qui lie les courbures géodésiques des deux courbes conjuguées A et A' est
4 4 /cosO\ m
COSÔ
p' étant le rayon de courbure de la courbe A', et -y- la courbure
géodésique de la courbe A.
Cette formule nous permet de résoudre très-simplement la question du minimum de m. En effet, si l'on applique cette formule à un méridien, elle nous montre immédiatement que les lieux dont la grandeur est la moins altérée en longitude sont ceux qui sont situés sur le méridien rectiligne AA' de la carte, car pour ces points on a
et par conséquent -, doit aussi être nul. Supposons, en second lieu, que la formule se rapporte aux parallèles, on aura
et si l'on veut que
c'est-à-dire que la déformation du lieu en latitude soit également minimum, il faudra que
mais le rayon p' de la courbe transformée d'un parallèle est , en tenant compte du signe,
sin 2ck, '
û, qui a pour valeur générale
-, = ûcoss;
cos c(u, -{- 1) cos (m, — t) ac
se réduit ici à
cos' eu, 4-ftx)s2ru 1
CBAP. II. — PROJECTIONS ORTHOMORPHBS. 53
puisque, d'après la condition trouvée, t = 0. Donc notre formule devient
2c J — i sin2cw«
Nous pouvons obtenir un résultat beaucoup plus simple. Nommons k le rapport des distances du point cherché aux points A et A';
on sait que
k = e u ^ h) = cos2cu, + yCH" sinîcu, ,
et, par conséquent,
1 = cos 2c?/ , — \f^i sin î«i t ;
donc
v/^îsin2r Ml = i(A— i),
cos 2ctt i = §(^ + J)-
Substituant dans l'égalité (VI), il vient
2g(ft'— i)
2c — cosr
2c-}-cosz
Ainsi le point cherché, pour lequel la déformation de la carte est la moindre possible, est le point situé sur le méridien rectiligne AA' qui partage ce méridien en parties proportionnelles à 2c — cos s et à 2c -f- cos z. On voit qu'en supposant ce point désigné sur le globe terrestre, ce qui fait connaître r, on peut encore le placer arbitrairement sur l'axe AA' de la carte, et que l'exposant 2c se trouve seulement alors déterminé.
Puisqu'il reste encore une indéterminée, assujettissons la seconde
variation de — dans le sens du méridien à être nulle ; nous aurons m
du m du se rapportant à un parallèle. Or
84 1" PAlTfl. — THÊORIB DIS PROJICTIOM.
— = ços2c«,,
du a 1
puis, en supposant la terre sphôrique, ce que nous n'avions pas fait encore,
J — = — j~ — : — » - = sinz— !— ;
du du sins m 2ac
donc, en .uhsti tuant, on a
Jc'cosîcu, = \ -f C08 ÏCU, ;
d'où
et, à cause de la valeur de obtenue plus haut,
2c = V i -f sin'z ,
ce qui détermine 2c quand la latitude l = 90° — z est connue.
Ainsi, après avoir pris un lieu important M de la surface de la terre pour le point dans le voisinage duquel les lieux doivent être le moins altérés possible, on déterminera l'exposant de la carte par la condition 2c = y A H- sin'r,, r, étant le complément de la latitude du point M, puis on prendra les pôles A et A' de façon que le rapport des distances de ces points au point M' qui représente le point M de la terre
soit 2c ^ cos s ' enfîn le coefficient h ^ en a PP e,ant *• le complément de la latitude du centre de la carte est égal à — log tang -\ se déduira de ce que le rapport des distances M'A et M'A' ou ^ c ~~" cos *i
doit être — , et la carte se trouvera entièrement déterminée,
sauf l'échelle qui doit évidemment rester quelconque.
La projection dont nous venons de donner les formules et le tracé est connue sous le nom de projection de Lagrange.
CIIAP. J|. — PROJECTION ORTHOMORPHM. 55
8. Nous avons traite avec q^tajl, flans, ce qui précède, le cas particulier où les méridiens sont des cercle* qui se pqiipent aux pôles, cercles qui peuvent devenir fles droites. ; nous avons vu, que les para)lèles devaient être aussi représentés par des cercles, et nous avpns. donné les formules qui permettent cjp déterminer ces courbes, soit par leur centre, soit par leur intersection avec des droites fixes ç|e la carte, soit enfin par points isolés.
Le géomètre Lambert (1) est arrivé directement aux mêmes résultats par un calcul des plus simples que nous allons exposer ici.
Cherchons d'abord à remplir la condition que :
Dans un réseau où les parallèles sont représentés par des cercles concentriques et les méridiens par les rayons de ces cercles, le trapèze curviligne infiniment petit formé par deux parallèles et deux méridiens infiniment voisins soit semblable au petit quadrilatère correspondant de la sphère.
Soient (fig. 11) P le pôle, PN et Pn deux droites représentant deux méridiens infiniment voisins dont la différence des longitudes est dt; mM, «N deux arcs de cercle décrits du pôle P et représentant deux parallèles dont la différence des latitudes est dz = — dl , en appelant z le complément de la latitude du parallèle Mm.
Pour que le trapèze MmnN soit semblable à la figure correspondante de la sphère, il faut évidemment que l'angle NPn soit égal à Ad(, X étant une constante arbitraire, et que le rapport de chaque degré de parallèle à chaque degré de méridien soit le même que sur la sphère.
Appelons p le rayon PM qui représente Tare de grand cercle z ;
MN sera alors dp, et l'on devra avoir, en supposant la terre spbé-
rique, fc
dp dz
Ipdt sin zdt
ou
dp . dz
p ~~ sin z '
En intégrant
logp = XIogtang l -f C.
(l) Beytrôge zum Gebrattche der Mathemntik und deren Anurndung , durch J. H. Lamdf.rt, Berlin, 1772, in-8, pages 105-199 {Anmerkungen und Ztisâtze lur Entwerfung derUndund-Himmeltcharten.
56 1" PARTIB. — THÉORIE DBS PROJECTIONS.
Cette constante C peut être déterminée en se donnant, par exemple, la valeur de z pour laquelle le rayon p est égal à l'arc correspondant du méridien de la sphère; supposons que pour z = 90°, k c'est-àdire la distance du pôle à l'équateur sur la carte, doive être égale au quart du méridien, |az,en appelant a le rayon de la terre ; on aura alors
C = log£a:t = logÀ:; et la formule générale devient
log p = log ^tang |) * + log k = log k ^tang 0
donc
P=*(tang|)\
Nous avons ainsi obtenu directement, comme l'a fait Lambert, la projection dont nous avons déjà parlé au § A, et que Gauss (i) a traitée comme application de sa formule générale des projections assujetties à la condition de conserver la similitude des configurations dans la représentation d'une surface sur une autre.
On trouverait facilement que le rapport d'agrandissement est exprimé par
asinc asins '
Dans le cas où l'on veut tenir compte de la forme elliptique de la terre, il faut poser
Xpdt ~sinz(l — e'cos^rfr'
en appelant z l'angle de la normale avec l'axe des pôles. En intégrant, on aura donc
(1) Allgemeine Auflôsung der Aufgafje : die Theile einer gegebenen Fl fiche aufeiner andern gegehenen Flûche so nbzugebilden, dnss die Abbildung drm Abgebildelen in den kleinsten Theilen fihnlich wird,vnn C. F. Gauss ; un enhier de 30 pages compris dans les Atlronomische Abhandlungen herausgeyeben von H. C. Schumacher ; drilles fleft. Altona, 4825, ln-4*; voir principalement pages H à ! 7. Ce mémoire, couronne en 1822 par l'Académie des sciences de Copenhague, est donc postérieur de cinquante ans à l'ouvrage de Lambert; du reste Gauss, loin de s'attribuer le mérite de l'invention de cette projection, cite l'atlas céleste de Harding publié à Gôttingue de 1808 à 1822, et dont les planche* XIX à XXVI sont assujetties à cette projection avec les modifications que noua allons indiquer.
CHAP. II. — PHOJBCTIOÏIS ORTHOHORPH ES . 57
i . , Ç (1 — e % )dz z C e*smzdz
^logp-log - J sin . (i eWz) — <°g wng § — J 4 e i cos « 5 >
i. « i « z e. \— ecosz \ z (\+ ecoss\ « 1 i logp-log*==logtang---log rT ^=log^ng-( I r J j,
et, en appelant, comme nous l'avons déjà fait, Ç la distance au pôle corrigée en vertu de l'aplatissement de la terre, et posant
l'expression de ^ log p a aussi la même forme que dans le cas de la terre sphérique, et l'on aura
P = *(tang|)\
On pourra donc faire servir au cas de la terre elliptique les tables dressées comnie nous l'avons dit (g à), et donnant les valeurs de p pour les valeurs de z de 10 en 10 degrés; il suffira de calculer préalablement les valeurs de Ç qui correspondent aux valeurs de z. Ces valeurs de Ç sont réunies dans la table III calculée à l'aide de la formule que nous avons indiquée :
