X. = z — ^sin2z
Si la constante k doit exprimer la longueur de l'arc de méridien compris entre le pôle et l'équateur, on aura
ou plus simplement, en négligeant «* et prenant a = j—pr, k = Q = i r.a (l — jjj = 1,56818. a.
Le rapport d'agrandissement est exprimé par
U ( lang asinÇ
?» i". PARUE. — TH80RIB PES PROJBCTI^».
s. Comme X est arbitraire on peut le prendre de façon à satisfaire à une nouvelle condition; on peut, par exemple, déterminer X de telle sorte que les degrés de deux parallèles donnés sur le réseau, aient entre eux le même rapport que sur la sphère. Appelons r 0 et r, les colatitudes de ces parallèles ; leurs degrés étant dans le rapport de sin z 0 à sin a„ les rayons des cercles correspondants devront être dans le môme rapport, et l'on aura :
d'où .
^ logsim:, — log8inz 0
loçlang^- — logtang^ 0
z 0 et s, peuvent être les valeurs extrêmes de s; ainsi, pour l'Europe, en prenant pour parallèles extrêmes ceux de 70» et de 80 u de latitude nord, z, = 20° et s, = 60°. On trouve alors X = 0,78327 ; les angles au pôle (les seuls qui ne soient pas conservés) sont les f environ des angles véritables ; 40* de longitude sont représentés par un angle de V 40' 57",7, soit 7" 50' environ.
Si l'on voulait représenter de cette manière, et avec la même valeur de X, un hémisphère entier, l'angle au pôle serait de 281° 59' 38".
Si l'on prend le rayon de la terre pour unité, le rayon de }' Equateur de la carte sera 1,571... Les plus petits degrés de latitude sont entre les parallèles de 60' et de 50° de latitude, les plus grands entre le pôle et 80° de latitude. Vers l'équateur les degrés de latitude augmentent; les plus petits ont avec les plus grands le rapport approché de 15 à 25, ou de 3 à 5. Comme les différences sont à peu près constantes, les distances peuvent se mesurer approximativement avec la même échelle, si d'ailleurs les lieux ne sont pas très-éloignés les uns des autres en longitude.
Rappelons enfin que , lorsque les rayons des parallèles sont trop grands pour que les cercles puissent être décrits facilement avec le compas, on peut les tracer par points à l'aide des coordonnées
jc=pcosXr, y=psinXf,
CBAE. If. — PftOJEÇTlOSS OETBOMQRPBB9. 99
rapportées à deux axes rectangulaires passant par le pôle, centre de tous les parallèles.
La projection VI a été construite avec la valeur de X = f qui résulte, comme nous l'avons indiqué, de la condition de conserver le rapport des degrés de longitude des parallèles de 30° et de 70° de latitude (1) ; la projection VII suppose X = j.
ÎO. Revenons à la formule générale
P = *(tang|)*;
on peut déterminer la. valeur de X d'après une autre condition, celle par exemple que, daqs la figure àJNnrçi, nN ait avec M?i |e môme rapport que roM. Gela n'ayant pas lieu simultanément poi^r Joutps les latitudes, donnons-nous la |atftude 90° — Z pour laquelle nous, voulons ou'existe cette propriété ; cela revient évidemment à nous donner la latitude du parallèle squs lequel l'agrandissement est minimum; nous résoudrons donc le problème, soit en égalant à zérp la dérjvée par rapport à z de |a valeur de fn , soit par la considération de la figure MNnm.
Or
Nn = W/(p-f dp), et l'arc correspondant de la sphère est exprimé par dt sin [z -f dz) = rff (sin z -|- cos zdz) ;
ce qui donne
dz dt{s\nz 4- coszdz) Tp = ldt(p + d?) ;
il en résulte
dz\{p + dp) — rfp($inz -j- cos zdz) ;
d'où or
dp- , '
donc
sin z , . sin z
(1) Dans les huit cartes d'etr-iles de l'astronome Habdinc dont nous avons parlé dans la note précédente, on a pris pour z 0 et s, les colatitudes des parallèles extrêmes.
d'où enfin
X = cos z ,
et, par conséquent, pour la distance polaire Z,
X = cosZ.
La formule devient alors
P = *(iang|) Z ,
par laquelle le trapèze MmNn est tout à fait semblable au trapèze qu'il représente.
Il conviendra de prendre pour Z la colatitude du parallèle moyen de la carte à construire; ainsi 40° pour la carte de l'Europe. Si nous prenons pour parallèle moyen celui de 51° 34', Z = 38° 26', nous trouvons X = 0,78327, et si nous nous reportons au paragraphe précédent, nous voyons que notre canevas jouira de cet avantage que le rapport d'agrandissement sera le même sur les parallèles de 70° et de 30° et sera minimum sur celui de 51° 3â'.
Si nous considérons le cas de la terre elliptique, le calcul est le suivant :
X(p-frf P ) Xp «n(s + rfi)H-eW(z+«fc)l
dp ~d P ' t " (1— e')dz
Xp (sinz -f coszrfz) (1 — e* coss -f g e'cos z sin zdz)
d> + ~~ (i—e')dz
d'où
sins(l — e'cos^) cos; — e*cos*(l —3 sin';) (i-e^dz + ;
cos Z — e'cosZ ( I — asin'Z)
Telle est la valeur que prend X pour la colatitude Z du parallèle sur lequel le rapport d'agrandissement doit être minimum.
On serait parvenu plus simplement au même résultat en remplaçant, dans le calcul qui convient au cas de la terre sphérique, z par Ç et, l'on aurait trouvé par conséquent X = cos cette valeur Ç se déduisant de la colatitude donnée Z à l'aide de la formule
Ç = z — -sinîz.
tt. Lorsqu'on veut dresser des cartes d'étoiles, il peut êtreavan-
CHAP. B. — PROJECTIONS ORTHOIORPHES. 61
tageux de déterminer \ de telle sorte que les 4 5 premiers degrés de méridien soient égaux aux suivants, c'est-à-dire que le 45* degré de • latitude partage tous les méridiens (du pôle à l'équateur) en deux parties égales.
On aura alors, pour z = 45*,
1 i A 45"\* j = (teng— j ,
ou bien
l = (ta Dg 22-i)\
d'où
valeur qui approche beaucoup de 0,78327, ce qui montre un nouvel avantage du réseau pour lequel 1 est à peu près égal à 0,78327.
Les cartes tracées d'après cette méthode peuvent être prolongées aussi loin que l'on veut au delà de l'équateur.
Pour les cartes particulières, il convient de prendre, pour * 0 «et z i (voir S 9), les colatitudes géographiques des parallèles qui divisent à peu près en trois parties égales la distance des deux parallèles extrêmes de la carte à tracer (1). Si, par exemple, un pays, tel que l'Europe, est compris entre 30° et 70° de latitude, on prendra s,= 46° 40' et z 0 = 33- 20' et l'on calculera X par la formule
