CHAP. III. — PR0JBCTI0H8 ÉQUIVALENTES

La condition d'égalité des surfaces sur la carte et sur le sphéroïde est donc exprimée par la relation

dxdy dxdy

dïTl--dïli- L > (,)

dans laquelle L est une fonction connue de /, égale à à 1 cos l dans l'hypothèse de la terre sphérique.

Si nous prenons pour x une fonction quelconque cp de t et /, les

dérivées partielles ~ = p et ^~ — ç, seront des fonctions connues

de ces deux variables, et l'expression générale de y s'obtiendra par l'intégration de l'équation aux différentielles partielles

du "'y

On sait que cette intégration se ramène à celle des opérations différentielles simultanées

Ôn en déduit

))dt+qdl = 0, équation dont l'intégrale est

G étant uné Constante arbitraire. De plus

Ldl

Or si nous supposons l'équation cp (/, t) = C résolue par rapport à t et que nous substituions à t cette valeur dans l'expression de p, le résultat, que nous désignerons par p,/, f ), ne sera plus qu'une fonction de I, et il sera alors théoriquement possible de trouver l'intégrale

A Ldl A A '

de ; on pourra donc écrire.

Nous obtiendrons alors l'intégrale de l'équation aux différentielles partielles en établissant entre les deux constantes Cet C' une relation arbitraire quelconque ; et comme

CHAP. III. — PR0JBCTI0S8 ÊQUIV ALB1TTES. 83

puisque Ton a en général

pdt -j- qdl = dx, les équations définitives de conservation des surfaces sont

à la condition de regarder x comme une constante dans l'expres-

, dx sion de — .

Réciproquement, si ces équations sont satisfaites, les surfaces seront conservées. Soit en effet

*) = (* Ul

l'intégrale obtenue en considérant x comme constante. Prenons les dérivées partielles de y,

du dx M à dx dv

dy dx dx dv

di~di ' (XJ + di dx + dr

dx (l v

multiplions la seconde par — , la première par --, et retranchons,

dx dy dx dy dw dx

Tttl~dîlt == ~di 'dt ~ "

et cette équation implique nécessairement la conservation des surfaces.

Remarquons que si le système des deux équations

il), y = v('iO

est une solution de l'équation (1), on peut en déduire une infinité d'autres solutions en posant

où f représente une fonction arbitraire quelconque de x.

». Comme application des formules générales auxquelles nous sommes arrivés, prenons

t<f,0 = <tf et f(x)=O f

alors — = a, et par conséquent

Si nous supposons la terre sphérique, L, c'est-à-dire rjj, se réduit

à ar ou a* cos /; il vient donc

y = «i sin/.

On obtient ainsi un canevas dont les méridiens sont des droites parallèles et également espacées, et les parallèles d'autres droites perpendiculaires aux premières et distantes de l'équateur du sinus de la latitude correspondante. On voit de suite que ce système revient à circonscrire à la sphère un cylindre tangent le long de l'équateur et à projeter chaque point de la surface sphérique orthogonalement sur la surface cylindrique, c'est-à-dire par une perpendiculaire abaissée de ce point sur l'axe du cylindre, puis à développer la surface extérieure sur un plan.

Si l'on veut tenir compte de l'aplatissement de la terre, on est conduit à chercher l'intégrale de Ld/, c'est-à-dire de " ^ ~~ t € ) C ° S * .

B (1 — e* sin l) *

Posons sin / = m ; nous pourrons écrire

Si Ton veut que y s'annule avec 1, il faut faire G = 0,

Développons 2 ^ 8in , g et log (1 -f e sin t) — log (1 — e sin /)

en séries, et négligeons les puissances de e supérieures à la troisième, nous pourrons écrire

y = a(\— e») (sin/ + Je» sin»/),

CBAP. m. — PROJECTIONS ÉQUIVALENTES. 85

ou enfin

y = a sin / — ae* sin / (1 — * sin ' 0-

Nous reviendrons plus tard sur cette projection ; disons de suite que les régions voisines de l'équateur sont assez exactement représentées, mais que l'altération croît très-rapidement jusqu'aux pôles qui sont, comme dans la projection de Mercator, représentés par deux droites parallèles, de telle sorte que les zones polaires sont allongées suivant les parallèles et aplaties suivant les méridiens. Ce système n'est donc pas admissible pour les mappemondes, et son emploi doit être borné aux cartes des pays peu éloignés de l'équateur ou comprenant cette ligne, dont on veut conserver les surfaces sans s'occuper de la déformation des contours. Nous le désignerons sous le nom de projection isocylindrique droite de Lambert.

La mappemonde n° X a été construite d'après ce système.

». Pour les pays tels que l'Amérique, qui ont leur plus grande étendue du nord au sud, Lambert propose de retourner en quelque sorte ce genre de projection de façon à représenter le méridien moyen par une droite divisée en degrés égaux, et l'équateur par une perpendiculaire divisée comme l'était la ligne des pôles dans la projection précédente, c'est-à-dire suivant les sinus des longitudes.

Ainsi les conditions du problème sont que, pour t = 0, x — 0 et y = /, et que, pour I = 0, x = sin t et y — 0.

On voit de suite que la valeur de x, cp(J, t), qui satisfait à ces conditions, doit être

x = sin t cos /.

Nous en tirons

^ = cos /cos/, et ^j^j =v/cosV — x*.

Comme x doit être nul avec i, il faut que f (x) = 0. Il reste donc

cos Idl . sin/

= arc sin

v'cos*/ — x* yi— x*

Les équations de la projection sont donc

Îx = sin? cos/, sin/ tang/

sin y = — , ou tang.y = —

v 7 ! -sin 1 / cos» / cos <

Lambert, après avoir exposé sa projection isocylindrique droite,

86 t" PARTIE. — THEORIE DBS PROJECTIONS.

est parvenu à celle-ci, que nous désignerons sous le nom de projection isocylindrique transverse, par une simple transformation de coordonnées applicable à toutes les projections cylindriques et que nous exposerons plus loin (chap. VI, § 26).

Revenons aux équations de ce système. Nous obtiendrons les équations des méridiens et des parallèles en éliminant soit l soit / entre les valeurs de x et de y.

En éliminant /, on trouve pour équation des méridiens

x*[i -ftang'y cosU) = sin*f.

En éliminant /, on trouve pour équation des parallèles

tang'y (cos* / — x*) = sin* /.

Ces deux genres de courbes sont transcendants, de 9orte qu'il faudra toujours les construire par joints que l'on réunira ensuite par un trait continu ; mais la connaissance des équations nous permet de faire quelques remarques sur la forme du canevas.

On voit d'abord que la projection doit être symétrique par rapport au méridien du milieu & partir duquel se comptent les longitudes, et par rapport à l'équateur ; que le méridien de 90° de longitude est parallèle à l'équateur, et que, si l'on continue à faire croître la longitude au delà de 90% ou obtient au-dessus de ce méridien rectiligne une figure parfaitement semblable à celle déjà construite au-dessous ; il en résulte qu'une projection polaire d'un hémisphère serait symétrique par rapport aux méridiens de 0° et de 90* de longitude, perpendiculaires l'un sur l'autre.

Cherchons maintenant les tangentes aux méridiens et aux parallèles aux points principaux de la ligure. On sait que l'angle a de la tangente à une courbe avec l'axe des x a pour tangente trigonomé-

trique^.

Pour les méridiens nous trouvons

dy (i -f- tang 1 /) cos<

dx " (cos*f -f- tapg'/j sin t sin / ' Si nous faisons / = 0, nous obtenons

(dy\ ™s/

ce qui montre que les méridiens coupent l'équateur à angles droits.

CHAF. III. — PROJECTIONS EQUIVALENTES. 87

Pour / = 90°, c'est-à-dire au pôle, la tangento de l'angle que fait

un méridien avec le méridien de départ, c'est-à-dire^, est égale à

[~{cos*f -f-tang*/) sin/ 1 L (4+tang*/)cosf J 90 =

/ cosf Itang'/

+ 1 smt

= tangf,

ce qui montre que les méridiens font aux pôles leurs véritables angles ( avec le méridien principal.

Pour les parallèles nous trouvons de même

éy sin/tangf

dx "~ cos 1 / (cosV -f- tang" /) *

Pour t = 0, — = oo , ce qui montre que les parallèles sont per-

qui montre que les parallèles sont perpendiculaires au méridien de 90° de longitude.

Le canevas n° XI a été construit dans ce système à l'aide des tables du chapitre X (2* partie).

4. Revenons maintenant aux équations générales des projections

JwX.

Nous pouvons disposer de l'indétermination des deux fonctions ? et f dans ces équations, pour imposer à notre système de représentation une autre propriété que la conservation des surfaces ; nous pouvons exiger, par exemple, que les lignes des méridiens et des parallèles se coupent à angles droits.

Or si nous calculons l'angle <p d'un méridien et d'un parallèle de la carte, nous trouvons

<fy <Ar <fy </x tan dl dt dt dl

dl dt + dt dl

Pour que 9 soit égal à 90°, il faut donc que

dy dy dx dx

dl dt 1 dl dt

en y joignant l'équation générale

dy dx dx dy

dl dt dl dt

on a les deux équations du problème.

M. Bonnet a montré que la question se ramenait à la résolution d'une équation aux différentielles partielles du second ordre et a trouvé l'intégrale de cette équation; mais comme les applications que l'on peut en faire relativement aux systèmes de représentation offrent peu d'intérêt au point de vue pratique, nous ne nous y arrêterons pas.

&. La détermination des fonctions arbitraires, par la condition que les méridiens et les parallèles de la carte soient des courbes d'une espèce donnée, constitue un problème qu'il est peut être impossible de résoudre d'une manière générale, mais dont quelques cas particulière se présentent facilement.

Cherchons, par exemple, les formules qui expriment tous les systèmes dans lesquels les parallèles sont représentés par des droites parallèles.

Si nous prenons l'équateur pour axe des j*, nous voyons que y doit être indépendant de la longitude f, et que l'on pourra, par cou-

II en résulte que l'on doit faire, dans les formules générales,

et que -7- doit être indépendant de l; x devra donc être de la forme

séquent, poser

si l'on se donne la condition de x nul avec t; de sorte que l'on

pourra écrire