CHAP. DE. — PROJECTIONS ÉQUIVALENTES

On en tire et, par conséquent,

X= W) et y=F(/) '

sont les équations du problème.

En remplaçant L par sa valeur 1 . ' ,

r r (1 — c* sin'f) *

nous obtenons les deux équations

a*t cos/ (t — g'j

Si Ton suppose la terre sphérique, ces formules se réduisent à

L'expression générale de l'ordonnée x montre que pour des différences égales de latitudes, les courbes méridiennes divisent les parallèles en parties égales.

M. le capitaine du génie de Prêpetil-Foucaut (1) est parvenu au même résultat en traitant directement la question pour le cas de la terre sphérique. L'aire de la zone abef (fig. 15) comprise entre le méridien AP, un méridien quelconque Pe/E, les deux cercles parallèles infiniment voisins eb et af, a pour mesure l'arc de l'équateur AE multiplié par la hauteur de la zone, soit

a* t cos Idl.

Si nous traçons deux axes rectangulaires A' P\ A'E\ que nous prenions le premier pour représenter le méridien principal rectifié, le second pour représenter l'équateur, la courbe des méridiens sera déterminée par la condition que le rectangle a'b'e'f soit égal à la portion de zone sphérique abef; nous aurons

xdy = a* t cos Idl.

(1) Notice sur la construction de nouvelles mappemondes et de nouveaux atlas, llthoajnptoée à Arras en 1862.

90 I» PARTIS. - TSiQRIK DBS PROJRCTIORf.

la loi d'espacement des parallèles; les équations du système de projection considéré pourront s'écrire

Pour avoir l'équation des méridiens, il suflira d'éliminer 2 entre ces deux équations.

Traitons quelques applications de ces dernières formules. G. L'expression la plus simple de y est évidemment

« étant une constante arbitraire.

Alors

V\i) = na t

at cos/fl — e°) x = —

n (i — e'sm*/)"

et si nous supposons la terre sphérique ,

at .

x — -- cos/.

Les méridiens sont donc des sinusoïdes qui partagent les parallèles en parties égales, et les parallèles sont des droites espacées comme les parallèles de la terre.

Si l'on suppose n = 1, les équations se réduisent pour le cas de la sphère à

y — al et x = a/cos/,

ce qui montre que les degrés de parallèles conservent sur la carte leur véritable grandeur. On obtient ainsi la projection imaginée en 1650 par le géographe français Sanson (l) et nommée improprement projection de Flamsleed (2) ; nous la désignerons sous le nom de projection sinusoïdale de Sanson, et comme elle a été souvent

(1 1 Voir a la bibliothèque Impériale l'atlas in-folio n* 3477 comprenant l'Aile. Afrique, les deux Amériques et plusieurs cartes de détail par Nicolas Sanson, d'Abbeville, publiées en 1G50 d'après cette projection, ainsi que la carte d'Europe par Nicolas Sanson, fils du précèdent. L'ensemble des caries des Sanson a été réédite plusieurs fois par leurs ûls et petits-fils, et par Robert de Vaugondy en 1755.

(2) Cette projection, citée dans l'ouvrage anglais : The construction of mnps and ylobes in tivo parts... Londres, 1717, in-8, p. 81 a 83, fut employée par l'astronome anglais iean Flamsteed pour la rédaction d'un atlas céleste commencé en 1700 et publié en 1720 sous le titre : Âtias tuetestis ou the iate Révérend John Flamstf.eh. Londun, r, Vi, t r. In-folio.

CIUP. III. rr PEOJBCTIOliB £QU|U14mTU. 91

employée par les géographes môme pour représenter la surface entière du globe dans une sorte d'ovale dont le grand axe est double du petit, nous l'étudierons plus loin avec plus de détails (1). La table 11, qui renferme les valeurs des degrés de longitude pour les parallèles de degré en degré, rend très-facile la construction de cette projection sur laquelle a été tracée la mappemonde XVIII.

Nous voyons de suite que, l'angle d'intersection des méridiens et des parallèles n'étant droit que sur le méridien du milieu et sur l'équateur et s' écartant très-rapidement de 90° à mesure que la latitude augmente, cette projection ne peut convenir que pour les pays situés de part et d'autre de l'équateur et peu étendus en latitude.

». Si l'on voulait que x fût fonction de t seulement, et par conséquent que les méridiens fussent représentés par des droites perpendiculaires à l'équateur, il suffirait de poser

et alors

F(/) = ncos/;

donc

y = F(/) = nsinr\

On obtiendrait ainsi la projection isocylindrique droite do Lambert (g 2).

M. de Prépetit-Foucaut a indiqué le système qu'il a appelé stéréographique équivalent dans lequel les parallèles rectilignes sont à la môme distance que ceux de la projection atéréographique ordinaire.

On a ainsi (fig. 16)

JL - EQ .

ab Wb 1

d'où On en déduit

y = ûtang^.

rn

2cos»^

(I) Voir 2' part., chap. VII, 2-. Disons Ici que la projecUon prétendue nouvelle et nommée isographique par le docteur Molir (séance du G février 18{Ji de la Société d'histoire naturelle et de médecine du Bas-Rhin) n'est point autre que ta projection de

M 1" PAHTI1. — THÉORIE DBS PROJECTIONS.

donc

x = îa/cos/cos" -.

Pour 1 = 90°, y = a, x = 0, et pour t = 90° et ( = o, y = 0 et x = an. On aurait donc pour représenter un hémisphère une figure très-aplatie aux pôles. Mais on peut transformer cette projection en

prenant pour y, non plus a tang ~, mais an tang ^, n étant un coefficient que l'on détermine par la condition que les deux axes de la représentation d'un hémisphère soient égaux.

On obtient d'abord pour x

toi . J x = — cos / cos* - .

flTî

pour l = 90% y = an, et pour 1 = 0, t = 90°, x = — . Il faut donc

poser

d'où

et les formules sont dans ce cas

y = at\Jn, x = — cos/cos* ±.

\Jk 2

Ce système est plus curieux qu'utile; nous ne nous y arrêterons pas plus longtemps.

8. En voici un autre qui permet de représenter les parallèles par des lignes droites et les méridiens par des droites partant toutes d'un même point qui est le pôle de la projection.

Reprenons les formules générales pour le cas où la terre est supposée sphérique,

a'tcosl

Les équations des méridiens doivent être de la forme

en appelant b l'ordonnée du point pris pour pôle, et plaçant l'origine des coordonnées à la rencontre de l'équateur et du méridien principal.

CHAP. III. — PROJECTIONS ÉQUlYÀLIHTES. .93

On a ainsi

dl

Comme ^ est indépendant de t, il faut, pour que cette égalité ait

lieu quelles que soient les valeurs de t et I, que cp (0 soit de la forme mt, m étant une constante. On a alors

m{b — y)dy = d , ca&ldl,

et en intégrant

Or y s'annule avec /, donc G = 0; et comme pour l = 90 fl , y = 6, il faut que

d'où

Sa*

Les équations du système sont donc

Nous pouvons disposer de la constante b pour assujettir le problème à une nouvelle condition.

M. E. Collignon (1) l'a déterminée de manière que les méridiens extrêmes qui limitent la carte d'un hémisphère dessinent un carré. Il

faut alors que pour l = 0 et t = ± ^, on ait x = =fc b.

On trouve immédiatement

de sorte que les équations du nouveau système sont

x = 2 ( ûv /^ y )i,

(1) Journal de l'École polytechnique, 41*

94 1* PARTIE. - THÉORIE «E* FR0JÉCTld*5.

y* — 2a fi y -\- ita'sin / = 0.

>/ devant toujours être plus petit que a fi on ne devra prendre que la racine

y = a fi[{ — v'1 — s»»> l) = a yit — v2sin —y—) ■

Soient (fig. 17) P le pôle, EE' l'équateur, on portera d'abord

PO = OE =— = a fi.

Les méridiens se construisenUimmédiatement en partageant l'équateur en parties égales représentant des arcs de longitude de 5° en 5° ou de 10° en 10°.

Du point P, comme centre, avec PO pour rayon, décrivons le quadrant ADB.

Pour tracer le parallèle correspondant à une latitude représentée sur le quadrant AB par l'arc AD = i, il suflira de prendre le milieu F de l'arc DE complémentaire de la latitude, et de mener par ce point F, 111 parallèle à BPE' jusqu'à la rencontre II de PO. Le parallèle cherché sera N'IIN parallèle à EE'.

En eflet, abaissons FI perpendiculaire sur BE'et menons 1K parallèle à PO , nous aurons

Or

donc

OH = OP — 1K = 0P — IFV2-