IC . 90° — / r 90' — l
IF = OP sm — - — = a y « sm — - — ;
OH = a fi (l-v^sin ^f^) ,
valeur qui, substituée à y dans l'équation entre y et t, satisfait à cette équation.
Pour tracer les parallèles de 10° en 10°, il suffira donc de porter des arcs de 5° en 5° du point B au point M, milieu du quadrant BA, et de projeter ces points sur PO parallèlement à BE'; par les points de division de PO ainsi obtenus, on n'aura plus qu'à mener des parallèles à EE' et ces parallèles seront à peu près également distants.
Pour obtenir le carré on fera le tracé seulement pour les latitudes boréales et on le répétera symétriquement au-dessous de l'équateur.
CBAP. III. — PROJECTIONS ÊQl IVALIHTES. 95
Nous allons maintenant considérer les systèmes de projections .i surfaces équivalentes dans lesquels les parallèles sont représentés par des cercles concentriques. Nous pourrions traiter cette question comme cas particulier du problème général.
Soit C le centre commun que nous prenons pour centre des coordonnées polaires p et 0; remarquons de suite que p doit être fonction de la latitude l seulement ; ainsi
Le petit quadrilatère formé par deux méridiens infiniment voisins et deux parallèles ayant pour rayons p et p -f- dp, a pour surface le produit de sa base pdO par sa hauteur dp. L'égalité des surfaces de la carte et du sphéroïde donne donc
pt/p</8 = ardids = tdtdl ;
d'où Ton tire
et en intégrant
rfO L dt~~ dp* p dl
Si nous convenons de compter les angles ô à partir du méridien principal qui sera représenté par une droite, on voit que 0 doit s'annuler avec t et que par conséquent
Les équations générales cherchées sont donc
Les parallèles sont des cercles concentriques et les méridiens partagent les parallèles en parties égales et ont pour équation le résultat de l'élimination de / entre les deux équations précédentes.
Faisons quelques applications de ces formules.
f •. Supposons d'abord la terre sphérique et prenons pour p la fonction la plus simple de h Soit
96 i" PARTIE. — THÉORIE DBS PROJECTIONS.
c et c' étant deux constantes. Dans ce cas la valeur de 0 peut s'écrire
atcosl
cp
L'égalité
atcosl
montre que les degrés des parallèles sont tous réduits dans un rapport constant ; cette propriété rend très-facile le tracé de ces projections puisque les parallèles sont des cercles concentriques et que, pour avoir les méridiens, il suffit de porter sur ces cercles des longueurs qui soient aux degrés correspondants des parallèles de la sphère comme 1 est à C.
'Nous pouvons construire des projections analogues pour représenter l'ellipsoïde. Pour cela donnons à p des variations proportionnelles à celles de l'arc s de méridien compté à partir du pôle en posant
p = ac -f- es.
Alors
et l'on aura encore
ds
uti' —
e- tL - dl - tr
T dp ~~ dp ~ cp *
Comme il est difficile et peu exact de porter sur un arc de cercle des longueurs données, il faudra déterminer les divisions des parallèles en construisant les angles G, ou en portant, à l'aide du compas, les longueurs des cordes qui devront sous-tendre les arcs cherchés. Ces cordes d se calculeront facilement à l'aide de la formule
d = 2pstn -.
Lorsque le centre commun des parallèles sera trop éloigné pour que ces cercles puissent être décrits facilement, on les déterminera par points en les rapportant à deux axes rectangulaires dont l'un sera le méridien principal et l'autre une perpendiculaire quelconque, tangente par exemple au parallèle de latitude l ; on aura ainsi
