CHAP. III. — PROJECTIONS ÉQUIVALENTES

x = psinO et y = p l — pcosO,

p étant le rayon du parallèle de latitude I,.

II. Nous pouvons disposer de l'indétermination des constantes c et c pour donner à la projection une nouvelle propriété.

Supposons par exemple que nous convenions de prendre le pôle pour centre commun des cercles de latitude. 11 faut alors que p soit nul pour / = 90» et par conséquent

Si l'on demande en outre que le rayon de l'équateur ait une longueur donnée ma, ce qui fixe l'échelle de la carte, on trouve

c = m ; donc c = ,

et ainsi les deux formules deviennent

Or, en supposant^- = 1, ce qui est toujours possible, puisque cette constante m ne sert qu'à fixer l'échelle de la carte,

ts'inz

P = az et 6 = ,

l'équation des méridiens est alors

al sm tlp

Si nous calculons l'angle w que fait la tangente à cette courbe avec le rayon vecteur, nous trouvons

tango) = p — = tz cosr — fsinz.

dp

1 Cet angle est nul au pôle où s = 0* et va en croissant avec s, de sorte que plus on s'éloigne du pôle et plus les méridiens s'inclinent

sur les parallèles. Cette projection serait donc tout au plus bonne pour les régions voisines du pôle. La projection n° XIX reproduit la surface entière du globe d'après Werner (1514) (1).

19. On peut aussi déterminer les constantes qui entrent dans l'expression de p par la condition que p ait une longueur déterminée pour une valeur donnée de /. Si l'on fait en sorte, par exemple, que pour 1= p soit égal à la cotangente de cette latitude, le rayon de ce parallèle sera précisément égal à la génératrice du cône supposé tangent à la sphère le long de ce cercle de latitude, et l'on pourra considérer la projection comme une sorte de développement de ce cône sur lequel on aurait d'abord rectifié chaque méridien à partir du point de tangence ; la valeur de chaque rayon est, dans ce cas,

P = ocotang/, + (/,— /).

Cette projection jouit de cet avantage que les méridiens coupent le parallèle dont la latitude est J, à angles droits, de sorte que si l'on prend pour /, la latitude moyenne du pays que l'on veut représenter, on a sur ce cercle, la représentation la plus exacte qu'il soit possible d'obtenir. Nous reviendrons longuement sur cette projection, dont quelques géographes ont voulu attribuer l'idée première à Ptolémée, et qui est appelée en Allemagne projection de Bonne, en France projection du Dépôt de la guerre, et encore (par une grosse absurdité) projection de Flamsleed modifiée (2). Disons de suite qu'il est trèsfacile, dans cette projection, de tenir compte de l'aplatissement de la terre. 11 suffit pour cela de prendre pour rayon du parallèle moyen la tangente du cône circonscrit à l'ellipsoïde, et de porter à partir du point de tangence sur le méridien moyen, les vraies longueurs des arcs de méridien données dans la table 1 ; on portera ensuite sur les arcs de cercle qui représentent les parallèles , les longueurs correspondantes à chacun d'eux, et données dans la même table.

Si l'on faisait Z, = 0, p serait infini, les cercles parallèles deviendraient des droites et l'on obtiendrait la projection dont nous avons déjà parlé, vulgairement appelée projection de Flamateed quoiqu'elle ait été indiquée et employée par Sanson en 1650 (3).

(1» Voir chap. VI, § 16.

(2) Voir chap. VI, § U et 2« part., chap. VII.

(1) Voir chap. VI, § li, et 2* part., chap. VIII.