Ce second système est ainsi défini par l'expression
et a pour formules
tas*, P = 2ûsin|.
On voit que dans ce cas le rayon p de chaque parallèle) est égal à la corde de l'arc de méridien compris sur la sphère entre lej pôle et le cercle de latitude correspondant.
Lambert est arrivé à ces systèmes isosphériques en traitant directement la question de la conservation des surfaces sous la condition de représenter les méridiens par des droites se coupant au pôle et les parallèles par des cercles ayant ce pôle pour centre.
En posant PM = p, MN = dp, on a
surf. MNjjlv = pdtdp = a* sin xdxdt prfp= a* sin zdz = — a*d cos z.
Donc, en se donnant la condition que p s'annule avec z, | p 1 = o*(l — cos z) = 2a* sin' | ,
p = 2a sin ^ .
Lambert eut encore le mérite de remarquer que cette projection, de même que toutes celles où les méridiens sont, en prenant le pôle
(1) Xttvtfxcpoc, plus étroit.
(2) Bntwerfung der Charttn, sec t. [X.
(3) fooiios>oç f également partagé.
IOS 1" PARTIE. — TfrtORIB DIS PROJECTIONS.
pour centre, des droites régulièrement espacées autour de ce point et les parallèles des cercles concentriques, peut s'appliquer en un point quelconque de la sphère pris pour centre ; il .suflit pour cela de supposer les méridiens remplacés par des cercles verticaux et les parallèles par des cercles (nommés almicantarats) ayant tous ce point pour centre et dont les rayons sur la projection var ieront d'après la môme loi que les rayons des parallèles de la projection polaire. D'après cette remarque il suffit, pour représenter une portion quelconque de la surface sphérique sans en altérer les aires, de prendre arbitrairement un point de la sphère pour centre du tracé, de reporter ce point sur le papier, puis de placer chaque point du contour dans l'azimut du point correspondant sur la sphère par rapport au centre adopté, à une distance de ce centre égale à la corde du grand cercle mené de l'un à l'autre de ces deux points.
Pour déterminer chaque point de la carte par sa latitude et sa longitude, il suflit d'exprimer l'azimut et le rayon vecteur en fonction de ces coordonnées. Ce calcul de transformation de coordonnées se fait très-facilement à l'aide du triangle sphérique ayant pour sommets le pôle, le point central et le point donné par sa latitude et sa longitude, et que l'on veut placer sur la carte; dans ce triangle on connaît, en effet, deux côtés et l'angle compris; il est facile de trouver l'angle au point central et le côté qui joint ce point à celui que l'on veut placer.
Nous reviendrons sur ce calcul lorsque nous parlerons des projections zénitales, c'est-à-dire qui peuvent avoir pour centre un point donné quelconque.
Lambert n'a considéré, dans sa projection isosphérique, que le cas où le point central est pris sur l'équateur, de sorte que la projection d'un hémisphère peut être regardée comme faite sur le plan d'un méridien; mais le principe de transformation est le même lorsqu'on projette tout ou partie de la demi-surface sphérique sur l'horizon d'un lieu quelconque. Tout le mérite de cette invention revient à Lambert et non à Lorgna, qui, quoique n'ayant parlé que dixsept ans plus tard de la projection polaire seulement, a su attacher son nom à ce système (1).
Nous reviendrons plus tard (2) sur cette projection, que M.E. Col-
(t) Anton.-Mario Loroa, Principi di geografia attronomico-geometrica, Vérone, 1789, in-folio, chap. IX, ù XI, p. 68 a 94.
(2) Voir 2« part., ch. IX.
CHAP. Ut. — PROJECTIONS ÊQUITALKNTES. 105
lignon (1) vient de traiter d'une façon très-remarquable dans un mémoire présenté à l'Académie, et nous parlerons alors de l'application de ce système aux cartes particulières et de la manière de tenir compte de l'aplatissement de la terre. Disons de suite que la projection isosphérique zénitale de Lambert est incontestablement la meilleure de toutes celles qui conservent les surfaces, car :
1° l'altération des angles et des distances y est nulle au centre de la carte, point que l'on peut choisir arbitrairement;
2° ces erreurs sont égales à des distances égales du centre ;
3° en chaque point il existe une infinité de couples de droites formant des angles non altérés, et deux éléments de longueur non altérés ;
A 0 on peut, par des opérations graphiques très-simples, déterminer rigoureusement la mesure d'un angle représenté sur la carte, et approximativement la mesure de la longueur d'une ligne donnée.
Les projections n°' XX et XXI ont été dressées dans ce système et à l'aide des tables du chapitre IX (2« partie).
1». M. Collignon a proposé de construire des mappemondes mixtes en trois parties, les deux zones polaiies à une base comprises entre les pôles et les parallèles de 30° de latitude étant projetées dans le système isosphérique de Lambert, et la zone équatoriale intermédiaire dans le système isocylindrique dont nous avons parlé au § 2. Comme la corde d'un arc de 60° est égale au rayon, les rayons des cercles qui limitent les deux zones polaires seront égaux au rayon du cylindre circonscrit, de plus les altérations des longueurs seront identiques sur ces trois cartes dans le sens des lignes qui en forment les contours extrêmes, et identiques aussi dans le sens perpendiculaire à ces contours; c'est ce que nous démontrerons quand nous étudierons chacun de ces systèmes en particulier. Une mappemonde ainsi construite permet d'évaluer des distances avec une erreur au plus égale au ~ de leur valeur et de tracer au rapporteur les directions avec une déviation maximum de 8° 12', résultats qui doivent être considérés comme très-suffisamment exacts quand on a à représenter la totalité de la surface terrestre sous la condition de conserver les aires.
1«. La projection isosphérique sténotère de Lambert peut être considérée comme une projection conique toutes les fois que m est
(I) Journal l'Ecole Polytechnique, 4P cahier.
plus grand que l'unité, car il est alors toujours possible de calculer l'angle au sommet 2x du cône obtenu en enroulant cette projection. En égalant la circonférence de la base à l' arc-limite de la projection, on a en effet (iig. IX)
2*0 A = Re ou 6R = 2tïR sina;
d'où
0 = 2* sin a.
Or nous avons posé 8 = — , donc
tn
— = sina.
formule qui permet de calculer l'une des quantités m ou a quand l'autre est connue. Si l'on suppose le cône tangent à la sphère , l'angle a est égal à la latitude de parallèle de contact.
Au lieu de prendre un cône tangent à la sphère, on peut en considérer un sécant en s'imposant la condition que sur deux parallèles donnés les degrés de longitude conservent leur véritable rapport avec ceux de latitude, et par suite que l'altération des angles soit nulle sur ces deux parallèles.
La projection qui en résulte, imaginée par le docteur Albert de Lunebourgen 1805 (1), est donc le développement d'un tronc de cône ayant pour axe la ligne des pôles et traversant la sphère suivant les deux cercles de latitudes J, et /, que l'on veut conserver dans la représentation.
La surface de la zone limitée par ces deux parallèles (fig. 19) est exprimée par
S = 2ra* (sin /, — sin /,) = Ar.a* cos sin ^~^ ! ; la surface correspondante du tronc de cône par
S' = iraD (cos /, -f- cos /,) = 2™D cos ^i- 1 cos -'-^r 1 » en appelant D la distance AB, c'est-à-dire la différence des rayons
(I) Beschreibung einer neuen kegelprojrction, von //. C. Ai.uers, mémoire insère dam la Monatliche Correspondent cIcZacu, novembre 1805, p. 450 a 459.
cmp. m. — raojECTioNS équivalentes, ios
des deux parallèles considérés sur la projection. De l'égalité des surfaces on tire
D = 2atang^i.
Le rayon p, du parallèle A/, s'obtiendra par le rapport BA OA . Dcos/ f a cos/,
De même le second rayon p t sera donné par l'égalité
• a cos/,
Pl = P,+ D =
sin^pcos^
Quant à l'écartement des méridiens qui sont les génératrices du cône développé, on l'obtiendra en égalant les deux expressions de la longueur d'un des deux parallèles B ou A sur le cône et sur la sphère, ce qui donnera
Q ta cos/, t
Pi *
en posant
1 sin 1 g ' cos ' 9 1
Ainsi les angles des méridiens entre eux sont réduits dans le rapport de 1 à k.
Cherchons maintenant l'expression du rayon d'un parallèle quelconque de latitude l.
La surface infiniment petite comprise entre ce parallèle, le voisin et les deux méridiens consécutifs a évidemment pour expression sur le cône Qpds, et sur la sphère ta 9 cos Idl; en exprimant que ces deux surfaces sont égales on a donc
6p</p = — ta* cos/rf/;
nous mettons le signe — parce que dp et dl sont des accroissements
de signes contraires. Remplaçons G par ^ et intégrons, nous aurons
|p« = — 2a»itsin/-f C.
106 !" l'ARTIK. — THÉORIE DES PROJECTIOWS.
Pour l = J, on a par conséquent
p.'rzz-Sa'A-sin/. + C;
donc
p'rrrSaV^sin/, — sin/) + Pl ».
Telle est l'expression qui permettra de calculer le rayon d'un parallèle quelconque.
Si l'on veut prolonger le développement au-dessus et au-dessous des deux parallèles f, et / t , le pôle sera représenté par un arc de cercle dont le rayon sera
P \ 0 = Pl * -2^(1-510/,),
et l'équateur aura pour rayon
P % = Wk sin /, + Pl «.
Dans cette projection la déformation n'est pas très-considérable lorsqu'on ne s'éloigne pas trop des deux parallèles qui conservent leur grandeur exacte, et par conséquent lorsque la différence des latitudes de ces deux parallèles est elle-même peu considérable; dans les 5 degrés de latitude voisins de chacun d'eux, l'erreur sur les degrés de longitude ne s'élève pas à plus de Les distances se mesurent directement avec une approximation souvent suffisante, à l'aide d'une échelle divisée en parties égales, tant que la carte ne comprend pas plus de 20 degrés de latitude. Les distances, dans la zone centrale, sont augmentées du nord au sud et diminuées de l'est à l'ouest, et l'erreur la plus grande est sur les parallèles du milieu; dans les zones extrêmes, au contraire, les distances du nord au sud sont diminuées et celles de l'est & l'ouest augmentées, et cela d'autant plus que les deux parallèles donnés sont plus éloignés. Les erreurs sont indépendantes de l'étendue en longitude, ce qui rend la projection d'Albers très-convenable pour un pays tel que la Russie, qui a une très-grande étendue en longitude. Fnfin les erreurs d'angles et de distances diminuent à mesure que la différence des latitudes des parallèles extrêmes décroît, et pour une zone ne dépassant pas 10° ces erreurs peuvent être négligées.
Le système d'Albers fut adopté pour la carte générale de l'Europe construite à Nuremberg en 1817 par Reichard.
La projection n° XV donne le développement de l'hémisphère nord avec la conservation des parallèles de 50 degrés et de GO de latitude.
