CHAP. III. — WOJICTIONS ÉQUIVALENTES

1». Si l'on veut une projection où les méridiens et les parallèles soient des droites se coupant à angles droits et où les degrés d'un parallèle donné conservent leur véritable rapport avec les degrés de latitude, on imaginera un cylindre non plus tangent à la sphère comme dans la projection isocylindrique de Lambert, mais construit sur le parallèle donné, en partie* intérieur et en partie extérieur à la sphère; de cette manière l'étendue en longitude se trouvera exacte vers le milieu , mais l'erreur sera partagée entre les deux extrémités.

Si nous appelons h la distance d'un parallèle de latitude ï = f 0 -f- 8 au parallèle de latitude l 0 qui est supposé servir de base au cylindre et se développer en vraie longueur, on aura, en égalant les surfaces correspondantes de la sphère et du cylindre,

Nous reviendrons plus loin sur les projections cylindriques et nous montrerons que le cylindre peut être pris non-seulement perpendiculaire à l'équateur, mais encore oblique et tangent le long d'un grand cercle quelconque considéré comme l'équateur artificiel d'une zone étroite et oblique que l'on aurait à représenter.

La projection n° XII donne le développement du cylindre sécant le long du parallèle de A5°.

18. Il nous reste à parler d'une autre projection imaginée en 1806 par le savant professeur C.-B. Mollweide, de Halle (1), et dont on a fait depuis 1857 de nombreuses applications sous le nom de projection homalographique de M. Babintt. Le professeur Schmidt, de Giessen, en 1803, et bien avant lui le P. Fournier (2) en 1643, avaient proposé « pour tracer une carte la mieux proportionnée « qu'on puisse, » sur le plan d'un méridien, de représenter les mé-

(1) Mollwkide, V cher die vom Prof. Schwdt in Giessen in rter zwet/len Abthntung seines Handhuchs der naturlehre S. 59.» Angegeljtne 'Projection der Ha/bkugelflûche » (hierzu em Kupfer, eine ge> mctrixche Figur enthnltend) dans la Monatlichc Correspondent de Zach, cahier d'août 1805, p. 152 à IG3.

(2) Hydrographie, composée par le Père G. Focrnier, de la compagnie de Jésus. Parii, 1643, 2* édit., 1667 in-fol.? llv. XIV, Des Cartet, p. &24.

2*0* [ sin (/, -f 5) — sin / 0 ] = î-nah cos (

d'où l'on tire

cos l 0

108 I" PARTIE. — THÉORIE DBS P10JEGT101W.

ridiens équidistants par des ellipses équidistantes; quant aux parallèles, le P. Fournier les traçait soit en arcs de cercle passant à la fois par les divisions respectivement égales des méridiens extrêmes et du méridien moyen (1), soit en lignes droites menées par les divisions homologues des méridiens extrêmes. Le professeur Schmidt recommandait de diviser les méridiens elliptiques en parties égales avec le compas, pour déterminer chaque parallèle par points. Si l'on obtenait ainsi l'égalité des zones elliptiques et des fuseaux correspondants de la sphère, il n'en était plus de même pour les zones limitées par des parallèles, et ainsi l'égalité des surfaces n'était pas conservée ; ce fut Mollweide qui eut le mérite de trouver la loi de l'espacement des droites destinées à représenter les parallèles de manière à satisfaire à cette condition.

Si l'on décrit (fig. 20) un cercle ABDE avec un rayon égal à \/2, la surface de ce cercle sera égale à la moitié de la surface de la sphère ; si ensuite on partage le diamètre A3 en parties égales AI, IF, FG, GG, et que l'on trace des demi-ellipses telles que BFE ayant pour demi-axes BG et FC, en vertu de ce théorème que l'aire d'une ellipse est à l'aire décrite sur son grand axe dans le rapport du petit axe au grand axe, la surface du cercle ABDE sera partagée en autant de parties égales que le rayon AC, et chacune d'elles sera égale à la surface du fuseau correspondant de la sphère. Si l'on mène une corde UK on voit aussi que chaque segment limité par deux arcs elliptiques et par une partie de la corde HK, est au segment de cercle HBK dans le rapport de la partie MN de corde renfermée entre les arcs elliptiques, à la corde entière, et par conséquent dans le rapport de IF à AD, ce qui montre bien la possibilité de représenter les parallèles de la projection par des droites parallèles à l'équateur et qui seront, par conséquent, divisées comme lui en parties égales.

Il reste maintenant à rendre les parties du cercle ABDE comprises entre les cordes parallèles et le diamètre AD égaler aux zones correspondantes de l'hémisphère.

Soit l'angle

ACH = *; HL= v/icosç; LC as y/î sin ?.

Donc

aireAHRD=triangleHCK- r -2secteur3AHG=2sin« P cos^- T - v^tV* = sin2? + 2

(1) Voir 2' part., chap. XIV, 2», Projection globulaire.

CIUP. m. — PROJECTIONS ÉQUIVALENTES. 109

Soit (x la latitude du parallèle HK de la sphère ; la zone sphérique comprise entre l'équateur et ce parallèle est égale à k sin jx ; on aura donc pour déterminer <p l'équation

sin2<p-j-2o = irsin jx.

Mollweide est encore parvenu à la même équation en partant de l'équation différentielle qui exprime la condition de conservation des surfaces et faisant intervenir l'hypothèse des méridiens elliptiques.

Nous avons trouvé (§ 1) que, dans l'hypothèse de la terre sphérique, l'équation était

dy dx dy dx .

Étudions la variation des coordonnées le long d'un méridien elliptique. L'équation des méridiens ayant pour axes y'2 et — est

^£ + £ = 1, d'où z'=V-y>)%.

En considérant ces deux équations simultanément , on obtient immédiatement, pour déterminer y, l'équation

dans laquelle y n'est différentié que par rapport à l En intégrant on a y s/Y^y* -f 2 arc sin ^= = * sin / + A.

Gomme, en vertu des conditions du problème, y et l disparaissent simultanément, il faut aussi que A = 0, et l'on a

y V2— y 1 + 2 arc sin -7= = * sin/,

équation dans laquelle on devra évidemment prendre le plus petit

de tous les arcs ayant pour sinus Comme y ne dépend que de /,

on en conclut que tous les points qui ont la môme latitude sont situés sur une corde parallèle à l'axe des x.

Si l'on pose comme tout à l'heure

y = ^2 sin ? ,

l'équation se transforme en

sin2r?-f 2? = *sin/

que nou9 avons déjà trouvée.

Cette équation est insoluble si l'on y regarde <p comme l'inconnue, mais on peut tourner la difficulté en la résolvant par rapport à /, et attribuant à <p des valeurs arbitraires ; il faudra pour cela la mettre sous la forme

it sin / = 2? \- sin' 2<p.

On pourra ainsi construire une table renfermant en regard des valeurs de <p les valeurs de / correspondantes, et s'en servir de la même manière que d'une table de logarithmes pour trouver par interpolation les valeurs de <p qui correspondent à une valeur quelconque de /.

Mollweide a dressé ainsi une table qui permet de construire les parallèles de 10° en 10°, et M. Jules Bourdin a fait les mêmes calculs de 30' en 30'. C'est cette dernière table que nous donnons plus loin (1). Elle nous a servi à construire le canevas de la projection n° XVI.

Nous ne nous sommes étendu si longuement sur les deux méthodes données par Mollweide que pour montrer qu'il est bien l'auteur de ce système appliqué seulement cinquante ans plus tard sous le patronage d'un nom plus populaire. Disons encore que le professeur allemand proposait d'adopter cette projection pour représenter, comme nous l'avons fait dans le planisphère n° XVI, la surface entière de la terre dans une ellipse dont l'un des axes est double de l'autre.

Mentionnons encore, avant de terminer le chapitre des projections équivalentes, le canevas indiqué par M. le capitaine Foucaut (2) comme se rapprochant du canevas homalographique de môme dimension

y * 1 -f- cos /

(t) Voir 2» part., ch. Mil.

|2) Voir la note de la page 8t.

CHAP. IT. — PR0JBCTI0HS PERSPBCTITES.