PROJECTIONS PERSPECTIVES

f . Les projections perspectives représentent la surface d'une sphère comme la verrait un spectateur placé en un point déterminé de l'espace ; la représentation de chaque point de la surface s'obtient par l'intersection du rayon visuel mené de l'œil à ce point, et d'un plan appelé tableau, perpendiculaire au rayon qui joint l'œil au centre ; une ligne quelconque tracée sur la surface a de môme pour projection perspective l'intersection du plan du tableau avec la surface conique dont cette ligne est la directrice et le point de vue le sommet.

La distance du tableau au centre du globe ne fixant que l'échelle de la carte, peut rester arbitraire; elle se détermine le plus souvent par de simples considérations de tracé graphique; mais de la position du point de vue dépendent la forme et les propriétés de la projection, de sorte que cette position varie suivant le but qu'on se propose.

Remarquons d'abord que, quand le point de vue est situé dans l'intérieur de la sphère (ce qui est le cas d'un observateur regardant la voûte céleste), c'est la surface intérieure de la sphère que l'on représente. Il en est encore de même lorsque le point de vue est sur cette surface ou à une petite distance; car, si l'on voulait représenter l'hémisphère antérieur, le rapprochement des rayons visuels dans le voisinage des tangentes extrêmes apporterait beaucoup de confusion dans le dessin et ne permettrait pas de représenter un hémisphère entier sans surcharger les bords de la carte. Mais dans le cas où l'œil est supposé à une distance du globe assez grande pour que les rayons visuels puissent être considérés comme parallèles, le même inconvénient n'existant plus, c'est la surface antérieure, celle que l'on voit réellement, qui doit être représentée.

L'une des principales propriétés de toute projection perspective, c'est que tout grand cercle passant par l'axe optique a pour projec-

I" PARTIE. — TnfOIlIE DES PnOJECTIOSS.

tion un diamètre du cercle qui limite le tableau; les autres cercles ont pour perspectives des courbes du second degré, puisque ce sont les sections planes de cônes ayant tous des cercles pour directrices.

Nous allons nous occuper de tracer le canevas, c'est-à-dire les méridiens et les parallèles d'une projection perspective. Cherchons d'abord les formules qui permettent de calculer les coordonnées d'un point défini par sa latitude et sa longitude.

». Nous supposerons, dans tout ce qui va suivre, que le plan de projection coïncide avec l'un des grands cercles de la sphère ; dans le cas où il n'en serait pas ainsi, il suffirait, pour passer de ce plan fictif au plan réel auquel il est parallèle, de réduire toutes les lignes de la figure dans le rapport de la distance du point de vue au centre de la sphère, à la distance du point de vue au plan de projection. Enfin nous supposerons dans tout ce qui va suivre la terre sphérique, nous réservant d'indiquer, dans chaque système en particulier , la correction à faire pour tenir compte de l'aplatissement.

Le grand cercle de la sphère pris pour plan du tableau pourra être considéré comme l'horizon d'un lieu dont la latitude \ serait le complément de son inclinaison sur l'équateur ou de la distance du pôle à l'extrémité du diamètre passant par le point de vue.

Prenons pour plan de la figure celui du méridien VzlVz'lY qui contient le point de vue V et est, par conséquent, perpendiculaire au plan du tableau HTH' ; nous supposerons les longitudes t comptées à partir de ce méridien, ce qui revient à ne considérer que les différences des longitudes de ce méridien et de tous ceux que l'on aura à construire sur la carte.

Prenons dans le plan du tableau deux axes de coordonnées, dont l'un sera l'intersection du méridien principal et du grand cercle de projection et dont l'autre passant par le centre C sera perpendiculaire au premier (fig. 21).

Appelons D la distance donnée CV du centre de la sphère au point de vue V, a le rayon de la sphère, x l'abscisse Cn, y l'ordonnée nm, 8 la distance angulaire Mz, 90» — >. l'angle ZCP qui définit la position du tableau, 90* — l la distance polaire du point considéré M, l sa longitude ZPM, <p l'angle au zénith, MZP. Menons dans le plan ZGVM, MK parallèle à Cm et, par conséquent, perpendiculaire à CZ; les deux triangles semblables MKV, mCV donneront

Cm CV MK ~ KV