COAP. IV. — PROJECTIONS PERSPECTIVES

Or

MK = asin8 ; KV = D + ocos8,

donc

Du sin o

Cm =

D-j-acosô" Le triangle Gmn donne

x =—Cm cos?; y = Cmsin<?

Donc

DflsinScosip^ DasinSsin?

D + «cos8 ' y ~ D + acos8 '

Les coordonnées du point m se trouvent ainsi exprimées en fonction de o et de 8 ; cherchons donc à exprimer ? et S en fonction de la latitude I et de la longitude /.

Dans le triangle sphérique P*M, on a

sin8sin<p = cos/sin/

t sin/— sinXcos8 smfi costp =

cos8=sinXsin/-f-cosXcos/cos f,

d'où

sin8 cos? =cosX sin/ — sinX cos/ cos t.

Substituons dans les valeurs de x et y ; nous obtiendrons

Da(sin X cos/ cos/ — cosX sin /) b-f- o(cosX cos/ cos/ -f sin X sin /) .

Dq cos /sin/ ' 1

U+a(cosXcos/cosf -i-sinXsin/)

Telles sont les deux équations qui déterminent les coordonnées de la projection d'un point de la sphère défini par sa latitude et sa longitude.

Ces formules générales se modifient d.ms deux cas particuliers.

Si l'on suppose l'œil placé sur le prolongement de l'axe de la terre, le plan de projection coïncide avec l'équateur et la projection est dite iquatoriaU ou polaire. Nous obtiendrons alors les valeurs de x et de y en faisant X = 90 # dans les formules (I) :

Dacos/cost Dacos/sinJ ~ D-J-asinXsin/' v l) -f asinXsin/'

114 PAETIB. — THÉORIE DES PROJEf.TIOWS .

Le pôle de l'hémisphère opposé au point de vue occupe alors le centre de la projection.

Si l'on suppose l'œil placé dans le plan de l'équateur, le plan de projection coïncide avec un méridien et la projection est dite méridienne. Nous obtiendrons alors les valeurs de x et de y en faisant >. = 0 dans les formules (I) ,

Dflsin/ Dflcos/sin/

D-f- acos/cos/' J D -}-«cos/cos.''

3. Revenons aux formules générales de la projection horizontale. Pour obtenir autant de points que l'on voudra de l'équateur, on fera l — 0, et dans les formules résultantes

DsinXcosf Psin/

D-j- acobl cost L) -f-r/cosXcos/

on donnera successivement à / les valeurs 0% 5°, 10°, 15-, etc

On obtiendra de même les intersections d'un parallèle de latitude donnée / avec les méridiens en donnant à l les valeurs 0 8 , 5°, 40°, 45° , dans les formules générales où / conservera la valeur donnée. En opérant de même pour autant de valeurs de / que l'on voudra, puis réunissant par des courbes continues les points de même latitude, puis ceux de même longitude, on obtiendra les parallèles et les méridiens de la projection.

Comme ces courbes sont toutes du second degré, il est souvent plus commode et plus rapide de les tracer directement. Cherchons leurs équations.

Pour obtenir l'équation des méridiens, éliminons la latitude l entre les équations (I) ; cette élimination nous donnera l'équation d'une ellipse que nous pourrons construire.

Nous avons d'abord

y ÛSLt

x ~ sinXcos/ — cosX tang/'

d'où

ysinXeosf — xs'mt

,an8 '= — ^ — :

substituons à tang l cette valeur dans l'expression de y, nous obtiendrons

y»(D* — D*sin'X. sin'f — a* cos'/) + xyià 1 — D')sinX sin 2/i ^. x ï(D«— fl«»in , X)sin , < -f- Uo*ycosXsin2/ - a'Dx sioïiXsinvj (II).

— rt'D'cos'Xsin'^O )

r.HAP. IV. — PROJECTIONS PERSPECTIVES. U5

Telle est l'équation la plus générale des méridiens. Il est facile de déterminer les deux axes *2A et 2B de cette ellipse ainsi que les coordonnées a et 6 du centre, respectivement parallèles à l'axe des x et des y. On obtient

aXS . oD'cosXsinf fa — = , • n, ——

"vD l — a\\— co^X^nTo' "D 5 — ,r(l-cos : Xsin'0'

Dfl'sin 2Xsin*/ — Drt'cosXsin2f

a a\ i ki rïTl î ,:„ji 1'

2[D' — — cos'Xmu^I' r aiD 1 -^; 1— cus'Xsiii'f)] *

et l'on trouve enfin, pour déterminer l'angle w que fait le grand axe 2A avec l'axe des la formule

sinXsinSf

tanc2w = —

eus'/ — sin'Xsin'/

tangw = sinX tangf.

Si l'on veut obtenir la courbe qui passe par les centres de toutes ces ellipses, il faut éliminer / entre les valeurs de a et de (S :

| = — sin X tang ( y d'où tan? / = —

P ° ' r psinX

ou

sin'f =

oe'-f ji'sin'X*

En substituant à sin't cette valeur dans l'expression de a, on obtiendra

p'D' — «^sin'X -fa^D' — a'sin'X) — aUa'sinXcosX = 0,

équation qui représente généralement une ellipse dont a et [i sont les coordonnées rectangulaires et qui passe par le centre C de ces coordonnées.

Les coordonnées (a) et ({*) du centre de cette courbe sont

ses demi-axes

fl'hsinXcosX

«'DsinXrosX „ o'DcosX

Le grand axe coïncide avec l'axe des j-, l'angle (u>) est donc nul.

Cherchons maintenant l'équation des parallèles de la projection ; il suffira pour l'obtenir d'éliminer la longitude t entre les équations (I). Voici la suite des calculs :

Dx + oD cos X sin / 4- ax sin X sin / aDsiuXcos/ — arcosXcos/ 1

- sinXcos/cosf — ^ cosXsin/=cos/sin/;

en élevant au carré

{y* sin'Xcos'/4-^ , cos , /)cos t f — cosXsinXsin/cos/cosf

— x* cos* / 4- y* cos* X sin 1 / = 4 0.

En substituant dans cette équation la valeur de cos f, on obtient, après réduction,

y'(DsinX 4- asin/)»4-x*[D t 4- 2aDsinXsin/— a» cos(X— /)cos(X-f /)] 1 +2aDx(DcosXsin/4-asinXcosX) — a'D» sin(X — /) sin(X +/) = 0} 1

Telle est l'équation la plus générale des parallèles : elle représente une ellipse, une hyperbole ou une parabole suivant que le terme

D» + 2aD sin X sin / — a» cos (X — /) cos (X + /)

est plus grand que zéro, plus petit que zéro, ou nul.

En appelant A', B' les demi-axes, a', les coordonnées du centre, on obtient

aD cos/(DsinX4-asin/)

D« 4- 2«D smX sin / + a* sm« / — a 1 cos» X 9

aï) cos l

^0*4- 2oUsinXsin/ 4- «'sin 1 /— -a'cos'X '

, oDcosX(Dsin/-}-rtsinX)

" """""b' + SaDsiiiXsiiW-r-a' sin 1 / — a'cosX » p'=0.

Comme le grand axe coïncide avec l'axe des a?, l'angle w' est nul ; ainsi les centres de toutes les projections des parallèles sont sur l'axe des x.

On obtiendra l'équation de la projection de l'équateur en faisant l = Odans l'équation (III), ce qui donnera

Dy sin'X + ar'iD'-a WX)4- Sa'Dr sinX cos X - a*D» sin» X = 0,