CHIP. IT. — PROJECTIONS PERSPECTIVES

équation d'une ellipse dont les axes 2A", 2B" seront donnés par les formules

D'-oWX' v D'-a'cos«x' et dont les coordonnées du centre seront

a'PsinX cosX a" = fl" — o

Pour avoir la distance de la projection p du pôle au centre de la carte, il suffira de faire / = dz 90° dans l'expression de a et l'on obtiendra pour les deux pôles

flDcosX , aPcosX

r— D + asinX* P "~P-asinX'

Les projections de ces deux points seront évidemment sur l'axe des x.

4. Pans le cas où l'équateur est pris pour plan de projection, les parallèles de la carte sont des cercles dont le rayon est égal à

Pa cos / p '~P-fasin/'

On obtient cette formule en faisant X = 90» dans l'expression de A'.

Les méridiens sont des droites passant toutes par la projection du pôle et faisant entre elles les mêmes angles que les méridiens de la sphère ; c'est ce que montre l'équation (II) qui, dans l'hypothèse de \ = 90, devient

- = tangf.

La projection équatoriale est donc très-facile à construire sans le secours des coordonnées. Remarquons que dans ce cas, lorsque P > a, c'est-à-dire lorsque le point de vue est en dehors de la sphère, la projection peut être étendue au delà de l'équateur jusqu'au parallèle passant par le point où la tangente menée du point de vue touche le méridien PEP'E'; ce parallèle a une latitude t donnée par la relation

tang/ = , a

1" PARTIE. — THEORIE DES PROJRCTKm*.

et sa projection a pour rayon

I) — a sin /' '

D« cos f

La figure 22 montre de suite les constructions à effectuer dans le cas de la projection équatoriale ou polaire. Sur le cercle de projection préalablement divisé eu degrés, on comptera à partir du même point E les latitudes et les longitudes, et sur la ligne des pôles Pl v on portera CV égale à la distaure 1) du point de vue: en joignant ce point V à chaque extrémité N des parallèles à construire, on aura de suite en n l'extrémité de la projection située sur le diamètre EE', et l'on n'aura plus qu'il décrire du point C un cercle avec Cn pour rayon. Les méridiens seront les diamètres du cercle de projection.

6. Lorsque la projection est méridienne, c'est-à-dire faite sur le plan du méridien perpendiculaire à celui à partir duquel on compte les longitudes, quelques considérations graphiques permettent d'en simplifier aussi la construction.

Reprenons d'abord les formules que nous avons trouvées au § 2 :

on en déduit

Remarquons d'abord que pour les latitudes négatives les valeurs de x changent seules de signe, les valeurs de y restent les mêmes ; c'est l'inverse qui a lieu pour les longitudes négatives. Ce résultat pouvait être prévu, car la figure 23 est é\idemment symétrique par rapport aux axes PP et RIV.

Les coordonnées x et y se construisent de la manière suivante : Représentons le plan de projection par un cercle de rayon égal à a (fig. 24); menons deux diamètres PP', RIV, dont l'un représente le premier méridien et dont l'autre figuie l'équateur. Prolongeons PP'et portons CV égale à la distance donnée D. Portons à partir de R sur la circonférence PhT'IV supposée graduée, l'arc RM égal au complément 90° — t de la longitude donnée et joignons MV. Portons ensuite MA = / et abaissons la perpendiculaire A Y sur le rayon CM; enfin, joignons VY; la distance Cy représentera l'ordonnée y. Joignons maintenant le point V au point A, et menons par y une parallèle ya

Dri sin/

Da nos / sin t

l)-)-ucos/ cos*'

D -f- a cos/ cos/'

CHAP. IV. — PROJKr.TlOîfS PERSPECTIVES. 111»

à YA ; la distance ay représentera l'abscisse x. Pour obtenir la projection du point considéré nous n'aurons plus qu'à porter cette longueur ay sur une ligne ay perpendiculaire au rayon GR, le point a sera la projection cherchée.

En répétant cette construction pour plusieurs valeurs de / et de f, on pourra tracer les méridiens en réunissant les points qui ont même longitude, et les parallèles en joignant les points qui ont même latitude. 11 est d'ailleurs facile de construire ces courbes par de simples considérations géométriques et sans recourir au calcul des coordonnées.

Le petit axe d'un parallèle quelconque s'obtiendra immédiatement en portant, à partir des extrémités du diamètre EE' qui représente l'équateur, la latitude de ce parallèle de E en M et de K' en V, et en joignant ces deux points au point de vue V supposé rabattu sur le plan de projection; le milieu de nn' sera le centre de la courbe, et comme NN' sera l'une de ses cordes, il sera facile de la construire par points. Cette courbe sera une ellipse, une hyperbole ou une parabole, suivant que le plan de projection coupera l'une seulement des nappes du cône perspectif, ou les deux nappes, ou sera parallèle à l'une des génératrices; c'est ce que la ligure montrera immédiatement.

Pour tracer les méridiens on portera sur la circonférence de la carte (fig. 25), à partir de P d'un côté et de P' de l'autre, la longitude du méridien considéré; en joignant ces points M, M' au point de vue supposé rabattu sur la ligne des pôles, on obtiendra en m, m' l'un des deux axes de l'ellipse; comme PP' est une corde commune, on construira facilement la courbe par points.

On peut encore obtenir de la manière suivante la projection d'un point donné par sa latitude et sa longitude.

Supposons (fig. 20) le plan du parallèle de latitude / rabattu sur le plan du premier méridien PEP'E en N MN ; menons O.M faisant avec PP un angle CO.M égal au complément de la longitude donnée, et abaissons la perpendiculaire Ma sur NN'; cherchons la perspective de aM. Celle de a s'obtient en a,, celle de M en M, ; a, M, est donc la longueur de la perspective de la demi-corde uM, et comme cette corde est parallèle au plan de projection et perpendiculaire au premier méridien, sa projection doit être perpendiculaire à PP'. Si donc nous supposons maintenant que le plan EPEP' représente le plan de projection, il suffira, pour avoir la projection deM, d'élev er en u., de part

et d'autre de PP', une perpendiculaire jx t m ou m' égale à |x, M, ; on obtiendra ainsi les projections des points qui ont pour latitude / et pour longitude, l'un / et l'autre 180° — t.

Si l'on détermine ainsi pour chaque parallèle les points de même longitude, il suffira, pour tracer les méridiens, de faire passer par ces points des courbes continues.

«. Revenons maintenant au cas général de la projection horizontale où le plan de projection est un grand cercle quelconque de la sphère; nous allons montrer comment on peut obtenir graphiquement la projection d'un point quelconque sans recourir aux formules et aux calculs.

Soit AA (fig. 27) la ligne des pôles de la projection : sur le diamètre perpendiculaire CV on placera le point de vue à la distance donnée D; en tirant le diamètre PP' faisant avec AA' un angle égal à la latitude du lieu sur l'horizon duquel on veut tracer la projection, et joignant PV, P'V, on aura en p et p' les pôles de la carte, dont l'un sortira du cercle de projection. Les parallèles s'obtiendront en considérant d'abord, comme nous l'avons fait pour la projection méridienne, les traces de tous les parallèles de la sphère sur un plan perpendiculaire au plan de projection, c'est-à-dire sur le premier méridien qui passe par le point de vue, puis revenant de cette figure à celle de la projection par une simple rotation. On détermine ainsi de suite l'un des axes nri de la courbe cherchée. Il est ensuite facile d'avoir la projection d'un point quelconque de ce parallèle correspondant à une longitude donnée t.

Supposons le parallèle rabattu sur le méridien de départ en N'MN ; le point dont la longitude est ( viendra en un point M tel que l'angle COM est égal au complément de l'angle f, soit 90° — t. Abaissons la perpendiculaire Mfx sur NN'; cette perpendiculaire Mjx est en réalité parallèle au plan de projection dont la trace est ACA'; pour avoir sa perspective, nous joindrons d'abord |x et V, puis nous mènerons jxM, égal à jxM et parallèle à AA' et nous joindrons M, et V; ^ l m i sera la longueur de la perspective de jaM ; d'ailleurs |*M étant, dans l'espace, perpendiculaire au plan ABA'B', sa perspective sera perpendiculaire à AA' ; il suffira donc d'élever, en ja,, jx t m perpendiculaire à AA' et égal à a,™, ; le point m sera la projection du point M dont la longitude est t et la latitude /.

Lorsque le parallèle rencontre l'axe AA', on a immédiatement deux points T,T de sa projection en élevant TDT' perpendiculaire à

CHAP. IV. — PROJECTIONS PERSPECTIVES. !2i

AA' au point d'intersection ; car, si nous supposons d'abord que PE'FE représente le premier méridien, le parallèle et le tableau étant tous deux perpendiculaires à ce plan, leur intersection sera perpendiculaire à AA'. Pour que ce casse présente, il faut que la latitude du parallèle considéré soit moindre que le complément de la latitude du lieu sur l'horizon duquel on construit.

On voit de suite que la figure doit être symétrique par rapport à la ligne des pôles AA'; l'équateur passera par les trois points B, e, B'; ee' sera son petit axe.

Lé parallèle qui, prolongé, passerait par le point de vue, sera seul représenté par une droite perpendiculaire à AA'; au delà les parallèles tourneront leur concavité en sens contraire.

Lorsqu'on aura déterminé, pour des latitudes suffisamment rapprochées, les lieux de même longitude, il suffira de les réunir par un trait continu pour tracer les méridiens qui devront être des ellipses.

7. Occupons-nous maintenant de déterminer la distance des deux points donnés par leurs projections.

Considérons d'abord le cas où l'un des deux points est au centre de la carte. En joignant ce point au second, on aura la perspective de la plus courte distance, puisque tout grand cercle qui passe par l'axe optique a pour projection perspective une ligne droite. Ainsi (fig. 28) Caest la perspective de la plus courte distance de C en A; pour savoir ce qu'elle contient de degrés, on portera Ca de G en a et l'on mènera la droite VaA; le nombre de degrés contenus dans l'arc C'A sera celui qu'il s'agissait de trouver, parce que Ca est la projection de l'arc de grand cercle C'A.

On voit donc que l'échelle des plus courtes distances du centre de la carte à tous les autres points doit présenter une graduation semblable à celle que l'on effectue sur l'équateur des mappemondes construites sur le plan d'un méridien.

Arrivons maintenant au cas général. Soit d'abord MRN le plan de projection (fig. 29) , V le point de vue, a et 6 les deux points donnés, projections des points A et B de la sphère. Si nous déterminons la longueur de la corde AB, il suffira de la porter sur la circonférence de la carte préalablement divisée en degrés et fractions de degrés pour lire l'arc sous-tendu et évaluer la distance soit en milles, soit en lieues ou en kilomètres. Nous allons donc chercher à construire sur la carte (fig. 30) le triangle AVB. Soient a et 6 les deux points donnés, MiN un diamètre d'ailleurs quelconque que l'on pourra

122 1" PARTIE. — THfiOBIB DBS PROJECTIONS.

prendre» pour simplifier, passant par l'un des deux points. Construisons les triangles rectangles aCV, 6CV de la figure 29, en décrivant du centre C les arcs aa, 6[3, portant sur une perpendiculaire au diamètre MN la longueur CV égale à la distance connue du point de vue au centre de la sphère, et joignant ce point V à n et à [3. Si nous prolongeons ces droites Va, Y {S jusqu'à la rencontre de la circonférence de la carte, les droites VA,, VB, seront évidemment égales aux rayons visuels AV, BV de la figure 29. Nous pouvons alors construire le triangle ab\ de la figure 29 en décrivant de a et 6 avec des longueurs respectivement égales à aV et [3V des arcs de cercle qui se composent en V,; en prolongeant aV, d'une longueur Aa égale àA,a et 6V, d'une longueur 6B égale à JlB,» on aura formé en ABV, le triangle AVB de l'espace ; la droite AB sera la corde de l'arc qui mesurera la distance des deux points considérés.

Dans le cas de la projection méridienne on peut évaluer la distance de deux points d'une manière très-rapide et assez exacte lorsque les méridiens et les parallèles de la carte sont sufiisamment rapprochés. Remarquons d'abord que si les deux points sont sur un môme méridien, il suffit de lire sur la circonférence qui limite la carte la différence de graduation de leurs deux parallèles. S'il n'en est pas ainsi, on peut remplacer les deux points par deux autres semblablement placés par rapport au centre de la carte et se trouvant sur un même méridien ; il suflit pour cela de découper un petit triangle de papier abC (fig. 31) et de le faire tourner autour du sommet C jusqu'à ce que les deux autres sommets se trouvent sur un autre méridien ; ces deux nouveaux points étant évidemment à la même distance que les deux premiers, on n'aura plus qu'à lire la différence des latitudes de leurs deux parallèles. Au lieu du petit triangle de papier, on pourrait se servir d'un compas à trois branches que l'on ferait tourner autour de la pointe qui resterait en C.

s. Les formules et les constructions étant générales, on pourra supposer le point de vue à la distance que l'on voudra du centre de la sphère. Si ces deux points coïncident, la projection est dite centrale ou gnomonique ; on suppose alors le plan de projection reculé jusqu'à la surface de la sphère à laquelle il devient tangent; tout grand cercle est représenté par une droite passant par le centre de la carte qui est le point de tangence du plan de projection et de la sphère. L'origine de cette projection, la plus ancienne que l'on connaisse, semble remonter au delà du Milésien ThaUt, le prédicteur

CHAP. If. — PROJECTIONS PERSPECTIfES. 1*3

d'éclipsés, mort 548 ans avant notre ère. Appelé successivement des noms d'horoscope et d'analemme, elle fut aussi beaucoup employée par l'astronomie sous le nom de gnomonique pour esquisser la trace des phénomènes célestes à la surface de la terre, le baron de Prony proposa, en 1791, de s'en servir pour les cartes du cadastre. En 1803, Ch. T. Reichard fit paraître à YVeimar un atlas de six cartes représeutant le globe tout entier en projection centrale; ce sont les six faces d'un cube circonscrit à la sphère; il est évident en elîet que les arcs terrestres étant représentés sur le plan de projection par leurs tangentes, l'arc de 00° excède toutes les limites possibles de ce plan, et que la projection du cercle entier exige au moins trois plans sur chacun desquels l'arc à projeter par sa tangente sera en moyenne de 60° de chaque coté du point de contact. Pour que ces trois plans se rencontrent sur la sphère dans tous ses aspects, il faut recourir au moins au tétraèdre, le plus simple de tous les solides terminés par des faces planes. Guidé par d'autres vues, if. Êlie de Beaumont (1) a reconnu des avantages particuliers au choix des faces pentagonales d'un dodécaèdre régulier, et a publié comme spécimen une esquisse du pentagone européen, M. Saint-Loup a proposé de représenter la surface entière du globe sur les faces d'un icosaèdre régulier inscrit dans la sphère ; on peut d'ailleurs employer un polyèdre quelconque, ainsi à Vienne le général Franz de Hauslab a proposé une projection centrale sur un polyèdre irrégulier de 48 faces triangulaires (2). Enfin, au chapitre des projections cylindriques, nous parlerons d'une projection centrale sur un cylindre tangent à la sphère le long d'un méridien. Nous reviendrons longuement sur ce système de représentation (3). Les projections n°* XXIV, XXV, XXV I en montrent l'application sous les trois aspects polaire, méridien et horizontal.

•. Lorsque le point de vue est sur la surface de la sphère, la projection prend le nom de itèreoyraphique, et jouit de cette propriété bien remarquable que tout angle tracé sur la sphère conserve sa grandeur en projection (4), d'où il résulte que tout cercle a pour projection un autre cercle. Ce système, qui n'a reçu le nom de sté-

(1) Notice sur les systèmes de montagnes, Paris, 18M, 3 vol. In-lH, p. 1038.

(2) Voir Bulletin de la Société de Géologie de Paris, janvier 1861, p. 185.

(3) Voir 2' part., chap. 111.

(4) Voir ci-dessus, chap. Il, § 4.

réographique qu'en 1G13 du jésuite François oVAguillon, fut imaginé 150 ans avant J.-C. par le célèbre Hipparque, qui lui donna le nom de planisphère, et commença à être très-employé en géographie au commencement du xvf siècle ; il n'a cessé de l'être depuis, surtout en Allemagne, où il a dominé dans les publications d'ensemble et de détail (1) ; on l'a quelquefois désigné sous le nom d'astrolabe de Gemma .

Les projections n ot I, II et III en montrent l'application sous les trois aspects polaire, méridien et horizontal.

f ©. Enfin, si le point de vue est supposé à une distance infinie, les rayons visuels peuvent être regardés comme parallèles, la perspective devient une véritable projection orthogonale et prend le nom d'orthographique ; il en résulte que tout cercle parallèle au plan de projection a pour représentation un cercle égal. Imaginé comme le précédent par Hipparque, ce système, appelé primitivement analemme, puis astrolabe de Rojas (1551), est resté exclusivement renfermé dans le domaine de l'astronomie jusqu'à l'atlas sphéroïdal de Laguillermie publié en 1843, et à l'atlas sphéroïdal et universel de Garnier publié en 1862. La projection n° XXVII en est une application sous l'aspect méridien.

il. Nous reviendrons en détail sur ces trois genres de projections perspectives. Disons de suite que la projection stéréographique a l'inconvénient de diminuer beaucoup les distances et par suite les surfaces situées au centre de la carte, tandis que les parties voisines des bords conservent à peu près leur véritable grandeur ; la projection orthographique, au contraire, conserve à peu près los distances au centre de la carte, mais diminue considérablement les parties voisines des bords. On conçoit donc qu'il ait dû venir à l'idée de trouver sur la perpendiculaire au plan du tableau un point de vue tel que les projections de points du globe également distants fussent elles-mêmes également espacées. Or si l'on appelle ns un certain nombre de divisions du méridien , np le même nombre de divisions correspondantes sur l'équateur et égales entre elles, on trouve

np cosws

sm ns — np

Cette valeur de D variant avec ns, c'est-à-dire avec n, prouve qu'il (I) Voir plus loin, même chapitre, § 19.