MAP. IV. — PROJECTIONS PERSPECTIVES

n'y a pas de position pour le point de vue qui remplisse complètement le but que nous nous proposons d'atteindre.

Nous pouvons tout au moins chercher à satisfaire le mieux possible à la condition qu'on ne rencontre ni dans la projection stéréographique ni dans la projection orthographique. Reprenons l'expression générale d'un rayon de parallèle projeté, en fonction de la latitude et de la position du point de vue. Nous avons trouvé

Dacos/ acos/

P '~D + «sin/~ , a . /

4 + -sin/

Dans le cas de la projection stéréographique D = a

acos/ 90°—/

pp= i+sïn7 = g r~"

Dans le cas de la projection orthographique D = oo

» a cos / , P p = = a cos /.

Dans ce dernier cas a varie trop peu lorsque l est voisin de 0 ; dans le cas précédent, «la valeur du sinus qui entre au dénominateur nonseulement détruit cet inconvénient, mais encore lui substitue le défaut contraire, quoique dans une proportion moindre.

1». La Sire, qui s'est occupé le premier de cette question (1), a proposé de placer le point de vue de telle sorte que le rayon visuel mené au milieu de chaque quadrant de l'hémisphère opposé partage le rayon de la sphère perpendiculaire à l'axe optique en deux parties égales; l'erreur serait ainsi nulle au centre de la carte, à sa circonférence et au milieu de chaque rayon. Pour calculer la distance du centre au point de vue, on a alors l'égalité

asini5 D-{-asin43*

(1) Histoire de f Académie des sciences, année MDCCI avec les mémoires de mathématiques et de physique, Paris, 1701, in-4, p. î>7 à 101 et 255 à 2C0; Construction d'un nouvel astrolabe universel, par M. de la Hire, 3 décembre 1701.

126 «" PARTIE. — THE0RIB DBS PR0JECTI0IW.

d'où l'on tire facilement

D = a + asin 43'.

Ainsi, dans la projection de la Hire le point de vue est à une dis tance de la surface de l'hémisphère opposé à celui que Ion veut représenter, égale au sinus de hb° ou à la moitié du côté du carré inscrit. Si l'on cherche (f.g. 32) quelle est la partie du rayon CPqui représente la projection de l'arc de 22» 30', lequel est le quart du quadrant, on trouve 0,248a au lieu de 0,250 a • l'erreur est donc de tt&To du rayon, ce qui, dans une mappemonde d'un petit rayon est peu considérable.

Dans le cas de la production sur le méridien dont la longitude est de 90% les coordonnées d'un point défini par sa latitude et sa longitude se calculent par les formules

r Dsin/cos/ xtang/

U + «cos/cob/' y - = xtang< ? ■

dans lesquelles on devra remplacer D par 1,7071068 a ou loc I) oar 0,2322606 + log a. b V

Dans le cas de la projection polaire, c'est-à-dire sur l'équateur, les rayons des parallèles sont exprimés par

Pj)= «cos/ acos/

j | si "' i+0,58;i8in/*

ou environ

acosl

i -f- - sin/

Enfin cette projection peut être faite sur l'horizon d'un lieu quelconque et a été employée par son auteur à la construction de deux planisphères célestes sur le plan de l'écliptique.

La projection de la Hire n'a pas d'autre avantage que d'annuler les erreurs de représentation des longueurs en trois points des rayom de la circonlérencede la carte. Quelques années avant la Hire divers géographes avaient cherché à obtenir la régularité de la représentai tion par divers expédients qui enlevaient à leurs piojections le mé

CBAP. If. — PROJECTIONS PEHSPBCTTOS. 1J7

rite d'être perspectives. Le Père Fournier (1) proposait de représenter les méridiens par des ellipses équidistantes et les parallèles par des arcs de cercle passant à la fois par les divisions respectivement égales des méridiens extrêmes et du méridien moyen ; J. B. Nicolosi publiait à Rome en 1660 une série de grandes cartes suivant une projection analogue h celle du Père Fournier en traçant les méridiens en arcs de cercle comme les parallèles et les faisant passer par les divisions égales de l'équateur (2). Cette construction adoptée et préconisée en France par Pierre du Val, Guillaume de flsle, etc., est connue en Angleterre sous le nom de projection globulaire ou projection d' Arrowsmilhy quoique ce dernier ne l'ait employée qu'en 1794, c'est-à-dire trente-quatre ans après son invention (3). Nous reviendrons (h) sur ce dernier système, que nous n'avons mentionné ici que parce qu'il est souvent, mais à tort, confondu avec la projection de la Hire.

13. Un an après que la Hire eut exposé son système à l'Académie, son confrère Parent calcula que les conditions seraient meilleures si l'éloignement de l'œil était un peu modifié (5).

Considérons l'un quelconque des grands cercles passant par le point de vue (soit l'équateur), et supposons-le divisé en parties infiniment petites égales; tirons des rayons visuels par chaque point de division, de manière à former sur le plan du tableau les perspectives de ces petits éléments. Si ces éléments projetés étaient parfaitement égaux, la somme de leurs différences serait nulle ; Parent fut ainsi porté à chercher parmi toutes les positions du point de vue celle qui donne la somme minimum de ces différences.

Soit (fig. 33) EAE' l'équateur, PRP' le méridien pris pour plan de projection ; Y le lieu de l'œil sur le diamètre CV perpendiculaire à ce

(1) Hydrographie, Paris 1617, p. 524, voir ci-dcs5U8 chap. III, p. 107.

(2) Hercules siculus sive Studium geographicum, auctore J. B. Nicolosio, Hyblensi, sacerdoteet sacnv theologiir doctore, Rome 1671, 2 vol. in-folio, édition latine de l'ouvrage publié en IGOO en italien.

(3; Mapofthe World un a globular projection, by A. Abrowshith, Londres, 1" janvier 1794.

(4) Voir 2' partie, chap. XIV, 2°.

(5) Histoire de {'Académie des science*, années MDCCII, Paris 1704, p. 70 à 72 de Thistoire; sur l'Astrolabe. —Essais et recherches de mathématiques et de physique, par M. Parent. Paris 1713, 3 vol. in-12; t. Il, p. C13 à 030 et 917 à 921 (éditions). — Mémoires de Trévoux, juillet 1712, in-12. p. 1240 à 12;>0 : De la situation de Fait qui donne les représentations des parties égales de la sphère les plus égales qu'il soit possible, avec la manière de faire des mappemondes et des cartes géographiques sur ce principe, et d'y mesurer toutes sortes de distances.

plan. Divisons le demi-cercle IVER en parties infiniment petites égales, telles que AA' et menons des rayons visuels à tous ces points de division, nous obtiendrons leurs perspectives a, a', a"... La position du point V devra être telle que la somme de ces longueurs ad soit la plus petite possible. Menons AX, A X' perpendiculaires à EE', de manière à déterminer les coordonnées AX = y et CX — x. Si nous nommons ds l'arc infiniment petit A A', et s la distance G A, XX' sera dx, et ad sera As. Enfin tirons AB parallèle à VE', de manière à former le petit triangle rectangle ABA'.

Nous aurons d'abord, par les triangles semblables VaC, VAX

2 D , Ds/a*— x f

- = — — ; d'où 2 = — J— - .

Calculons As en supposant la distance D constante,

a* + Dx Ddx (D + x) 1 \Za l — x %

Or les triangles semblables GAX, ABA' donnent AB AX , ds

— — — : d'où dx = — sja 1 — x • AA' AC a V

Substituons cette valeur dans celle de As, il viendra

a* -f Dx Dds

ou, en posant D -f x = u

ou*

Or la somme des différences des éléments As est évidemment égale

à la différence du plus grand (soit ad) au plus proche du centre C,

augmentée de la différence de ce même ad au plus proche du bord R.

Cherchons donc quelle est, pour une même valeur de D. la plus

grande ou la plus petite de toutes ces grandeurs As. Égalons pour

cela la différentielle à zéro :

/ r> • „ . . , D duds

(- W - 2 au* + 2D* M ) — =0;

d'où

ciiAP. iv. — rnoji.f.Tio.NS pkhspectives. 129

d'où enlin

Substituons cette valeur de je dans la valeur générale de Iz pour avoir l'expression de la plus grande ou de la moindre des projections des arcs ds; il viendra

mis

aa =

Pouravoir les deux autres éléments, il suffit, dans l'expression générale de ^z, de remplacer x d'abord par a, puis par 0 ; on obtient ainsi

, , lui* ads

Si nous retranchons la somme de ces deux éléments projetés du double de aa' et que nous égalions à zéro la différentielle prise par rapport à I), nous obtenons l'équation

D« —3 U k «' -f 4I)V — CD V + 2a 6 = 0,

qui doit nous donner la valeur de D.

En substituant à I) la valeur a. le résultat est négatif; pour D = 2 a il est positif; la valeur cherchée de I) est donc comprise entre a et

2er. Pour a N 2 le résultat est négatif; la racine est donc comprise entre 1,41 a et 2 a ; on voit de même qu'elle est comprise entre 1,59 a et 1,00 a; si l'on prend 1) = 1,595 a, l'erreur est moindre que la 200* partie du rayon, ce que Parent estime être assez juste pour la pratique.

En remplaçant 1) par cette valeur dans l'expression de l'asbcisse # de l'élément projeté maximum, on trouve que cet élément correspond à peu près au 70' degré à partir du point E ou au 20" à partir de R.

Si l'on cherche la valeur des parties les plu* proches de R ct de C, on trouve qu'elles ne diffèrent p;is entre elles de plus de j^de la moindre. Enfin, si l'en cherche le point d ou ces éléments projetés seraient vus égaux, on trouve I) = 1,018 «, valeur qui ne diffère de celle adoptée par Paent que de du rayon.

LaHire, en prenant pour I) la valeur 1,707 a au lieu de 1,595 «, commettait une erreur qui est a peu près les du rayon, ou un peu plus de quantité très-appréciable dans les planisphères de grandeur ordinaire.

Si l'on voulait trouver la position de l'œil pour laquelle les éléments projetés paraissent aller tous en augmentant du centre vers la circonférence, et celle pour laquelle ces éléments paraissent aller tous en diminuant) il suflirait de supposer pour le premier cas x = 0 et D variable dans la valeur de x qui correspond à l'élément projeté maximum, ce qui donnerait

pour le second cas on remplacerait x par a et l'on trouverait

14. Au lieu de procéder comme nous venons de le faire, on peut

chercher à rendre les représentations des parties égales de la sphère aussi égales que possible, de manière à répartir à peu près également l'erreur totale.

Or si l'on partage le rayon ( fig. âh) en autant de parties égales que le quadrant BAR, que par les points de division on élève des perpendiculaires égales aux valeurs de Ar et qu'on joigne les extrémités par une courbe continue, on obtiendra, pour chaque valeur de D, une courbe différente et une ordonnée maximum aa' aussi différente. Soit c l a t r l l'une quelconque de ces courbes; comme la somme de toutes les ordonnées est constante et égale au rayon, si nous construisons une seconde courbe pour une autre valeur de 1), ayant une ordonnée maximum moindre que aa\ elle aura une plus petite COUl'bure que la première, èt l'on voit ainsi que celle qui possède la moindre de toutes les ordonnées maximum sera celle qui se rapprochera le plus d'une ligne droite. Si a,a,' était (ce que nous ne savons pas encore) l'ordonnée minimum de chaque courbe, on verrait de même (pie la courbe de moindre courbure correspond à la valeur de I) qui donnerait la plus grande de toutes les ordonnées minimum % aa'.

Cette valeur de D s'obtiendra donc en égalant à zéro la différentielle «le la valeur de aa! considérée comme fonction de la variable D. On obtient ainsi

Ainsi la distance du point de vue au centre est égale au côté du triangle équilatéral inscrit dans un grand cercle de la sphère.