rt* + D M — D^D'tf.c

dont la différentielle est

(W — 3« V — 3u»D -f- Su'D») — — , qui, égalée àzéro, donne

— 3a«~2DM-h3D ! = 0,

d'où l'on déduit

1 3 a* x = CX = - D

pour l'abscisse correspondant à la zone maximum.

De plus, si dans l'expression générale de la valeur de la zone circulaire, on suppose x = 0, il vient pour l'expression de la dernière zone vers le bord de la carte

2*aV.r

et, si l'on suppose x = a, la dernière zone vers le centre G est exprimée par

2™DVx

Enfin, en remplaçant, dans l'expression générale, x par la valeur CX qui convient «à la zone maximum, on obtient, pour l'expression de ce maximum ,

Par le même raisonnement qui nous a guidé dans l'étude de la première projection de Parent, nous sommes conduit à retrancher

CIUP. IV. — PROJECTIONS PY RSPKCTIVE8. 13»

la somme des deux zones en C et R du double de la zone maximum, et à égaler la différentielle de cette quantité à zéro, en supposant que D soit la variable; nous obtenons ainsi 1* équation

8 D s — \ 2 1 DW + 1 62 D'à» — 8 1 D*a* +51 D V — 8 1 D V + 27a* = 0.

Par des substitutions successives on trouve

au lieu de 1,595.. a que Parent avait trouvé en cherchant à rendre égales les projections d'arcs égaux, ce qui démontre une fois de plus qu'on ne peut conserver en même temps l'égalité des surfaces et celle des configurations.

En remplaçant D par cette valeur 2, 105.. a dans l'expression de l'abscisse x de l'élément projeté maximum, on trouve que cette zone • correspond au 70* degré h partir de E; ainsi le maximum d'altération de distance et d'exagération a lieu au même point, à 70 degrés environ du centre de la projection.

18. En cherchant les deux zones les pins proches du bord R et du centre C, on trouve qu'elles ne diffèrent entre elles (pie de ^ de la plus petite des deux à fort peu près, et que le point de l'axe EE' d'où ces deux zones seraient vues égales n'est éloigné du point V que de du rayon.

Nous avons encore à parler d'un autre système de projection perspective destiné à représenter les deux tiers environ d'une surface sphérique de manière que les configurations soient déformées le moins possible sans cependant que les surfaces extrêmes soient dilatées; c'est le système imaginé en 1857 par le colonel Henri James, directeur de YOrdnance survry, et modifié plus tard par le capitaine A. R. Clarke du même service, qui adopte pour distance du point de vue au centre la valeur D = 1,. 10703 a au lieu de la valeur 1,50 a adoptée par le colonel James (1); mais comme quelques considérations préalables sur un certain groupe de projections (projections zénitales) dont les projections perspectives font ellesmème partie, nous sont nécessaires pour aborder ce sujet, nous en renvoyons l'étude au chapitre suivant (2).

(1) On projections for maps applying to a very large eri^nt of the Earth's surface, btf colonel sir H. James, and captnin A. R. Curke; communuated by (/te authors, daos le phitosophicat Magazine, cahier d'avril 1Stj.'». p. ;J0<J a 312.

(2) Voir chap. V, g 11.

ir>6 l re PARTIE. — Tllfoilli DES TROJECTIOSS.

f ». Avant fie terminer ce chu pitre, disons un mot des cartes géographiques particulières construites en projeriion pcrsper'ive. La projection stéiéographique es} pet; employée dans ce cas; il n'y a guère que les Allemands qui s'en «nient servis, et particulièrement Haas (Leipsick, 1717 , qui a composé la plus grande partie des cartes de l'atlas de l!t>m'iii<>, fort répandu vers le milieu du siècle passé; les quatre parties du monde représentées isolément dans cette projection ne sont que des portions d'une mappemonde construite avec de plus grandes dimensions sur le plan du méridien perpendiculaire à celui qui pas^e par le milieu de la carte et qui contient le point de vue. La longueur excessive des rayons des cercles exigeant l'emploi des formules pour la construction par points fait perdre l'avantage du tracé d'arcs de cercle, et rend cette projection inférieure sous tous les rapports aux projections perspectives qui, en plaçant le point de vue hors du globe, diminuent l'inégalité des espaces. La distance, à laquelle il conviendra de placer ce point de vue sur le diamètre passant par le centre du pays à représenter dépendra de l'étendue de ce pays, diminuera à mesure que cette étendue deviendra plus petite, et pourra se calculer a'sétn<mt en comparant le degré sur les bords de la carte avec celui qui se trouve au milieu. Le procédé de calcul sera d'ailleurs identique à celui qu'a donné Parent pour sa première projection d'un hémisphère.

Lorsque l'échelle de la carte à construire sera suffisamment grande pour rendre appréciable la différence entre les degrés réels de la terre sphéroïde et les degrés d'une sphère ayant pour rayon celui de l'équateur, on tiendra compte de l'aplatissement par la méthode de Prony que nous avons exposée (1), et l'on cherchera le rayon de la sphère qui s'adapte le mieux à la courbure du sphéroïde terrestre dans le voisinage du centre de ligure du pays dont on veut dresser la carte. A l'aide des nouveaux degrés calculés d'après cette méthode, on déterminera la distance du point de vue au centre de cette sphère, et la construction s'achèvera soit par coordonnées, soit par le tracé des ellipses, comme nous l'avons indiqué précédemment.

SO. Nous avons vu que les projections perpective ne diffèrent les unes des autres que par la position du point de vi e. Il en résulte un moyen facile de passer d'une projection perspor live à une autre ayant même plan de projection et par conséquent même centre.

f \) Voir ci-des-us, chap. t, §4, p. H.