CHAPITRE V

PROJECTIONS ZÉNITHALES.

1. Nous avons vu que lorsqu'une projection perspective est faite sur le plan de l'équateur les parallèles sont représentés par des cercles ayant tous pour centre la projection du pôle et les méridiens par des diamètres de l'équateur. 11 n'en est plus de même lorsqu'on prend pour centre de la carte un point quelconque de la surface de la sphère, et pour plan de projection l'horizon de ce lieu. Mais si, an lieu de considérer les méridiens et les parallèles, on imagine une suite de plans perpendiculaires au diamètre de la sphère qui passe par ce lieu et d'autres perpendiculaires aux premiers et passant tous par ce diamètre, on recomposera un système de coordonnées sphériques semblable à celui auquel on rapporte tout point de la sphère terrestre : les parallèles seront remplacés par des almicantarats et les méridiens par des cercles azimutaux. La projection sera en tout semblable à la projection équatoriale; les almicantarats seront figurés par des cercles décrits autour du point central considéré, et les verticaux d'azimuts égaux par des diamètres de l'horizon de ce lieu également inclinés les uns sur les autres.

Les projections perspectives ne sont pas les seules à jouir de la propriété de conserver les azimuts autour du point central et de représenter des distances égales de ce point aux autres points de la sphère par des distances égales entre elles sur la projection, et par conséquent toujours faciles à mesurer. Nous avons déjà été conduits à étudier un certain nombre d'autres systèmes, tels que la projection isosphériqne isomère de Lambert (1), dans lesquels la loi de représentation reste la mèuic dans toutes les directions partant du point central de la carte. Nous les désignerons tous sous le nom de

(1) Kotrcbap. III, § 14.

projections zénithales parce qu'ils peuvent toujours être considérés comme la représentation de l'hémisphère situé au-dessus de l'horizon du lieu et ayant le zénith pour pôle.

». Dans ces différents systèmes il sullU de connaître la loi suivant laquelle varient les rayons des almicantarats d'un point quelconque de la surface, et il est inutile de s'embarrasser des considérations de la place du pôle et de la l'orme des courbes qui représentent les méridiens et les parallèles; une simple transformation de coordonnées sphériques permettra d'obtenir les intersections de ces deux systèmes de courbes, c'est-à-dire de calculer les nouvelles coordonnées en fonction des longitudes l et des latitudes / supposées connues.

Soit P le pôle (fig. 38), H PC II' le méridien du lieu C sur l'horizon duquel on veut faire la projection et qui doit occuper. le centre de la carte; nous supposerons les longitudes comptées à l'est et à l'ouest de ce méridien, ce qui revient à. ne considérer que les différences entre les longitudes réelles et la longitude du centre C. Soit a sa latitude, A un lieu de la terre dont on connaît la longitude t et la latitude l. Si nous supposons menés les grands cercles PA, CA, nous formerons le triangle sphérique PC X dans lequel nous connaîtrons le côté PC = 90 — A, le côté PA = W — / et l'angle en P égal à la longitude t comptée à partir du méridien PCII'; il s'agit de trouver le côté CA qui mesure la plus courte distance r J des deux points C et A sur la sphère de l'azimut PC A que nous 'appellerons s.

La trigonométrie sphérique permet de calculer 0 et z par les formules suivantes :

cosG = — ' — !-^sinX et snu = -— - cos /, cos<? sine

dans lesquelles l'angle auxiliaire <? est donné par la relation

tango = cos fcotangX.

Dans le cas où le centre de la carte est pris sur Téquateur, a est égal à zéro et les formules se transforment en

cosO = cos t cos/ et tangz = sin/cotang/.

Ainsi, pour chaque lieu dont on connaît la latitude et la longitude, on pourra calculer f J et s; comme d'ailleurs on connaît la loi

CI1AP. V. — PROJECTIONS ZÉMTIUI.ES. Ml

qui exprime le rayon p de chaque almicantarat en fonction de l'arc correspondant <J, il sera très- facile de placer sur la carte la projection du point donné A. Lambert (1) a proposé l'emploi simultané d'une table contenant les valeurs calculées de z et h pour des valeurs données de l et /, et d'une règle pouvant tourner autour du centre de la projection et divisée à partir de ce point d'après la loi p = F (0) qui définit le système (pie l'on veut tracer. Pour pouvoir mesurer immédiatement les angles de la règle avec le diamètre PC qui représente le méridien du centre (fig. 3i>), on divise la circonférence de la carte en degrés et fractions à partir de l'extrémité de ce diamètre. Pour un point quelconque A (/ et /) , on lit dans la table les valeurs de s et 8; en faisant tourner la règle jusqu'à ce qu'elle fasse avec le diamètre PC, cet angle s, le point qui indique sur la règle la valeur de 0 sera le point A cherché.

Sans recourir nécessairement à l'emploi de la règle, on voit qu'il suflira de dresser une second*' table donnant les valeurs de o pour chaque valeur de 0 et de porter ces valeurs de o «à partir du centre G sur les diamètres faisant avec le méridien PC les angles correspondants s donnés par la première table.

On voit que la figure sera symétrique par rapport au méridien PC du centre, et lorsque ce centre sera pris sur l'équateur elle sera aussi symétrique par rapport à l'équateur. Dans ce cas, quelle que soit la projection zénithale que l'on considère, le méridien central et l'équateur sont divisés de la même manière et le méridien limitant l'hémisphère est divisé en arcs égaux ; les parallèles coupent à angles droits le méridien central, et les méridiens coupent à angles droits l'équateur.

On pourra aussi, pour plus d'exactitude, placer chaque point par ses coordonnées rectangulaires calculées à l'aide des formules

x = p s\nz; y = pense.

Nous reproduisons table IV, les tables calculées par Lambert, pour le cas où h = 0, c'est-à-dire où le centre de la carte est pris sur l'équateur (2).

fl) Bn/trnye zum Gr.brauchc der Muthemnlik dur.h Lambkrt, Berlin 1772, in-8, t. III. |». 171.

(•!) Dans les tables données par Lambert et reproduites par J. Tobin* Mater [Vol/ttandxgeuud grùndUche Anweuung sur Verzcichnuity drr Lnud-See-und llimmel-chtirtm, Erlang 1704 ( »* etJit., I8i»8j, in », $ iO), ce nVst pas l'angle : qui est doune, mais Sun complément 90" — z.

3. Lorsque, dans le tracé des méridiens et des parallèles, on ne tient pas à une exactitude mathématique, la remarque suivante permet de construire les projections de ces courbes d'une manière beaucoup plus simple.

Si, sur deux projections différentes ayant pour centre la projection d'un même point de la surface spliérique, on trace (d'après les lois p = F f J) et z = F ( r j) de ces deux projections) les almicantarats et les rayons représentant les mêmes petits cercles et les mêmes plans verticaux de la sphère, toutes les intersections des méridiens et des parallèles occuperont, par rapport aux cercles et aux rayons dont nous venons de parler, les mêmes places sur l'une et l'autre projection.

Si donc nous possédons une projection sur laquelle soient tracés les méridiens et les parallèles de 10° en 10°, par exemple, ?insi que les almicantarats et les verticaux aussi de 10' en 10°, pour toute autre projection définie par la formule f — F ^ , nous n'aurons qu'à tracer, avec, les rayons des almicantarats de 10 en 10% c'est-à-dire avec les valeurs de F (Oj résultant des valeurs de 0 de 10' en 10% des cercles concentriques que nous couperons ensuite par des rajons également espacés; nous pourrons alors placer sur ces rayons et ces cercles les intersections des méridiens et des parallèles de la même manière qu'elles le sont dans la première projection.

Parmi toutes les projections qui peuvent servir de canevas type pour tracer les autres, l'une des plus commodes est la projection stéiéographique sur l'horizon du lieu qui doit servir de centre, parce que les méridiens et les parallèles y .-ont des cercles qui se tracent avec la plus grande facilité (I). On y décrira, du centra, des cercles

de rayons égaux à a tang —, a tang , etc., et Ton tracera des

rayons inclinés de 10 degrés; cette projection pourra alors être employée pour déterminer les intersections des méridiens et des parallèles sur une projection quelconque à almicantarats concentriques et circulaires décrits autour du mùe.e centre d'après une loi connue.

Ce procédé très-rapide n'est d'une exactitude suffisante que lorsque l'échelle de la carte a tracer est très-petite; mais il est possible d'obtenir une o.a-iitude beaucoup plus grande en déterminant d'abord

(1) Voir 2* part., chap. I, Prnjirtion stm-osi aphélie.

CHAP. V. — PR0JKCTIO3S 7.ÉMTI1ALES. 145

pour autant de points que l'on veut de la projection type le nombre de degrés et minutes contenus dans l'arc de grand cercle qui joint chacun de ces points au point central, puis faisant sur chacune de ces valeurs la construction ou le calcul indiqué par l'équation 5 = F (0) de la projection que l'on veut obtenir.

Soit M, (lig. AO) un point quelconque de la projection type, que nous supposerons stéréographique; 0, le centre du tracé, lequel sera reporté en 0 sur la carte zénithale à construire ; -.t:/ le méridien du point 0, représente par la droite -tz sur la projection zénithale ; si nous supposons la projection stéréographique construite sur un grand cercle de la sphère, le rayon (),«/ de la circonférence qui limite un hémisphère sera le rayon de la sphère. Si l'on fait au point 0 de la carte l'angle tcOM égal à l'angle rc.O.M,, le point cherché M qui correspond à M, est situé sur la droite OM ; et si l'on connaissait l'arc de grand cercle 0 qui, sur la sphère, joint les deux points dont les projections sont 0 et M, la position de ce ponit M serait entièrement déterminée puisque la distance s, = F ( ( J) pourra toujours se déduire de l'arc 0. Pour trouver cet arc, il suflira de mener un diamètre AB perpendiculaire sur le rayon 0,^1, et de joindre A,M, que l'on prolongera jusqu'à la circonférence de l'hémisphère ; l'arc B|x sera l'arc cherché, on le mesurera en degrés et minutes en portant une ouverture de compas égale à la corde h> sur cette circonférence ou sur une égale que l'on aura divisée en degrés et fractions.

On abrégera beaucoup cette méthode s'il s'agit de construire un grand nombre de points de la projection zénithale, par exemple les points d'intersection des parallèles et (1rs méridiens de 5 en 5, ou de 10 en 10 degrés, en remarquant que l'arc \W ne dépend que de la distance 0,M,. On pourra donc décrire (fig. Al , avec un rayon CA égal au ra\on de la sphère, une demi-circonférence, mener un diamètre BA et un rayon Cl) perpendiculaire, diviser ce dernier en parties égales sullisamment petites, joindre les points de division au point A et prolonger ces droites jusqu'à la rencontre de l'arc BD préalablement divisé en degrés et fractions de degrés à partir du point B. Cela posé, si l'on porte de C en k' une longueur O t M, prise sur la projection stéréographique, on trouvera sur-le-champ la longueur Bk de l'arc correspondant avec une approximation d'autant plus grande qu'on aura multiplié davantage le nombre des parties dans lesquelles le rayon CI) est divisé.

On pourrait aussi construire comme projection type une projection

U4 1" ÎVUÏTIK. — THÉORIE HES PROJECTIONS.

orthographique ; mais les méridiens et les parallèles étant des ellipses plus difliciles à construire que les cercles de la projection stéréographique, le travail préparatoire serait plus grand et plus sujet à erreurs. Si cependant on avait déjà une projection orthographique sur l'horizon du lieu que Ton veut prendre pour centre, il suflirait pour dresser l'échelle graphique qui donnera les valeurs de Tare 0, de décrire (lig. 4*2) avec le rayon de la sphère un quart de circonférence, de partager l'un des rayons CL) en autant de parties égales que l'on voudra et d'élever des perpendiculaires jusqu'à la rencontre du quadrant ; les arcs BK seraient les valeurs de h correspondantes aux rayons vecteurs de la projection orthographique qui auraient CK' pour longueur.

Quelle que soit la projection auxiliaire que l'on emploiera, on pourra obtenir, non-seulement les projections des méridiens et des parallèles à l'aide de leurs intersections, mais encore la projection d'un cercle ou d'une courbe quelconque dont on connaîtra déjà la représentation sur un canevas auxiliaire.

4. Nous allons dire quelques mots des diverses projections zénithales dont plusieurs ont déjà été indiquées. Nous avons dit que chaque système était défini par la forme de la fonction F ( r J) qui détermine, pour chaque valeur de (J, le rayon p de chaque almicantarat. On peut donc imaginer autant de systèmes différents que l'on veut et assujettir la projection à remplir une certaine condition qui déterminera la forme de la fonction F.

Nous avons déjà étudié les projections perspectives pour lesquelles

aDsinO

formule dans laquelle D représente la distance du point de vue au plan de projection supposé mené par le centre de la sphère perpendiculairement au diamètre qui passe par le point de vue. Nous avons indiqué au % 20 du chapitre IV la construction qui permettra de tracer les méridiens et les parallèles à l'aide d'un canevas type tel que la projection stéreographique sans avoir besoin de connaître les valeurs de l'arc 0 pour les points que l'on voudra reporter.