Revenons à la formule générale
CHU». Y. — HIOJFCTIONS ZÉMTIIALKS. I i
La forme la plus simple que nous puissions donner à p est évidemment
le rayon de chaque al mican tarât est égal à l'arc de grand cercle qui, sur la sphère, joint le centre de la surface à représenter au petit cercle correspondant, les distances de ce centre aux différents points de la carte sont ainsi représentées en véritable grandeur. Si le pôle luimême est pris pour centre, les parallèles de la projection oui pour rayons les différentes valeurs de
Cette projection, imaginée par Guillaume Pastel (de Doleric près Avtanches) qui ne l'employa que sous l'aspect polaire dans la mappemonde publiée en 1581 (!), fut étudiée comme projection zénithale d'abord par Lambert en 1772 (2), puis avec plus de détails, en 174)9, c'est-à-dire vingt-sept ans après, par Antonio Cagnoli, membre de la Société italienne, qui crut /avoir inventée et lui donna son nom (3) ; nous la désignerons sous le nom de projection zniilhale êquidistanle.
Il est facile de voir que, tant que la valeur de 0 n'excède pas 30°, les degrés des almieantarats sont peu altérés et conservent par conséquent à peu près leur \ éritable rapport avec ceux qui mesurent leur distance au centre de la projection.
Exprimons les rayons de la sphère et des différents cercles en degrés : nous pourrons écrire (fig. 43)
or
donc
AB 57 -29 1 *-AB*l et = ^
A'R' 90 \Wf\
si
si n i)
(I ) Polonpttitn nova rharlti unir-rsi, auth. Gufr Posui Lo. Voir nu depoMola marine IVrlilion de Lui.
C2) Lambkut. S !)rj, p. 17Î).
(3j A. (Iacmmi, Délia juii esalla coi/;-»;:/V;< délie carie gengrafiche («lrin.< lo« Memorte di Mfdfu./iatica c Fisua delta Societa llalmna, t. Mil, Modènc 1709, p. tiâS
d'où
ef 57,21) sinO
Ce rapport tend vers l'unité lorsque 0 diminue; quand G est égal à
30", ce rapport est é<;al à — -, ce qui montre que les degrés de la
projection sont un peu plus petits que ceux qui leur correspondent sur la sphère, mais en dill'èrent très-peu. Si donc on n'étend pas cette projection à plus de 30 degrés du centre, on pourra considérer les distances perpendiculaires aux directions centrales comme conservées aussi bien que les distances le long de ces directions, et dresser une échelle de parties égales suflisante pour de petites distances.
Lorsque le point central est pris sur l'équateur, les degrés sont conservés sur la ligne des pôles et sur l'équateur ; et, sur la circonférence qui limite un hémisphère, ils sont aussi égaux entre eux ; mais les parallèles et les méridiens ne sont ni des ellipses comme dans les projections perspectives de la Hire et de Parent, ni des arcs de cercle comme dans la projection dite globulaire dont nous parlerons plus tard (1), et avec laquelle on a confondu à tort la projection zénithale équidistante.
Sous l'aspect polaire elle esi très-employée pour les cartes célestes, et, au bureau des longitudes, pour les caries des éclipses publiées chaque année dans la Connaissance des temps. Les projections ir* YW1I1, \\|\ et \\\ représentent un hémisphère sous les trois aspects polaire, méridien et horizontal.
G. Si nous prenions pour plan de projection, dans la sphère stéréographique, non plus un grand cercle, mais le plan tangent à la sphère à l'extrémité du diamètre dont l'autre extrémité est le point de vue (2) , nous aurions, pour exprimer les rayons des almicantarals,
p = 2tang-.
D'un autre côté, la projection zénithale équidistante peut se représenter par la formule
(I) IW 2' pi.rl., ch. XIV, '2".
{'2) C.est ce qu'il fout faire lorsque l'on veut cviler l'altération au centre de la carte et la reporter sur le< boni-, car les degrés au centre se trouvent alors conservés, tandis qu'à 90" ils sont presque douilles.
CHAP. V. — PROJECTIONS ZÉMTflALtS. 147
p = 0 = cf. . tang — .
Le premier système a l'avantage de ne pas altérer les angles, et le second d'exagérer les surlaces beaucoup moins que le premier. Si donc on considère des systèmes ayant des loi mules analogues et en quelque sorte intermédiaires, telles que
0 0 p = 3tang-, p = .itang- ,
dans chacun d'eux il y aura déformation, mais aussi l'exagération sera moindre que dans la projection stéréographique.
». Nous avons déjà parlé (I) d'une projection zénithale qui possède la propriété très-importante de conserver les surfaces dans leur véritable grandeur. On arrive directement à sa formule en exprimant que les zones formées sur la sphère par les almicantarats sont respectivement égales aux surfaces qui les représentant :
d'où l'on déduit immédiatement
p = 2asin -;
le rayon de chaque almicantarat est donc égal à la corde de l'arc vertical correspondant.
Nous reviendrons longuement sur ce système, l'un des plus importants à cause de ses propriétés.
8. Nous allons maintenant parler d'un nouveau système imaginé par l'astronome anglais Ainj, qui lui a donné le nom de Proj(rti>n by Balance of F non [*2] .
Nous avons déjà, dit que toutes les cartes, quel que fût leur système de projection, étaient entachées de Tune au moins des deux erreurs, exagération d*-s surfaces et déformation ; nous allons nous occuper d'évaluer ce ; A>-mk erreurs dans les projections zénithales en suivant la méthode imaginée par M. Ainj.
(1) Voir chai». § f t ~' 1' ; '1'Im < ; • IX, f*i i«j*>r C ion • ijuivaltiilc /.riiillinl'* <!♦' Lambert.
(2) Kx/t/nnatinn r,f a )</ <■]■•< tv>n l,y /< • of F.tr f,r tuai v !■;.}■/>/! h<j 1<> " "''<'/ Inrye rj-Urt! of tf,r lùirlU's tur/»re ; niai lOn^.nnson of i/ti\ /irojeriion mit h othi />>ojecttons, by G. B. Ainv, esy. mtr<n>o».?i> royal : rotin» u„ fait <! hy tite uui/a»-; <] ai.- le Philosophical Moginm*, im»j»t < «Iro-ii; 1 i.> V,.:, ;». -# « • n ;i iVI.
IIS l r * PARTIK. — THÉÛRIB UES PROJECTIONS.
Supposons pour cela la surface sphérique décomposée en une infinité de petits rectangles formés par les arcs de deux almicantarats et de deux cercles azimutaux infiniment voisins; la carte sera de même décomposée en une infinité de petits rectangles curvilignes compris entre deux circonférences et deux rayons infiniment voisins; chaque rectangle de la sphère aura ainsi son correspondant sur la carte. Soient a et b la longueur et la largeur de l'un de ces petits rectangles de la sphère dont nous prenons le rayon pour unité; la longueur et la largeur du petit rectangle correspondant de la carte, étant des fonctions de a et 6, pourront être représentées par a -f oa et b -f ob.
Si les rectangles de la carte étaient régulièrement égaux à ceux de la sphère, le rapport de l'aire projetée à l'aire originale serait égal à l'unité; s'il n'en est pas ainsi le changement de surface pour chaque rectangle pourra être représenté par
aire projetée aire horizontale
Si chaque rectangle était semblable à celui auquel il correspond, la déformation serait nulle, les angles ne seraient pas altérés, et le rapport des côtés projetés divisé par le rapport des côtés originaux donnerait un quotient égal à l'unité; s'il n'en est pas ainsi, la déformation pour chaque rectangle pourra être exprimée par la différence de ce quotient à l'unité, c'est-à-dire par
long 1 projetée X larg p originale ^ larg' projetée x long' originale
Par suite des notations que nous avons adoptées nous pourrons représenter l'erreur sur chaque surface de rectangle par
(a -f- 8'f) (b -f- ô7>) oa Sft
ab ~ ~ ~a + 1 '
et la déformation par
a -{- oa b ^ on ob
T^ob'a ~~ ~ ~â 'T'
en négligeant les puissances de oa et ob au-dessus de la première.
M. Airy a cherché comment on pouvait évaluer l'erreur totale produite sur la projection tant par l'exagération des surfaces que par la déformation, erreur résultante que nous avons déjà désignée
CHAP. V. — PROJECTIONS ZÉNITHALES. 119
par le mot altération et à laquelle les Anglais donnent le nom bien plus expressif de misrepresentation. Le savant astronome a cherché en outre quel était le système zénithal dans lequel le résultat delà combinaison des deux erreurs était le plus avantageux possible, et il a basé ses calculs sur les suppositions et les déductions suivantes :
1° ces deux erreurs partielles, lorsqu'elles sont de même amplitude, peuvent être considérées comme des fautes égales ;
2° comme l'erreur produite par une valeur négative est la même que l'erreur produite par la même valeur prise positivement, on peut employer une puissance quelconque de leur expression et appliquer la méthode des moindres carrés;
3° cette méthode conduit à chercher, pour chaque élément de surface, le minimum de la somme des carrés des deux expressions ;
h° pour la carte entière on devra donc chercher le minimum de la somme des carrés des erreurs élémentaires considérées en ayant égard à la grandeur de la petite surface correspondante.
La manière de représenter la projection de M. Airy consistera donc à déterminer la forme de la fonction de 6 qui, prise pour rayon des almicantarats, rendra minimum l'erreur totale représentée par la somme de toutes les erreurs élémentaires multipliées par la surface qui correspond à chacune d'elles.
La somme des carrés des deux erreurs étant
nous pouvons prendre pour mesure de l'erreur en chaque point
Appelons 6 la longueur, en fonction du rayon pris pour unité, de l'arc de grand cercle qui unit le centre de la carte au centre du petit rectangle que nous avons supposé formé sur la sphère, z la distance correspondante sur la carte, sp l'angle azimuthal infiniment petit sous lequel la largeur du rectangle est vue, dans les deux cas, du point pris pour centre. Alors
a = 86; a + «8 = 8p; Srt = cp— 80,
fc=?sin6; A-L-86 = *p; 86 = *(p — sinO),
ir.O I" PARTIF. — TnEOlllE DES PROJFCTIOJTS.
tello eM l'expression de l'altération on chaque point. Le produit de cette erreur par la surface çpsinÛSB à laquelle elle correspond est donc
i;ë-')'+fe-')> M °'
en négligpant le multiplicateur cp.
La sommation des erreurs partielles pour toute la carte est donc représentée par
en désignant par (3 la valeur de Q à la limite de la carte ; et c'est cette intégrale entre les limites 0 et (3 assignées à la variable 0 qui doit être rendue minimum.
Posons p — 0 = y et substituons en remplaçant -J par p. L'intégrale à rendre minimum a alors pour expression
Jo L sin© j j 0
C'est un cas du calcul des variations.
Posons
w d\ „ dV n d\ m . ' M = — ; N = 3-; P = — = 2/> sinO.
</6 dy dp 1
Nous devons donner à y une variation assujettie à la condition que dy soit nul quand H = 0; les équations de solution sont alors
N = ^ = 0, et P ft = 0,
en désignant par Pp la valeur de 2j7sin9 quand on y remplace 0 par fL Or
2(.y-f6~sin0) d? 2//'»/ É , fc/y i N = . -, tt = -jzr sin 8 -f cos 0 •
la première équation devient donc
.y-fO — sinO . jftj rfy
sinO f/Q* rfe '
ou
sin'8 ~ 4- sin 6 cos 0 § — y = 6 — sin 9.
CHAP. V. — PROJECTIONS ZFMTHALKS. i5J
Écrivons 6 à la place de 0 — sin 9, et pour résoudre l'équation posons
Nous avons alors, en différentiant et en substituant,
OU
sin0 ^- s=e -
Cette équation est intégrable quand elle est multipliée par r .
On obtient alors
Sin? 2
donc
-tang-U, ;
- ta „g-Uo
Cette dernière équation devient intégrable quand on la multiplie
par r ; on obtient alors
cos" ^
>/ = i cotang ^frfOsin* frfO
v COS 3 - v
En posant pour un moment 2 = y » on peut écrire
y = cotang 4» \ <ty — ~ \ dty ^— , J cos'^J sin ! ^
ou ou
y = i tang * Çrf* - ^ cotang « \ «, .
ISS I" PARTIE. — THftOail DES PROJECTIONS.
Eu remplaçant 9 par I — Bill 0, on obtient enfin
ooo 0 y = - 0 — 2 cotang - log ci s - -f- C tang - -f C'cotang - ,
y doit être nul avec H , donc Gf = 0.
L'équation de condition Pp = 0 peut s'écrire
on doit donc avoir
d'oïl
coséc* - log cos ' -f- - C séc* = O ; 2 2 2 2
C = cotang* g log séc' 5 = — 2 cotung' 5 log cos - .
Il en résulte que, au centre de la carte où H = 0,
On a donc définitivement
P = — 2 cotang - log cos - + tang - cotang' - log séc» - ,
expression dans laquelle les logarithmes sont népériens: en appelant donc M le module 0,/i3V294â8, on aura, en logarithmes vulgaires,
p = — g cotang r log cos - — — tang - cotang 1 - log cos - .
Le rayon-limite de la carte est
•(!) M. Airy, négligeant la condition de rendre minimum l'intégrale de Vr/8 entre les limites 0 et (i, et cherchant seulement le minimum de l'intégrale indéfinie, s'était donné,
du
pour déterminer la constante C. la condilion que — fût nul alml que y, pour 6=0, ce
qui revient à celte condition que les parties centrale» delà carte correspondent exactement ii la région de la sphère qui entoure le point pris pour centre de projection; M. Airy trouvait ainsi C=l et finalement
p = tang - -f 2 cotang -tog sec-.
Le capitaine Ci.arke, charpé par le colonel James de revoir le» calculs de l'astronome anglais, détermina lu constante comme nous l'avons fait (PhUosofthiail magazine, avril l8C2,p. 300-308).
CIUP. Y. — PROJECTIONS ZÉNITHALES. 153
R = 2Ctang£.
Cette quantité ne croît pas indéfiniment, mais est maximum quand P= 12(5*, 24', 53"; pour des valeurs plus grandes de fl, R diminue.
11 ne faut pas oublier que dans nos calculs nous avons pris le rayon de la sphère pour unité, de sorte que si l'on exprime en réalité ce rayon par a, il faut multiplier par a les valeurs de s et R trouvées précédemment. Quand $ = 120% R = 1,6007 a ; quand p = 113° 20', R = 1,5700.
La projection n° XXIII est construite à l'aide de ces formules sur l'horizon du lieu situé à 23° 30' de latitude N. (tropique du cancer). Nous dirons au paragraphe suivant pourquoi ce point a été choisi.
9. Nous allons maintenant parler de la projection imaginée par le colonel Henri James, directeur de YOrdnance Survey, en cherchant à représenter un hémisphère en projection perspective de manière que l'altération totale {misrt présentation) fût la moindre possible (l). 11 est arrivé ainsi à placer le point de vue à une distance de la surface qui diffère si peu de la moitié du rayon que cette valeur lui a paru la meilleure à adopter dans la pratique à cause de la simplicité de sa définition. Ainsi
au lieu de 1 ,505 valeur adoptée par la Hire. Le colonel James voulant appliquer cette projection à la représentation d'une partie de la surface de la terre plus grande qu'un hémisphère, au lieu de faire coïncider le plan du tableau avec un grand cercle de la sphère, l'a supposé parallèle à l'écliptique et passant par la limite des tropiques, c'est-à-dire à une distance du centre du globe égale à a sin 23° 30'; le rayon de la circonférence qui limite la carte est alors égal à acos 23° 30', c'est-à-dire à 0,91706 a, et des longueurs égales de la surface sphérique ne sont, sur les bords de la carte, que de \ plus grandes que vers le milieu,
Le colonel James a choisi cette distance et cette position du ta-
(!) IVev: geomelricnl Projet tion of iwo (hirds of a sphère, article compris dans In serlion t'y fui [nvmtions de \'Adt!res< lo Oie Royal Cet yni^hual Society of hindou delirered at Ihe Annivermry ntr,-tinq, on t/ie 2;>th may 1857 by Sir R. J. M< rchison, p. j? l-l'J2 «les Prnceedings, vol. I, Londres I8..7, in-8, ou p. (ALJ-CXLU du Journal, vol. XXVII, Londres 1857, in-8.
1S4 I" PARTIR. — TnfiORlK DES TROJECTIOM.
blcau parce que, en plaçant, comme il l'a fait dans les cartes dessinées dans ce système par J. 0. Jarrets, le point central sur le tropique du Cancer (23° 30' N.) et à 15° (long E. de Greenwich, 12° 40' de Paris) on peut représenter dans le cercle de projection l'Europe, l'Asie, l'Afrique et l'Amérique ; enfin il a donné k ce système le nom de projection des deux tiers du globe quoique la surface représentée soit en réalité les {- de la surface totale.
to. Ce s\slèine ainsi défini ne jouit réellement de tous ses avantages que jusqu'à 00" du centre ; mais en étendant la projection de 00° à 113° 30' comme l'a fait sir II. James, le capitaine A. R. Clarke (1) a montré que le point de vue devait être placé à une distance de la surface égale aux ~ du rayon au lieu de ^. Voici le calcul tel qu'il a été présenté par l'auteur.
Prenons le rayon de la sphère pour unité : appelons D la distance de l'œil au centre, D' celle du tableau au centre; l'expression générale du rayon p des al inican tarais sera
D'sin 0
D-j-co-sO'
comme elle contient deux quantités arbitraires D et D' t nous pouvons en disposer pour rendre minimum l'altération totale de la carte pour toutes les valeurs de 0 comprises entre 0 et 113° 30'. Nous avons vu précédemment que cette altération pouvait être exprimée par
d , a d ? i D'(Dcos9 + l) ,
Remplaçons donc -jj par sa valeur — |p cos et P P ar
•=—, s , et nous aurons a rendre minimum par rapport à D et D
D + COS 0 r rr
l'intégrale
JoLV (D-f-cosO/ /^VD + cosO J J L'intégration donne
M = D^Aj -J- 2 D'A, -f- \ sin* | ,
(I) On projection* for maps applying to a very large estent of the Earth's surface, by Col. H. James, and Cap. À. R. Clarke : communicated by the authors; dnn* !<• Pbilotophicai Magazine, cahier d'avril 1862, p. 306 à 313.
CIIAP. V. — PROJECTIONS ZÉNITHALES. 155
où les symboles A t , A, sont
A = 1 -h P* = DÇP* — ^ ) (D' — >)' 1 (I — D)' 1 N N* 3N S 3 1 + D
et
N=D + cosp.
La condition du minimum exige que
^ = 0, et que ^ = 0,
D ^ i + Af = 0 , et ^ + ^ = 0;
D= et A. — - — 2A, — ? = 0.
A, ' dD l dD
donc
d'où
Substituant ces valeurs dans l'expression de M, nous trouvons
M = 4sin»
expression qui ne contient plus que D ; cette variable doit donc être
déterminée de manière que — ' soit maximum.
Al
On y parvient très-facilement en calculant les valeurs de — • pour des valeurs données de D. On forme ainsi le tableau suivant :
D log a*,— log a,
En interpolant on trouve pour le minimum
D = 1 ,36763 ; log A% — log A, = 0,4207623,
Le point de vue est ainsi aux £ environ du rayon de la surface de la sphère. L'expression du rayon des aluiicantarats est alors
4,00-261 a sinO P ~~ 1,30763 + 005 0'
Quand 0 = 113° 30', le rayon de la circonférence-limite devient
R=l,ri737,
qui diffère très-peu du rayon de la projection de M. Airy (Balance of Errors, corrigée par Sir Clarke).
La table suivante, qui donne les valeurs de p pour les valeurs de 8 de 5° en 5° dans l'hypothèse de a = 1, a été calculée par le capitaine (ilarkeen prenant le rayon a pour unité. La projection n° XXII a été dressée dans ce système.
Ce genre de projection perspective convient assez bien pour représenter de grandes masses de terres et pour le tracé des cartes physiques ou géologiques ; pour les grandes cartes d'étoiles il doit être préféré à la projection stéréographique parce qu'il permet de représenter sans erreur exagérée sur les bords une grande partie du ciel, mais il ne possède pas l'importante propriété de conserver les angles et de représenter les constellations sans en altérer les formes.
1,66261 gin 8 do? = — — -.
1,36763 + cosft
is
ss
ui
i f . Nous allons maintenant étudier les altérations que les projections zénithales font subir sur la carte aux angles, aux éléments de longueur et par suite aux surfaces.
Nous supposerons la projection faite sous l'aspect polaire avec le pôle au centre et les parallèles circulaires et concentriques; mais,
CIIAP. V. — PROJECTIONS ZÉNITHALES. 1.17
comme un point quelconque de la sphère peut toujours être pris comme centre de la projection, ce que nous dirons des parallèles et des méridiens de la projection polaire pourra toujours s'appliquer aux almicantarats et aux cercles azimutaux relatifs à une position quelconque du centre.
ALTÉBATION DES AffCLES.
Considérons sur la sphère une direction quelconque faisant un angle a avec un méridien, et cherchons l'angle correspondant (il de la carte, c'est-à-dire l'angle que fera avec le méridien de la projection la direction qui, sur la carte, correspond à la direction considérée sur la sphère. Appelons z l'azimut du sommet de l'angle.
Nous aurons évidemment sur la sphère
et sur la carte
Donc
en posant
dz .
tanga = — sinO,
tangp =
tangp=^tang«=Ktan ga ,
BW ' l+Ktang'a' dp sinô'
Remarquons d'abord que le rapport K et par suite l'altération p — % sont indépendants de l'azimut du sommet de l'angle, et restent par conséquent les mûmes pour des distances égales du centre de la projection.
Cette relation permet de tracer la rose des vents en un point quelconque de la carte, puisque, connaissant la loi
qui la définit, on pourra calculer, pour toute valeur de 9, la fonction
dp sin e '
Remarquons de suite que \i =a pour a = 0 et pour a = — , ce que
nous savions déjà puisque lesalmicantarats et les cercles aziuiutaux se coupent à angles droits sur la carte connue sur la sphère.
Cherchons maintenant le maximum B — A de l'altération £ — a pour chaque valeur de 0; il nous suffira pour cela d'égaler à zéro la dérivée de la valeur de tang — a), en considérant a comme la véritable indépendante :
-2 (I + K) tang» «)- —b— 1 tang' « = 0,
ou d'où
ros 1 a cos 1 a
i — Ktang'» = 0,
tang
1 /</? sinO
Les deux directions qui, sur la sphère, font entre elles l'angle le plus altéré A sont donc symétriques de part et d'autre du méridien. 11 en est de même des directions qui leur correspondent sur la carte, car, en remplaçant tang a par ces valeurs, on obtient :
langB = ±^= — !— -, 6 v tang A
équation qui conduit à poser
en excluant les arcs négatifs et ceux qui excèdent On déduit de là pour la déviation maximum :
K — 4 prfO — rfpsinO
tang(B — A) =
-2vK 2 y prfOf/p sin 0
ce qui montre que, au ceutre où 0 = 0 et o = 0, l'altération est toujours nulle.
Si nous voulons chercher la projection pour laquelle cette altération est partout nulle, il suflit d'égaler K à 1 :
<:iUP. V. — PROJECTIONS ZÊ5ITHALB5. 159
d'où Ton tire
P = sûTÔ ' par consé( ï uent P = ten £ 5 •
c'est la loi de la projection stéréographique.
l*. Pour terminer l'étude de l'altération des angles dans les projections zénithales, remarquons que, en tout point de la sphère ou de la carte, il existe une inlinité de groupes de deux directions faisant entre elles le même angle sur la carte ou sur la sphère. M. Gollignou a donné aux directions qui possèdent cette propriété le nom de directions conjuguées.
Soient a et n. x les angles formés en un point M de la sphère par deux directions avec l'arc de grand cercle qui joint ce point à celui qui est pris pour centre de la projection ; soient 3 et [2, les angles correspondants sur la carte. Les directions conjuguées seront définies par l'équation
a, — a = p,— p ou bien £ — « =
donc
tangP — tang* tangP,— tanga, 1 + tang p tang * ~~ 1 -ftangp, tang a, '
Connaissant la distance 6 du point M au centre, on pourra remplacer tang [i et tang (3, par leurs valeurs en fonction de 8 et de tang a ou tang a ( ; on obtiendra ainsi la relation qui doit exister entre % et a, sur la sphère pour que les directions définies par ces angles soient
des directions conjuguées. Remplaçons donc tang £ par tang a;
il viendra, après suppression du facteur commun ^ — 1,
tang a tang a,
i-f-Ktang'a 4-f-Ktaug'a/ en posant comme précédemment
prfe
i/psinô ~
Cette équation est du second degré par rapport à tang a r Elle est satisfaite d'abord par tang a, =tang a, ce qui donne a, =a en faisant abstraction des angles négatifs ou supérieurs à 180 degrés. Sup-
160 l rr PARI IK. — THÉORIE DI S l'ROJ KCTIONS.
primant cette racine <jui ne convient point à la question, il vient pour l'autre racine
tanga. = — .
b 1 Ktang*
Le produit des tangentes des angles a et a, étant constant pour un même point M, les directions correspondantes appartiennent aux diamètres conjuguas d'une hyperbole tracée sur le plan tangent à la sphère et qui aurait le point M pour centre, la tangente au grand cercle MO pour l'un de ses axes principaux, et dont enfin les asymp-
totes feraient avec cet axe l'angle dont la tangente est égale à - - •
Sur la carte les directions conjuguées appartiennent aussi aux diamètres conjugués d'une autre hyperbole ayant le rayon MO pour axe principal et dont les asymptotes font avec MO l'angle dont la tangente est égale à v K.
Kn d'autres termes, sur la carte comme sur la sphère, les asymptotes de l'hyperbole qui définit ces directions conjuguées ne sont autre chose que les directions de déviation maximum que nous avons déterminées tout à l'heure.
De là résulte un moyen géométrique de savoir si l'angle de deux directions M\, MB, sur la projection zénithale, reproduit en vraie grandeur l'angle des directions correspondantes sur la sphère. Par le point M (fig. 44) menons les droites MI\ MP' de déviation maximum sous des angles donnés par l'équation
ta„gB = ±v K = ±\/^£.
Menons ensuite une parallèle AB quelconque à MP'. Si le point I où elle coupe MP est le milieu du segment AB, les deux directions MB et MA sont des diamètres conjugués dans toute hyperbole ayant pour asymptotes MP, MP', et par suite l'angle BMA reproduit en vraie grandeur l'angle formé sur la sphère par les directions correspondantes à MB, MA.
En effet, dans l'hyperbole rapportée à ses asymptotes, la somme des coellicients angulaires de deux diamètres conjugués est égale à zéro.
La direction MO est conjuguée avec une direction perpendiculaire
CRAP. V. — PROJECTIONS ZÉNITHALES. 1B1
à MO au point M. La construction indique cette particularité que nous avions déjà reconnue.
Ainsi, quoique dans les projections zénithales les angles soient en général altérés, il y a en chaque point une infinité d'angles qui ne subissent aucune altération.
13. Nous allons maintenant appliquer à chacune des projections zénithales que nous avons étudiées les résultats auxquels nous sommes parvenus, et calculer les valeurs de K et de l'angle le plus altéré A ainsi que l'altération maximum B — A. Nous supposerons le rayon de la terre pris pour unité.
Nous avons trouvé, pour expression du rayon des almicantarats, dans les projections perspecti ves
DsinO p — I) -fraise'
11 en résulte
p </e D-f cose
sinQ'tfp Dcose-f I*
(D — -cose)
, /Dcose-f i (!
cosO) (Dcose-f I
La position du plan du tableau ne peut évidemment exercer d'influence sur les résultats.
Dans la projection de sir James D = 1,50
1,50 + cose . twA ^ ±1 / Qô+Së .
K -!,50co S e + 4' *angA±y 1) + cos0
m 0/25(1— cose) tang(B — A) =
^(1,50 + eos0»(l,5O ( :os0-f- i)
On voit que, à 90° du centre, l'angle le plus altéré sur la sphère est de 39° là' environ; il est représenté sur la carte par une angle de 50° A6' ; l'altération est de 11° 32'.
Dans la projection de sir James, modiliéc par le capitaine Clarke, D= 1,36763 et par conséquent
, 0,36763(1 — cose)
umg(B — A) =
2\ 1,36763 -f cosOi L36763cose -f V
A 90° du centre l'altération maximum n'est que de 8 e 56'. Elle est de
it
162 i'« PARTIE. — THÉORIE DES PROJECTIONS.
13° 15' dans la première projection de Parent où D = 1,595, de 15° 52'
dans la seconde où D = 1,732.
Dans la projection orthographique p=sin9,
cosO
lan» A = ± v'cosQ; tanpB
= ± i/T; V cosO
sur -.
tang(B — A) = =
2\cos8 ^co&b
On voit que l'altération, nulle au centre, va en croissant avec 9 et que. à la circonférence de la carte, pour 9 = 90% elle est de 90 degrés : quant à l'angle h le plus altéré sur la sphère, il est de 45* au
centre et décroît jusqu'à zéro.
Dans la projection centrale p = tangO,
K=-^- - = cos8; sinO dp
Mire
I #a% 4 — cosO 2
laugA = zt\/r^8 et tang(B — A) = =- = — -=.
â\cos(> v 'cos8
L'altération est donc égale, mais de signe contraire à celle de la projection orthographique.
Dans la projection équidistante p = 0
sinO
9 — sin 0
uwg A = ±W--; tang (B — A) =
b ' y o ' ov ' îy'Osine
Au centre 0 = 0 et le rapport S '|| ^ est égal à l'unité; donc A = ±:45'
et B = =b 45'; la déviation est nulle; l'angle \ de déviation maximum
décroît ensuite jusqu'à ce que 0 = ^, et alors tang A = ±. w -, ou
A=38» 35' 10", tandis que B décroît jusqu'à 51° 24' 50"; la déviation maximum est donc de 12° 49' 40".
1 ► tus 1rs projections que nous avons indiquées sous le nom dé
CHAP. V. — PROJETIONS ZÉXITHALFS. 165
projections intermédiaires, : = ntang^, l'altération maximum croît
avec n; quand n = 3, elle est de 7° '28' 30' à 90» du centre, et l'angle A est de 41° 15' A5"; quand n= â, a la môme distance l'altération B— A est de 9° 52' hh ' et l'angle A de à0° 3' 38".
Dans la projection zénithale équivalente de Lambert, p = 2 sin on trouve alors
K P__ ^ J ~~ sinO dp 0 ' CM' g
tang A = ± cos 5 ; tang B - A) = - tang - sin - .
L'angle A est égal à A5° pour b = 0, c'est-à-dire au centre de la carte; il décroît ensuite sur la sphère tandis que l'angle B augmente d'autant,
et la déviation va en croissant; quand f ^ = ^> on a tang A = — =:
ou A = 35° 15' 52", et la déviation maximum est de 19° 28' 16"; elle continue à croître avec 0, et, à l'antipode du centre, lorsque 8= 180°, on trouve A = 0 et B = 90°.
Dans la projection de sir Airy (Balance of Errors)
p = — âcotang - logeos - + taug - ( cotang* - logsec 1 -\ ,
et l'on peut calculer A et B pour chaque valeur de 9.
