ALTÉRATION DES LONGUEURS
14. Sur la sphère la distance des deux points définis par les coordonnés z et H, z -f dz et 0-f dO qui désignent l'une l'azimut et l'autre la distance au centre est exprimée par
V'sirrOf/c* + r/0* : ; la distance correspondante sur la carte zénithale par
Soit m le rapport de la seconde distance à la première, rapport variable d'un point à l'autre de la carte, et variable aussi en chaque
point avec l'orientation de l'élément considéré, ou avec le rapport
^ sin 9 que nous avons reconnu être égal à la tangente de l'angle a
que fait cet élément avec le méridien. On peut donc écrire
dp* + p*dz* = m* (sin» 0<zV -f rfO').
Cherchons la valeur de a qui rend m maximum ou minimum en un point donné.
dz
Nous pouvons écrire, en remplaçant ^ sin 9 par tang a,
rfp'+pw </*»^ = cos , . ,
sin'e,/; 1 + ,/0» 1 + tang» a de» ^ p sin*e ' Remarquons que si l'on calcule deux valeurs de m* correspondant à deux valeurs de n. différant entre elles de ^, la somme des deux valeurs de m* sera indépendante de a; on a en effet pour l'une
et pour l'autre Donc
, dp* . cosV
égalité remarquable dont nous aurons occasion de faire usage plus tard.
La valeur de a qui rend m ou m' maximum ou minimum s'obtiendra en égalant à zéro la dérivée de
dp* , sin'a
prise par rapport à la variable a ;
— 2 -— sinacosa -f — sin «cos a = 0,
ou
sinacosa - r \ =0.
CHAP. V. — PROJECTIONS ZÉNITHALES. «65
Cette équation nous montre que les deux directions pour lesquelles m est maximum ou minimum sont données par les valeurs de 7. égales
à 0 ou à ^ , c'est-à-dire coïncidant l'une avec l'alinicantarat et l'autre
avec le rayon.
Pour reconnaître celle des deux qui correspond au maximum, prenons la dérivée seconde de m* :
et cherchons son signe pour a = 0 et pour a = ^.
o s do*
Supposons d'abord que ^ — ^ soit positif, ce qui signifie
do d* p sinô
Nous pouvons intégrer les deux membres et comme, dans les projections que nous considérons, p devient nul en même temps que 0, nous pouvons écrire
logp < logtang-,
P < tang -.
Supposons donc cette condition satisfaite, soit par la nature même de la projection, soit par une série de valeurs de 8; le signe de la dérivée seconde de m* dépendra alors du signe de cos 2x. Pour a=0,
cette dérivée sera positive; elle sera négative pour a = ^; il en
résulte que tn', et par conséquent m, sera minimum pour la première valeur, maximum pour la seconde.
Si le terme — j-j- est négatif, et par suite si, dans la projection ou pour les valeurs de 8 considérées, on a
P > tang -,
c'est le contraire qui a lieu; le rapport m sera alors maximum pour
a = 0, c'est-à-dire sur le rayon, et minimum pour a = j, c'est-àdire sur l'almicantarat.
On voit de plus que le seul système dans lequel le rapport des distances est indépendant de l'angle a, c'est-à-dire reste le même dans toutes les projections (tout en variant avec 6), est la projection pour laquelle
a dp 0
= o» P = tang-,
c'est-à-dire la projection stéréographique.
Cherchons les valeurs maximum ou minimum du rapport m; il
suffit pour cela de faire % = 0 ou a = ^ dans l'expression générale
de m*
m* = ~ cos^ -\- sin*«.
On trouve ainsi que, sur le rayon, ce rapport m 0 est égal à^, et que,
8ur l'almicantarat, m = • ^ .
■ sm 0
Le rapport des surfaces élémentaires correspondantes de la carte et de la sphère est évidemment le produit m 0 des rapports maxi-
mum et minimum des distances élémentaires au point considéré. Si l'on considère, en effet, sur la sphère, un petit carré ayant l'unité pour chacun de ses cotés supposés d'ailleurs dirigés suivant le méridien et suivant le parallèle, sa surface sera exprimée par l'unité et le quadrilatère correspondant sur la carte aura pour côtés m 0 ( suivant le rayon) et m (suivant l'almicantarat), et pour surface le produit m 0 m T .
Ainsi le rapport M* des surfaces élémentaires correspondantes de la carte et de la sphère est exprimé par
M» - d l JL.
~rfO sinô*
■ 5. De môme que nous avons cherché les plus grandes altérations d'angle, nous allons chercher les rapports m 0 , ro r et M* pour
les diverses projections zénithales que nous avons considérées.
CIUP. V. — MOJBCTIONS ZÉNITHALES. 167
Pour les projections perspectives
D'sinO p ~" D-f cose' dp D'i'DcosO -f- 1) p 0'
= rfQ = (L)-f cose) 1 ' = slni = LÏ + cas 0 '
i > n cos o 4- 1 )
" ~~ (D-f cos Û) 1 '
Dans le cas particulier de la projection stéréographique, si nous prenons pour plan de projection le plan langent à l'héin'ispli» Vc que nous voulons représenter, D' = 2,
cos* - « cos' - CoS' -
Le rapport m d'agrandissement des longueurs élémentaires reste le même autour de chaque point et ne varie qu'avec 0; ce rapport est. égal à l'unité au centre de la carte, et croit du centre à la circonférence où il atteint la valeur 2. Le rapport M d'agrandissement d. s surfaces croît donc depuis \ jusqu'à h.
Dans la projection de sir James, si l'on suppose, comme l'a lait l'auteur, que le plan de projection soit à une distance du centre égal* à sin 23° 30', D = 1,1012 et alors, au centre de la carte.
à 90° de ce centre
mais si nous supposons que le plan de projection soit tangent à l'hémisphére que l'on veut représenter, on voit que, au centre, le l'apport des longueurs élémentaires de la carte et de la sphère est égal à l'unité ainsi que le rapport des surfaces; c'est du reste ce qui a lieu pour toutes les projections perspectives lorsque l'on suppose le pLtn du tableau situé à l'extrémité du diamètre passant par le point de vue, car alors, pour Q =: 0 et D' — I) | 1
i<;8 l<» PARTIE. — THÉORIE DES PROJECTIONS.
celle hypothèse sur la position du plan de projection permettra donc de comparer entre elles les projections perpectivcs en représentant sans altération les portions voisines du centre et voyant comment l'erreur croit, avec la distance à ce centre.
Revenons à la projection de sir James; si nous voulons l'étendre, comme l'a fait l'auteur, jusqu'à 1 1 3° 30' du centre, nous trouvons, à cette limite,
Dans la projection de sir James modifiée par le capitaine Clarke, à la même limite on trouve
Dans la première projection de Parent, à 90° du centre,
Dans la seconde projection de Parent
OT, = rÔ9 ; m * =1 > :i7 ; M* =1,44.
Dans la projection orthographique, les valeurs générales de m 0 et
m. sont
m 0 = COsO; m T = 1 ; M* = cos 8 ; T
les almicantarats sont projetés en vraie grandeur, et sur les rayons le rapport d'agrandissement ro„ est égal à l'unité au centre de la projection et décroît jusqu'à la circonférence de la carte où il est nul ; le rapport M* passe par les mômes valeurs ; à 60* du centre les surfaces ne sont que la moitié de celles qui leur correspondent sur la sphère.
Dans la projection centrale
cosV i cosO' "cosV
chacun de ces rapports est égal à l'unité au centre de la projection, et infini pour B = 90°.
CHAP. V. — PROJECTIONS ZÉNITHALES. 169
Dans la projection équidistante
ï smO' sin6
les rayons conservent leur véritable grandeur, et, sur les almicantarats, le rapport m T , maximum en chaque point, croit depuis le centre
où il est égal à l'unité jusqu'à ce que 9 = 90% valeur pour laquelle tz
il est égal à - = 1,5708; si l'on prolonge le carte au delà d'un hémisphère, ce rapport continue à croître jusqu'à l'infini. Dans la projection zénithale intermédiaire p = 3 tang ^
3tang M 1 = m 0 m r ;
6' 5 sine
les rapports m 0 M* sont égaux à l'unité au centre de la projection ;
quand 8 croît jusqu'à 90°, le premier croît jusqu'à y ou 1,833 ; le
second jusqu'à y 3 ou 1,7320, le troisième jusqu'à 2,309.
Dans la projection p = 4 tang ^ , le rapport ro 0 croît depuis 1 jusqu'à 1,171, m K depuis 1 jusqu'à 1,6568, et enfin M* depuis l'unité
jusqu'à 1,940.
Dans la projection équivalente zénithale de Lambert
m 0 = cos ^; m T = — ; M*=H; "ï cos -
ainsi les longueurs des éléments des rayons sont réduites sur la carte
dans le rapport de cos ^ à l'unité et les longueurs des éléments des
almicantarats sont augmentées dans le même rapport. Quand 0 croît
de 0 à 90°, m 0 varie de 1 à j-^n et m. de 1 à 1,414. 0 1,414 n
On calculerait de même les rapports d'agrandissement dans la projection de sir Airy.
170 PARTIB — THF OHIK DES PROJBCTIOWS
COMPARAISON DES PIOJECTIOIIS ZÉNITHALES.
i€>, Si l'on dressait un tableau des valeurs de l'altération maximum des angles pour des valeurs assez rapprochées de 0, et un autre des rapports m 0 , m, et M', on pourrait comparer entre
elles les diverses projections zénithales et juger de leur mérite à diverses distances du centre. Mais une pareille comparaison est toute conventionnelle, et les résultats dépendent beaucoup du point de vue auquel on se place et de l'importance que l'on assigne à chacune des quantités qui entrent en comparaison.
On devra d'abord fixer l'échelle de construction de chaque projection et cette première détermination nécessitera une hypothèse sur la valeur du rayon de la circonférence qui devra limiter la carte ou sur la valeur du rayon au point que l'on considérera. Si l'on voulait s'affranchir de l'influence de ce rayon, on devrait supposer que, pour chaque valeur de 9, l'ahnicantarat coïncide avec le petit cercle correspondant de la sphère, et ne considérer que le rapport d'agrandissement m 0 normal à ce cercle ; il suffirait pour cela de diviser chaque valeur de m 0 par la valeur correspondante de p, et de comparer, pour les diverses projections, les quotients correspondants aux mêmes valeurs de H.
On devra ensuite, en considérant l'usage auquel devra servir la carte, examiner quelles sont les parties où l'une des erreurs inhérentes à chaque projection devra être la moindre possible, et choisir le système qui satisfera lo mieux à cette condition d'abord, puis aux autres du problème, sans toutefois exagérer les autres erreurs dans les mêmes parties de la carte ou en d'autres où elles pourraient avoir une influence notable sur le mérite relatif du canevas adopté.
On voit donc qu'il y a le plus souvent dans le choix à faire une question de compensation que l'intelligence du géographe résoudra bien mieux que ne pourraient le faire des règles fixes qui, dans la plupart des cas, ne seraient pas applicables ou ne donneraient pas tous les avantages possibles.
Ce que nous venons de dire à propos des projections zénithales, nous aurons occasion de le répéter plus loin pour un système quelconque de projection. Nous reviendrons alors sur les considérations qui doivent faire préférer l'emploi des projections zénithales qui se
CHAP. V. — PR0JBCTI0JSS ZÉNITHALES.
prêtent mieux que toutes les autres à la représentation de la surface entière du globe ou d'un hémisphère.
Ces projections conviennent aussi très-bien pour la construction des cartes particulières, à cause de cette importante propriété que les altérations d'angles, de distances ou de surfaces y sont respectivement égales à égale distance du centre, et peuvent en tout point s'évaluer avec facilité.
11 est facile d'y tenir compte de l'aplatissement delà terre lorsque l'on veut construire une carte géographique. 11 suffît, comme l'a indiqué Prony (1), de prendre pour rayon de la surface sphérique à représenter une moyenne géométrique entre les rayons de plus grande et de plus petite courbure de la surface ellipsoïdale au point choisi pour centre de la projection ; ce rayon aura donc pour valeur
= a(i - \e* - i e" ) (I + e'sin'X + eWX) + ....
en s' arrêtant aux termes en e k et appelant X la latitude du centrede la projection ;
r - a [i i e « + e'sin* a — J <? k — | sin'X + e> sin 4 X + e* ( )1.
ou, plus simplemement, en négligeant les termes en c*
R = ofl — + sin'X).
(1) Voir ci-dessas, ch. I, § 4.
