PROJECTIONS PAR DÉVELOPPEMENT ET LEURS MODIFICATIONS
t. Nous avons déjà dit que pour que la surface à représenter sur un plan ne subit aucune altération dans les angles et dans les surfaces, il faudrait qu'elle fût développable comme le sont les surfaces coniques et cylindriques. Il est donc naturel, lorsque la portion du sphéroïde à représenter est peu considérable, de l'assimiler à une portion de surface de révolution développable se confondant sensiblement avec elle, de supposer tracés sur la seconde les méridiens çt les parallèles suivant une loi qui donnera la plus grande analogie possible aux éléments des deux surfaces et de la développer ensuite sur un plan.
Les projections dont nous allons nous occuper portent le nom de projections coniques ou de projections cylindriques suivant qu'elles résultent du développement d'un cône ou de celui d'un cyhndre.
P10JICTI0HS COHIQUrS.
Imaginons un cône tangent au globe suivant le parallèle qui occupe le milieu de l'espace à représenter, et supposons prolongés jusqu'à ce cône les plans des méridiens et des parallèles ; ce tronc de cône, qui diffère d'autant moins de la portion correspondante du globe que la zone à reproduire sera moins étendue en latitude, se trouvera divisé en quadrilatères mixtilignes représentant les quadrilatères curvilignes du sphéroïde et que l'on pourra regarder comme leurs équivalents. 11 est bien évident que si nous développons ensuite ce cône tronqué en faisant coïncider l'une de ses génératrices avec une droite destinée à représenter le méridien correspondant de la carte, les parallèles seront représentés par des arcs de circonférences concentriques, et les méridiens par des droites partant toutes
114 i» PARTIE. — THÊOEIE DES PROJECTIORS.
du centre commun qui est le sommet de la surface conique : le parallèle moyen gardera évidemment les longueurs de ses éléments, ce qui permettra de tracer chaque méridien en joignant le sommet aux points correspondants de ce parallèle.
Nous voyons que, 'par ce procédé, les quadrilatères sont rectangles comme sur la sphère, et que tous les détails situés sous la même latitude sont comparables, mais que des différences égales de latitudes sont représentées par des distances qui diminuent de plus en plus en allant du parallèle moyen vers le pôle et augmentent en se dirigeant de ce parallèle vers l'équateur. En outre, les différences de longitudes sont toutes plus grandes sur la surface conique que sur la .sphère, excepté sur le parallèle moyen dont les degrés conservent leur véritable grandeur.
Pour que les latitudes ne soient pas altérées, on a imaginé de porter, à partir de l'intersection du méridien du milieu et du parallèle moyen sur ce méridien (fig. 45), des longueurs Mb', Ma'... égales aux arcs AIR, Al A du méridien rectifié, de manière à espacer également les parallèles du cône comme ils le sont sur la surface de la sphère; puis de prendre les distances S6', Sa... pour rayons des projections des parallèles. Ces projections sont exprimées par des" arcs ponctués sur la lig. 2; il n'y a plus par ce moyen d'erreur en latitude, et les distances en longitude sont déjà moins grandes que précédemment, comme l'indique la comparaison des arcs pleins et des arcs ponctués sur la même figure.
Quoique ce que nous venons de dire suffise pour tracer la projection conique , nous allons, pour plus de précision , appliquer le calcul à la construction 1 .
Supposons d'abord la terre sphérique, soit a son rayon, X la latitude du parallèle moyen que nous voulons représenter en véritable grandeur, r = a cos a le rayon de ce parallèle, T la différence des longitudes des méridiens extrêmes de la carte, S l'angle au sommet du secteur développé.
L'arc mm est égal au développement de l'arc rT du parallèle moyen ; donc, dans la ligure 1 ,
itflCOsX ~~ arci/mi' *
Or comme les lignes SM sont égales dans les deux ligures, le rayon SM du parallèle moyen est égal à
SM = acotangX;
la figure S donnera donc
TTrtcotangX ~~ arc mm''
égalant les deux valeurs de arc mm' sur le cône et sur la projection, on arrive à
S = TsinX.
Ainsi l'on tracera un angle mSm' d'autant de degrés que le veut cette expression pour représenter l'angle total du développement; on prendra SM = a cotang X pour rayon du parallèle moyen de la projection, puis on portera de M vers n' etb' les longueurs développées en ligne droite du méridien MI\ c'est-à-dire des arcs de 1°, 5°, 10", etc., entre les limites des latitudes extrêmes. Si la carte doit
comprendre d degrés en latitude, ab sera égal à et chacune
"ad
des longueurs Ma', M6' à o - ; puis on décrira du centre S des arcs
qui figureront les parallèles de la carte. Les méridiens seront des droites partant du sommet S et passant par des points également distants pris sur mm'. En appelant fi l'angle de deux méridiens de la carte correspondant à l'angle t compté sur la sphère, on aura évidemment
- = -=sinX.
A la latitude / le rayon du parallèle sera égal à a [cotang X — (/ — X)] et l'arc correspondant à la longitude /, à
a*sinX[cotaugX — (/ — X)].
L'erreur commise sur chaque degré de parallèle pourra donc s'exprimer par
«sinX [cotang X — (/ — X)] — ucosX .
ou par
ail— XjsinX
Lorsque le centre commun S tombe en dehors des limites de la feuille, on construit les parallèles par points en les rapportant à deux axes de coordonnées rectangulaires , le méridien moyen et la tangente au parallèle moyen.
En appelant p le rayon de chaque parallèle, on pourra écrire
p = a cotang X — a[l — X) # = p sinO = p sin (/ sinX) y = a cotang X — p cos {t sin X).
Quand on aura calculé ainsi le9 coordonnées d'autant de points que l'on voudra d'un même parallèle et celles du parallèle moyen pour lequel il sufiira de faire dans les formules précédentes l — X, on tracera les méridiens en joignant par des droites les points de même longitude ; les autres parallèles s'obtiendront en portant sur ces méridiens, au-dessus et au-dessous du parallèle moyen, les longueurs des arcs de latitude.
Il est facile, dans la projection conique , de tenir compte de la forme sphéroïdale de la terre. Le rayon du parallèle moyen développé doit d'abord être modifié parla substitution de la grande normale au rayon de la terre, de sorte qu'en appelant a le rayon de l'équateur terrestre, le rayon de la projection du parallèle moyen dont 1 est la latitude, sera
a cotang X (1-e 1 sin'X)*
Pour avoir ensuite les rayons des autres parallèles, on portera sur le méridien les longueurs des degrés de latitude telles qu'elles ont
été calculées dans la table en prenant ^ ^ po\ir valeur de l'aplatissement.
L'angle 0 de deux méridiens dont les longitudes diffèrent de t, sera exprimé par
/ sin X 8 = 7.
(1 — e*sin«X)«
Les coordonnées se calculent comme dans l'hypothèse de la terre sphérique.
Les avantages de la projection conique sont de rendre les erreurs inhérentes à tout canevas, indépendantes de la longitude, de permettre de comparer entre eux les éléments situés sous la même latitude, et de conserver les angles des méridiens et des parallèles; les principaux défauts sont de ne conserver ni les angles ni les surfaces et de ne donner les dislance* avec exactitude que dans le sens
des méridiens, les parallèles situés tant au-dessus qu'au-dessous du parallèle moyen excèdent ceux qui leur correspondent sur le globe, de sorte que cette projection est tout à fait impropre à représenter des pays étendus en latitude.
3. On attribue l'invention de la projection conique à Claude JVo- Umie d'Alexandrie (150 ans après J.-C.), qui dans le XXIV e chapitre du premier livre de sa Géographie, donne deux méthodes pour représenter le monde connu de son temps; dans la première le célèbre géographe, après avoir montré la possibilité de voir les méridiens projetés en ligne droite, remarque que, comme il est impossible de conserver sur la carte le rapport exact des degrés de tous les parallèles, il suflit de conserver ce rapport pour le parallèle extrême nord passant par Thulée, et, pour l'équateur, de développer le parallèle de Rhodes (sur lequel avaient été laites le plus de recherches relatives aux degrés des parallèles) de façon que ses degrés conservent leur rapport véritable avec les degrés de méridien. Assignant 63° à la latitude de Thulée, et oHi" à celle de Rhodes, Ptolémée prend pour rayon de ce dernier parallèle (fig. 40) (iiv = 79 m (m désignant la longueur d'un degré de méridien), nombre qui dill'ère très-peu de la cotangçnte du parallèle de 30° dont la valeur est 78.87 m ; remarquons toutefois que rien, dans l'ouvrage de Ptolémée, ne semble indiquer que l'auteur ait eu en vue le développement d'un cùne tangent à la terre ; c'est plutôt par tâtonnements que par un calcul rigoureux qu'il a dû arriver à ce résultat. Quoi qu'il en soit, le rayon GS de l'équateur est pris égal à 79 m -f 36 m ou 115 m et le rayon GP du parallèle de Thulée à 115 m — 03 m ou 52 m ; remarquant ensuite que les degrés du parallèle de Rhodes sont à ceux de l'équateur
dans le rapport cos ^ 3( * ou environ J- , Ptolémée porte sur ce parallèle
à droite et à gauche du méridien du milieu 18 arcs de grand cercle de 4° (soit h m) représentant chacun 5° de ce parallèle, et trace les méridiens en joignant ces points au centre commun G. Les arcs QPO, TSR sont ainsi dans le rapport de PG à SG, soit ~ it rapport qui diffère très-peu du véritable cos = ^j" 1 qui existe entre les degrés
du parallèle de Thulée et ceux de l'équateur, mais ils sont trop grands comparés à 11RL. Connue Ptolémée (.tendait le monde connu à 10° 1/2 au sud de l'équateur, il trace à cette latitude Vantiparallèle de Méroë, lieu situé ti 10* 1/2 au nord de l'équateur; il divise
178 i" PARTIE. — TIII-OIUE DES PROJECT IONS.
cet arc comme celui qui passe par Méroë et trace les méridiens en lignes droites joignant ces points à ceux de l'équateur. Cette projection n'est, comme on le voit, qu'une altération grossière de la projection conique ; aussi Ptolémée lui préfère une autre méthode dont nous parlerons plus loin.
4. Nous avons dit que la projection conique ne pouvait convenir que pour représenter des pays peu étendus en latitude. J!n supposant que l'arc Ali de latitude (iig. A7) soit très-petit, il n'y aurait pas d'inconvénient à prendre sa corde pour le côté du cône tronqué à développer. Dans ce cas les rasons des parallèles extrêmes seraient respect'nement AO et MO, et la carte aurait une exactitude rigoureuse sur ces parallèles, mais ceux qui seraient intermédiaires pécheraient par défaut.
L'angle 0 ayant pour mesure i arc supplément de AB — £ arc HP / 4- /
ou " 7 7 b (en appelant /„ et h les latitudes extrêmes), le triangle rectangle AOa donne
. rt cos /„
sin;(/ a -K)
De même
nn cos/ fc uu = p t =u . — — -.
sinj (/. + /»)
Mentionnons ici la mappemonde de Jean Ruysch publiée à Itome en 150S, et projetée en développement du côue ayant son sommet au pôle arctique, coupant la sphère à l'équaleur et se terminant sur le plan prolongé du parallèle de 38° de latitude australe (1).
Gérard Mercator, le célèbre inunleur des cartes réduites, proposa le premier de remplacer, pour les cartes particulières, le cône tangent à la sphère par un cône sécant, traversant le globe sur deux parallèles symétriquement choisis de manière à balancer dans de justes proportions le rétrécissement et la dilatation des surfaces représentées dans le milieu et sur les bords de la carte. C'est sur ce principe que fut dressée la projection de la grande carte d'Europe tracée par Mcrcator en i554; la convergence des méridiens y est déterminée par le rapport mutuel des parallèles de 40" et de 00" de latitude dout les degrés conservent leur véritable rapport avec les
(11 Elle est repioiuttr tout eiiftOre n l'échelle de 2/5 dnusVAUai du moyen ô'je de Leleweu, Bruxelles, 18 j7, in-8, planche XLIV.
degrés de méridiens tous égaux entre eux. 11 y a alors contraction dans la zone intermédiaire et expansion dans les deux zones extrêmes.
5. Le procédé de Mercator fut adopté deux siècles après par l'astronome français Joseph-Nicolas de Vhle pour la construction de la grande carte de la Russie publiée en 1745. Cette carte comprenant depuis le 40' degré de latitude nord jusqu'au 70% le parallèle moyen répondait à 55° et les parallèles communs au cône et à la sphère étaient ceux de 47° 30' et de 02" 30' ; les méridiens étaient divisés en degrés égaux.
Le célèbre mathématicien Euler a étudié cette projection (1), et, après en ayoir exposé les principes, a déterminé le cône qui satisfait aux deux conditions suivantes :
1° que les erreurs soient égales aux extrémités méridionale et septentrionale de la carte ;
2° qu'elles soient aussi égales à la plus grande de celles qui ont lieu vers le parallèle moyen.
Nous reproduisons ici ce travail qui, quoique appliqué à la carte de Russie, pourra servir de type pour les cartes des pays très-étendus en latitude.
Soit (fig. 48) /, la moindre latitude du pays à représenter, /„ la plus grande; AB la portion du méridien du milieu comprise entre ces deux latitudes extrêmes. Désignons par S b grandeur de 1° de méridien ; soient P et Q les intersections du méridien central avec les parallèles dont les degrés doivent conserver sur la carte leur véritable rapport avec ceux de latitude, et /, les latitudes de ces deux parallèles, sur chacun d'eux un degré de longitude a respectivement pour valeur
Scos/,, et Scos/,.
Portons ces valeurs de 1°, Vp et Qq sur deux droites perpendiculaires à AB et que nous considérerons comme des arcs élémentaires de parallèles, et joignons pq ; cette droite représentera le méridien éloigné de 1° en longitude du méridien central AB, et le point d'intersection 0 sera le point de concours de tous les méridiens et le centre de tous les parallèles.
(1) De projectione geographica de ihliaua in tnnppa gênerait Im f t r ii Russici usitata, dans le» Acta Academiœ teieniiarum imperialis Petropolitancr jnv anno MDCCLXW 11, Saiut-Petersbourg, 1778, Jn-4, p. 143 a 153.
Cherchons d'abord la distance de ce centre 0 à l'équateur. Nous aurons de suite
Pp—Qp Vp S cos l p — cos l q ) 8cos/ p
IV ~ PÔ ' 011 l r ^T q -~pc^ ,
d'où
pQ = C0S/ "^~ / ^
cos l f — cos /,*
Ce centre une fois déterminé, on décrira avec OP une circonférence sur laquelle on portera des longueurs égales o cos l„ ; les droites qui joindront les points de division au centre Oseront les méridiens distants de 1° de longitude ; en portant ensuite sur le méridien du milieu les degrés égaux de latitude, et, faisant passer des circonférences concentriques par chacun des points de division, on aura les parallèles.
Cherchons les erreurs qui résultent de cette construction sur les parallèles extrêmes de A et de B. D'abord l'angle w = PO/; qui représente un degré de la sphère s'obtiendra par l'égalité
P» û(cos/„ — cos/„)
Pu
qui devient
cos / — cos L
en supposant o=l°, et convenant d'exprimer le dénominateur l p — J v , non en degr's, mais en parties du rayon, ce qui revient à prendre y. = 0,01 7.45321) pour valeur de 1° sur une circonférence de rayon égal à l'unité.
Appelon - encore z la distance en drgrés du centre 0 au pôle. La distance du point Pau pôle étant exprimée par 00' — /,,, celle de ce même point au p:>int 0 le sera par 90° - / p -f ; dont la valeur en parnVs du ravon sera
0 j pf-uira donc écrire
cos/ — cos/,
d'où
z== L l -Jp r :™i. 00 i /.
cos/,, — cos/, ' p '
La distance du parallèle extrême de A au point 0 sera
et, en parties du ravon
,\0 = «(9<r— /.+ s); en multipliant AO par o> on aura la valeur du degré sur ce parallèle
A + s)(cob/,-cos/«)
au lieu de o cos l a ; la différence de ces deux valeurs donne donc l'erreur sur le parallèle de A. En B cette erreur est la différence entre
S(90--;, + ; )(cos/,-cos/,) et (cMlt
Si nous cherchons, comme l'a fait Euler, à déterminer les parallèles de P et Q de manière à rendre les erreurs en A et B égales entre elles, il faut poser
(<*>•- l+:)(^,-cos<,) -«*/.= (QO--W(oof,-cos/,) - cos/.
OU
('« — '*) (cos l t — cos /,) -j- (/, — /,) (cos /„ — cos /») = 0.
Nous pouvons représenter 1° sur les parallèles de A et de B respectivement par
«(90'— / a +s)u> et <x(90 n — / 6 -fz)to; on obtiendra alors
a(90* — /, + z)w — cos/ a = «(90*— U + e)o> — cos /»,
— J»)» = cos /„ — cos h,
d'où enfin
cos/„ — cos/ 6
valeur qui devra s'exprimer en minutes et secondes.
Égalons de plus ces deux erreurs à la plus grande de celles qui peuvent avoir lieu entre A et B, en supposant d'abord que cette erreur maximum ait Lieu sur le milieu \ de AB ; la latitude de X étant J 4- 1
- g * , l'erreur y sera égale à
182 !*• PARTIE. — TnÊORlE DES PROJECTIONS.
car elle est évidemment de signe contraire aux erreurs de A et B. INous aurons, en exprimant la condition énoncée,
ct(90° — /„ + 5> - COS /„ = COS îïil' — a ^90*— - z\
a ;90o i b + z ) t0 cos f b — cos l -^±l b - a (d0°— — w .
. , cos r — cos/ ft .. .
Remplaçons w par sa valeur g ^ ^ ; il vient
égalité qui se réduit à
d'où l'on tire enfin z.
Appliquons ces calculs au cas de la carte de Russie
On calcule d'abord o>
cos 40* - cos 70" 0,4840243 U> ~" 30* 0,5235987 ~" * '
L'équation
( 180*— * l à — \ r /» +fc:)au>= cos /„ -f-cos
donne
(85° + 2c)*u> = cos 40° -f cos 55° = 4 ,33962, or au = 0,0141 ; donc
^ïïS- 85 *^ 0 "* d ' oi, ^ 5 '-
Nous avons supposé que la plus grande erreur était au milieu de AB; cherchons quel est en réalité le point où l'erreur est maximum; soit x sa latitude; l'erreur y sera
o(90 n — x + s)w — cos x \
en égalant sa différentielle à zéro, nous obtenons
CHAP. VI. — PROJECTlO.NS l'Ail DÉVELOPPEMENT. 187»
— auidx -j- adx sin x = 0,
d'où
sin x — « = 0,8098270,
et enfin
latitude qui définit un lieu peu éloigné du milieu do \B, dont la latitude est 55°.
En égalent Terreur en .t à l'erreur en A et B, on obtient
a(i80°— / 0 — x -f 2:)u> = cos/ a + cosx,
cos/ -1-cos.r 85-55'+ 2z= =95-56'.
au)
Donc
On peut donc prendre sans erreur appréciable s = 5°. L'erreur en A et en B est alors exprimée par
ottofOO» — /,-{-2)— cos/ a = 55i(o— 0,7000U1 =0,00946.
Ainsi le degré du parallèle de A (40' de latitude) sera exprimé par 0,77550 au lieu de 0,700*04, Videur du degré correspondant sur la sphère; ce degré est donc trop grand de environ du degré du méridien ou de ^ du degré réel du parallèle de 40°. On trouve de même que le degré du parallèle de 70% en B, est trop grand de de sa valeur réelle qui est 0.34202.
Cette erreur, dit Euler, est parfaitement acceptable à cette latitude de 70°, et ainsi la position du centre des parallèles à 5° du pôle convient très-bien pour la carte de la Russie. Il ne faut pas oublier que les méridiens distants sur la sphère de 1* sont représentés par des droites faisant entre elles des angles de 48' 44".
Euler remarque encore que le grand cercle de la sphère le plus altéré dans cette projection est l'équateur dont chaque degré est égal à 1,33950, en prenant le degré de latitude pour unité; mais comme il ne figure pas dans la carte, cette erreur nuit peu à la projection.
Si du point F (fig. 49) représentant le méridien central, et situé par conséquent sur l'équateur à une distance FE du point E représentant 90° de la sphère , on abaisse FG perpendiculaire sur OE, cette droite représentera l'un des grands cercles perpendiculaires au
méridien OK ; sa longueur différera peu de sa longueur réelle 90% car l'angle EOF étant égal à 72° 53' et OF = OE à 95% on a
FG = 9ri sin 72" :i.T — 90 B ,7U22i .
Il en résulte que, dans cette projection, on peut obtenir les distances entre deux points sans commettre une grande erreur en mesurant à l'échelle des latitudes la droite qui les unit.
La projection n 8 \\\1 a été dressée dans ce système.
«. Le savant anglais Patrice Murdoch a posé, en 1758, les principes d'une projection conique égale, dan* son ensemble seulement, à la zone sphériquo correspondante et ayant avec elle deux parallèles communs (1).
Soient (fig. 50) ï a , l„ les latitudes des parallèles extrêmes Aa, B6 qui limitent la zone à représenter ; M le milieu de AB, sa latitude sera
— ; a le rayon de la sphère exprimé en degrés, le degré étant
pris pour unité.
Pour satisfaire aux conditions du problème, il faut, eu supposant que PN et PO soient les rayons des parallèles extrêmes de la carte, que la droite ON soit égale a l'arc AB, et que la surface engendrée par la révolution de ON autour de. l'axe pC soit égale k 2ita (6a).
Cette-droite ON doit évidemment couper le quadrant PME en deux points yj et Ç également distants du point M.
Appelons o les angles égaux r.CM, ÇCM ; on devra avoir
%TiKk arc AB = 2ra (ah).
Or les triangles semblables Kck , MFC donnent
FC = MC ; d0nC = — ™*> et, en substituant,
cos 4^ cos * = sin - sin t = 2 sin cos ft±^;
(1) Philosophicnl Trnwlirm» ; vol. L, part. //, for the yenr 1 758, Londres, 1759, in-i, p. 5f,3, ;i : of the hnt form of geographical Maps, by the Rev. Patrick Mor- »och, M. A. F. R. S; rend Joli. 9. 1758.
d'où
sm —
On calculera facilement o et par suite la distance du milieu K du méridien de la carte aux deux parallèles communs à la sphère et au cône.
Cherchons maintenant le rayon Kp = R du parallèle du milieu:
Kp KG „ /„ + /, cos 5
CF = MF* ° U ^ = acos g
sin — - —
donc
R = a cotang cos 5.
Il ne reste plus qu'à tracer les méridiens par le simple développement du cône. Si nous appelons T la différence des longitudes des méridiens extrêmes du pays à représenter, S l'angle correspondant du développement, on devra avoir
TK/; = S.K/>ï
en remplaçant M par acos^y- 6 cosoet Kp par a cotang -^Tpcos S, il vient
S = Tsin^l±i\
Murdoch, pour tracer les parallèles intermédiaires, divisait la droite ON en parties égales, de sorte que le rayon d'un parallèle quelconque était égal à
Cette méthode, contraire aux conditions du problème posé par Murdoch, était tout arbitraire, mai3 avait l'avantage de diminuer un peu les défauts de la carte : c'est Tobias Mayer (1) qui, en repre-
(I) J. T. Mayer, Anweisung zur Wer:eichnung der Chatim, cap III, 1794 Erlangen, réédité en 1804, 1815, 1827.
nant le problème de Murdoch, a rempli la condition de conserver les deux parallèles 71 et Ç en leur donnant pour rayons
= pK — Ktj et pl = pK -f KÇ,
et comme Kt, = Rw = a sin o, on aura
p»j = R — asin8 = a
sin
