CK = -Î
tang 57,2957. . . tang
La condition de conservation de la surface totale donne les autres éléments.
La rayon moyen
... a —x— cotang — —
pK = R = CK cotang — ^ = -r—j .
57,2957. . . tang -^£-=
Les distances égales
a 57,2957. . . sin tang
Les autres parallèles s'obtiennent en partageant les méridiens en parties égales.
Ce troisième système étant, sous tous les rapports, inférieur aux deux premiers, nous ne nous y arrêterons pas.
9. Lambert (1) est le premier qui ait indiqué un développement conique jouissant de la propriété de conserver les angles, excepté au sommet où les 360° ayant sur la sphère le pôle pour centre, sont évidemment représentés par un angle variable suivant les conditions du problème. Nous avons exposé avec détail aux §§ h et 8 du chapitre des projections sans déformation, la méthode employée par ce savant géomètre, ainsi que les résultats auxquels il est parvenu ; nous avons dit aussi que l'illustre Gauss, cinquante ans après Lambert, a obtenu les mêmes résultats comme application de sa formule générale des projections conservant la similitude des représentations.
Eu appelant p lu rayon d'un parallèle quelconque, z sa colatitude 90» — /, nous avons établi la formule
= K ( tan & |)
dans laquelle a indique le rapport entre l'angle de deux méridiens quelconques de la projection et l'angle correspondant sur la sphère, et K une longueur constante que nous avons prise égale à { r.a.
Cherchons l'angle au sommet 2* du cône sécant à la sphère dont le développement doit donner le canevas de la carte. L'angle au cen-
(!) k'/itu-erfung d?r Chavtcn, ?çct, IV, p. 135.
1" PARTIE. — TÎ1ÉORIH DES PROJECTIONS.
tre du secteur développé étant égal à X. 360°, l'égalité de deux arcs correspondants quelconques du cône et de ce secteur donnera
2npsina= — pX.360,
sin i = X.
Le rapport d'agrandissement des arcs élémentaires est exprimé par
a sin z
et celui des surfaces élémentaires est le carré de m.
Nous avons vu comment on peut, dans la projection conique orthomorphe de Lambert, tenir compte de l'aplatissement de la terre.
Pour les cartes particulières la valeur de )> se détermine le plus souvent par la connaissance des colatitudes r, et z x des parallèles dont les degrés doivent conserver leur véritable rapport avec ceux de latitude et qui sont , par conséquent , communs à la sphère et au cône,
log sin z, — lo|Tsinc r ,
log tang — log tang ^
Sir John llenchel (1), en traitant un cas particulier du problème de fiauss, a donné trois applications de la même formule pour les cas de ). = j [, X = I* À. = £ ; la première représente la surface totale du globe dans un secteur circulaire de 240% la seconde dans un demicercle et la troisième dans un secteur de 120°.
10. Le docteur II. G. Albers de Lunebourg, après avoir étudié les trois projections de Murdoch (2) et en avoir montré les défauts, détermina une projection conique possédant la propriété de conserver les surfaces élémentaires aussi bien que la surface totale. Nous en avons déjà parlé (3) en traitant des projections équivalentes. Rappelons en quelques mots le principe de sa construction.
(1) Koircbap. H, § 11, note 3.
(2) Ueber Murdoch's drey Kegelprojcctionen von H. C. Albers, inséré dans la Afonatltcte Correspondent de Zach, février 1806, p. 87 à 114, et mars, p. 240 à 2ô0.
(3) Voir ebap. 111, § 16.
Soient i, et l t les latitudes de deux parallèles qui doivent être communs au cône et à la sphère.
On calculera d'abord l'expression
K-— i— sin-^-^cos J__
puis les rayons des deux parallèles ?, et ï t par les formules
P^aKcos/,; p s = oKcos/,.
Le rayon d'un parallèle quelconque de latitude / aura pour expression
Les méridiens s'obtiennent à la manière ordinaire par le simple développement du cône ; les angles de ces méridiens entre eux sont réduits dans le rapport de 1 à K.
fi. Umbert a indiqué aussi (1) tonte une famille de projections coniques jouissant de la propriété de conserver les surfaces ; c'est ce que nous avons appelé les projections isosphériques sténotères de Lambert. Leur formule générale est
dans laquelle z désigne la colatitude de chaque parallèle, p le rayon de sa projection et m un coefficient constant tel que les angles des méridiens de la carte sont dans le rapport de 1 à m avec ceux de la sphère. 11 en résulte que, si l'on appelle 2x l'angle au sommet du cône supposé tangent à la sphère, on doit avoir
— = su» .a.
Ces projections sont remarquables par la facilité avec laquelle on construit graphiquement la valeur de chaque rayon p, le facteur
2a sin ~ représentant la corde de l'arc de méridien qui joint, sur la
sphère, le pôle au parallèle de colatitude z. La valeur de m se déter-
(1) Voir cbap. III, $S 13 et 16.
mine par la connaissance de la colatitude s 0 (lu parallèle dont les degrés devront sur la carte conserver leur rapport exact avec ceux de latitude, car on doit avoir
