CO S

Nous ne nous arrêterons pas davantage sur ce sujet que nous avons déjà traité.

PKOJECTIOilS CONQUES MODIFIÉES.

f «. Dans les projections coniques que nous venons d'examiner, les méridiens sont tous des génératrices du cùne déterminées par les plans méridiens prolongés et les parallèles des cercles concentriques dont récartement dépend des propriétés secondaires que l'on peut donner à la projection. Leur principal avantage consiste dans la simplicité de leur construction qui n'exige que l'emploi de la règle et du compas, et dans leur propriété de conserver l'angle des méridiens et des parallèles; mais leurs défauts les plus importants sont d'altérer beaucoup les distances prises dans le sens des parallèles et de changer le signe des erreurs de chaque côté des deux parallèles communs à la sphère et au cône. On doit donc reconnaître avec Malte-Brun que c, quelque ingénieuses que soient les modifications par lesquelles « on a essayé de perfectionner la projection conique, elles aboutis- « sent toutes à faire perdre à cette projection sa simplicité et sa faci- « lité primitive sans obtenir complètement les autres avantages que « l'on voudrait lui donner (1). » Les géographes ont donc cherché, pour leurs cartes spéciales, des projections plus commodes et qui ne se rapportent que très-indirectement au développement d'une figure régulière quelconque.

13. La première de ces modifications a été imaginée par Plolèmée (150 ans environ ap. J.-C), qui en expose les principes dans le chap. 24 de sa Géographie (1 er livre), après avoir indiqué la projection conique dont nous avons déjà parlé au § 3.

Pour représenter le monde connu de son temps, Ptolémée remarque d'abord que le parallèle de Syène, dont la latitude est 23° ôO'IS , occupe à peu près le milieu de l'espace à construire limité par le parallèle de

(1) Précitdeh géographie univn .id/c, par Mai.tk-Urin, Pari* 1810, t. Il, p. lii.

Thulé (63" N.) et par Y antiparallèle de Meroë, (16° 3' S. ) Il suppose alors l'œil du spectateur dans le prolongement du rayon qui passe par le parallèle de Syène : « l'équateur et les parallèles, inclinés de 23° 50' « sur ce rayon, deviennent les bases circulaires d'autant de cônes « obliques ayant tous l'œil pour sommet, et paraissent comme des « arcs de cercle parallèles ayant leur partie convexe tournée vers le « sud, tandis que les méridiens situés des deux côtés du méridien « moyen sont vus comme des arcs dont la concavité est tournée « vers le méridien moyen et qui deviennent de plus en plus con- « caves à mesure qu'ils s'en éloignent. » Mais au lieu de développer ces principes conformément à la perspective, Ptolémée détermine les lignes de sa projection d'après des proportions arbitraires, combinées de manière à conserver autant que possible la configuration des pays.

Après avoir choisi (fig. 52) une longueur arbitraire égale à l'unité pour représenter le degré de grand cercle de la sphère, il décrit une circonférence d'un rayon égal à 90 degrés, de manière que le diamètre vertical représente le développement du demi-méridien central, et porte EZ = (23° 50 r ); Z est ainsi au point de l'équateur dont le centre sera à l'intersection du diamètre vertical et de la perpendiculaire élevée sur le milieu de la corde BZ. Il est facile de calculer la distance HZ, rayon cherché de l'équateur,

ZB 4 EZ ZH = T'sînl*Z' Ct tan g EBZ = - = = tangr^9'56",3,

d'où

l ~ Ï^V^rWJ) sin(l V,40',5C",3) ~~ sin(2<r\39',5i",6) ~~ (,81 ° 50 8I) *

Ptolémé, par les régies de l'ancienne trigonométrie, trouve ZII = 181° 50' et prend cette valeur pour rayon de l'équateur. Pour espacer également les autres parallèles il prend pour rayon de ces divers cercles 181° 50' augmentés de la latitude australe ou diminués de la latitude boréale.

Ptolémée trace alors (fig. 53) le rectangle ABCD dont la longueur 150° égale le double de la hauteur 90°, et le divise en deux parties égales par la perpendiculaire EK. Il porte d'abord 10° 3' de K en Z, puis 181° 50' de Z en H pour déterminer le centre commun H. Si l'on prend ensuite ZF = 23" 50' et ZM = 63°, les cercles passant par H, Z, F, M seront l' an ti parallèle de Merot'i, l'équateur, le parallèle de

Syènc et celui de Thulé. On porte ensuite sur ces quatre arcs de cercle les longueurs de leurs degrés qui sont cos (16° 3'), 1, cos (23 e 50') et cos 63° ; on obtient les méridiens en faisant passer des courbes mécaniques par les quatre points correspondants de ces arcs de cercle.

Ptolémée recommande cette construction comme plus exacte que la première qu'il donne dans le même chapitre et que nous avons exposée au paragraphe 3, parce que l'équateur et trois parallèles conservent leurs véritables degrés de longitude tandis que les autres sont très-peu altérés; ainsi sur le parallèle de Rhodes le rapport des degrés à ceux de l'équateur se trouve être de | , valeur qui, sans erreur appréciable, peut être considérée comme égale au cosinus de Rhodes, 0,80901.

Si nous nous sommes étendu aussi longuement sur cette seconde projection de Ptolémée depuis longtemps abandonnée, c'est pour rectifier quelques erreurs des géographes modernes dont quelques-uns ont cru voir dans les deux projections de Ptolémée l'idée et jusqu'aux principes de la projection stéréographique, antérieure de trois cents ans, et dont d'autres ont attribué au géographe alexandrin le mérite de l'invention de la projection connue aujourd'hui sous le nom de projection de Bonne ou de la carte de France. Il suffit de remarquer, pour répondre à ces derniers, que la seconde projection de Ptolémée n'est pas le développement du cône tangent au parallèle de Syène, puisque le rayon de ce parallèle est égal a 158 degrés au lieu de 129,69, valeur de la cotangente de 23° 50'; le cône ayant son sommet au point pris pour centre commun des parallèles serait tangent à la sphère le long du parallèle de \9° 20' environ, latitude qui s'éloigne trop de celle de Syène pour que la différence puisse être attribuée à une erreur de calcul. 11 faut donc reconnaître que Ptolémée n'avait pas l'idée d'un cône tangent à la terre le long du parallèle moyen, et que sa construction est tout arbitraire.

f 4. Cette projection demeura oubliée pendant des siècles, jusqu'à la renaissance où Bernard de Sylva, d'Éboli, en publiant à Venise, en 1511, une nouvelle édition de la géographie de Ptolémée, en agrandit le cadre pour y faire entier les terres nouvellement découvertes (1). Elle commença dès lors à se transformer entre les mains des géographes tels que Apianus {Pierre Benewitz, 1520), Oroncc

(1) Voir Leutwel, Atlas de 1« géographie du moyen Age, pl. XLV.

Fine (1532), Guillaume le Tettu (1566) (1), qui remplacèrent la construction arbitraire de Ptolémée par le développement du cône tangent le long du parallèle moyen et conservèrent les véritables grandeurs des degrés de chaque parallèle, de manière à déterminer chaque méridien par une série de points correspondants.

Cette nouvelle projection est généralement connue sous le nom de projection de Bonne, du nom du géographe français qui, en 1752, en lit le premier ressortir tous les avantages dont les principaux sont :

1" que le méridien du milieu représenté par une droite coupe tous les parallèles à angle droit ;

2° que le parallèle moyen, qui a pour rayon la cotangente de sa latitude, coupe tous les méridiens à angle droit î

3° que les trapèzes de la surface sphérique sont représentés par des trapèzes curvilignes dont les côtés parallèles sont respectivement égaux en longueurs aux côtés qui leur correspondent sur la sphère ; et comme les hauteurs de ces trapèzes sont aussi partout égales, il en est de même de leurs surfaces ; mais à mesure qu'on s'éloigne du méridien central, ils s'allongent dans le sens de l'une de leurs diagonales et se rétrécissent dans le sens de l'autre.

C'est là le principal défaut de ce développement et ce qui le rend impropre à représenter non-seulement un hémisphère entier, mais encore une étendue considérable de pays.

Au lieu de déterminer les intersections des méridiens et des parallèles par la construction directe, on les construit en réalité à l'aide de leurs coordonnées rapportées à deux axes rectangulaires, qui sont le méridien central et la tangente au parallèle moyen.

Appelons p, (fig. 54) le rayon du parallèle moyen de latitude J, ; nous aurons d'abord

OAi = p, = acotang/,.

Désignons par S la longueur de l'arc A, A compris entre le parai* lèle moyen C^B, et le parallèle CAB du point cherché M; 8 sera

la différence des latitudes de ces deux parallèles, l t -f- ? sera donc la

latitude du point M. On aura

MA = pO = ^cos(/ 1 + ^,

(I) Voir au dépôt géographique des affaires étrangères la carte manuscrite de Guillaume le Testu, qui donne le développement des deux hémisphères nord et sud, projetés en regard l'un sou* l'autre, chacun sur le parallèle moyen respecUf de 1 b:

i9ti 1" PARTIE. — THÉORIE DBS PROJECTIONS.

P = p, -— 8 = a cotang /, — 8, x — MQ = p sin 6, y = MP = p, — p cos e = a cotang /, — p cos

11 est facile de tenir compte, dans ces calculs, de la forme sphéroïdale de la terre ; il faut pour cela multiplier cotang / t par la grande normale N, et remplacer l'arc sphérique ô par l'arc elliptique S. On aura alors

N, = - ; ; Pi = N, cotang /, ,

(4— c« sin'/,)*

p = Nj cotang /i — S j 6 =

en ayant soin de remplacer, dans la valeur de 6, - par le nombre de

degrés qui exprime la différence des latitudes du parallèle considéré et du parallèle moyen. Les coordonnées se calculent ensuite par les formules

x = psin6j y — ^ l — p cosO.

Cette projection, très-employée depuis Bonne par de Clsle, d' Anville et d'autres géographes pour les cartes générales telles que celles des quatre parties du monde, a été adoptée dès 1803 par le Dépôt de la guerre, comme répondant le mieux aux besoins des divers services publics, et notamment pour la construction de lajgrande carte de France levée par les officiers d'état-major. Gomme elle est presque universellement employée aujourd'hui pour les cartes topographiques détaillées basées sur un levé trigonométrique, nous y reviendrons longuement, ainsi que nous l'avons déjà annoncé au chapitre des projections équivalentes, et nous étudierons alors les altérations d'angles et de longueurs ainsi que des détails de construction.

La projection n° XVII représente un hémisphère entier développé sur le parallèle moyen de 45°; quoique la projection de Bonne ne doive jamais être employée pour des différences de latitudes el de longitudes aussi considérables, nous donnons cette application parce qu'elle montre bien les avantages aux environs du méridien central et du parallèle moyen, et les défauts à mesure qu'on s'en éloigne.

15. Si l'on prend pour parallèle central du développement l'équateur lui-même, le sommet du cône s'éloigne à l'infini et les parallèles sont alors représentés par des droites parallèles, espacées et divisées

comme le sont les parallèles du globe. Il résulte de cette construction, dont la projection, figure n° XVIII, offre l'application à la représentation de la surface terrestre entière, que, dans le sens des parallèles, la carte a partout des dimensions égales à celles du globe, et que les surfaces sont aussi partout conservées (1), comme dans la projection précédente dont celle-ci n'est qu'un cas particulier; mais la déformation y est plus considérable encore à cause de l'obliquité qu'y prennent les méridiens dès qu'on s'éloigne du méridien central et de l'équateur; de même aussi les distances ne peuvent être rigoureusement mesurées que sur les méridiens et les parallèles, et sont trèsaltérées dans le sens des diagonales de chaque trapèze ; ce système ne peut donc convenir que pour représenter des pays peu étendus en latitude et traversés par l'équateur; c'est celui que l'on adopte généralement pour les cartes d'Afrique.

Les formules de la projection précédente deviennent, en prenant pour axes des coordonnées l'équateur et le méridien principal,

I = 36Ô aCOS ' = KCO V

L'équation m - \ tort celle d'unesinusoîde, nous adopterons avec

M. d'Avezac, pour désigner cette projection, le nom de sinusoïdale qui, en rappelant la nature des courbes méridiennes, en indique de suite la forme.

11 est très-facile d'y tenir compte de l'aplatissement de la terre, en ne divisant plus le méridien du milieu en parties égales, mais en prenant ces parties de mêmes longueurs croissantes vers le pôle que les arcs de 1° du méridien elliptique. En outre, on portera sur chaque parallèle les longueurs correspondantes des arcs de longitude calculées dans la table I ; l'ordonnée x sera donnée par la formule

en continuant de désigner par N la grande normale

(1 — c' sin' /)'

(1) Koirchap. III, §6,

Cette projection a été imaginée par Nicolas Sanson d'Abbeville qui, en 1650, publia les cartes de l'Europe, de l'Asie, de l'Afrique et des deux Amériques, dans ce système de représentation (1).

Cinquante ans plus tard, l'astronome anglais Jean Flamsteed employa cette projection devenue usuelle en France pour la rédaction de son atlas céleste publié seulement en 1729 ; c'est donc contre toute justice qu'elle est vulgairement désignée sous le nom de cet astronome.

!•. Au lieu de porter à l'infini le sommet du cône tangent à la sphère dans la projection du Dépôt de la guerre, nous pouvons supposer que ce sommet se rapproche de la surface de la sphère jusqu'à se confondre avec le pôle ; le cône devient alors un plan tangent et les parallèles sont encore représentés par des arcs de cercle équidistants ayant tous le pôle pour centre; si l'on porte sur chacun d'eux des longueurs égales à celles qui leur correspondent sur la sphère, la projection que l'on obtient a pour formules

et conserve, comme les deux précédentes, la propriété de représenter les surfaces en véritable grandeur ; elle est due à Jean Werner, de Nuremberg, qui, en 1514, à la suite d'une traduction avec commentaire du premier livre de la Géographie de Ptolemée, indique trois systèmes de représentation du monde entier avec des parallèles concentriques autour du pôle et équidistants ; dans le premier cas l'équateur est représenté par un cercle entier et divisé en 360° plus grands évidemment que les degrés de latitude, dans le rapport du quadrant au rayon (projection n° XIX) ; dans le second cas, dont nous venons de parler et qui seul conserve les surfaces, les degrés de l'équateur sont faits égaux aux degrés de latitude, ce qui réduit à environ 229° 11' l'angle au pôle sous-tendu par l'arc qui représente l'équateur; enfin, dans le troisième cas, les 360" de l'équateur sont représentés par un arc de cercle de 2â0% ce qui attribue aux degrés de longitude une valeur un peu plus forte qu'aux degrés de latitude, à peu près dans le rapport de l'arc de 30° à son sinus. Dans les trois cas les degrés de longitude sont déterminés sur chaque parallèle conformément à leur rapport réel avec le degré équatorial.

H) Voir l'atlas In-folio n° S377, au département géographique de la bibliothèque Impériale. Ces cartes ont été plusieurs fois rééditées.

Le canevas n° XXXII donne l'application de la troisième projection de Werner à la représentation de la surface entière du globe.

i*. Les projections coniques et leurs modifications dont nous avons parlé jusqu'ici ont toutes pour but principal de substituer à la zone sphérique que l'on veut représenter une zone développable sur laquelle les méridiens et les parallèles sont supposés tracés de manière que le développement jouisse de telle propriété que l'on veut. Ces projections conviennent surtout pour représenter des zones étroites, c'est-à-dire peu étendues de part et d'autre d'un parallèle moyen que les méridiens coupent à angle droit et sur lequel la projection atteint son plus grand degré de perfection.

Il n'en est plus de même lorsque le pays à représenter est trèsétendu en latitude ou composé d'États détachés tels que les États- Unis, parce qu'il devient alors impossible de choisir un même parallèle central pour chacun d'eux ; aussi l'Amérique et l'Angleterre ont-elles adopté, pour le tracé des cartes embrassant une grande portion de la surface terrestre, un système qui a pour but de remplacer chaque zone terrestre élémentaire par la zone conique élémentaire correspondante et de conserver la rectangularité des méridiens et des parallèles.

Cette projection a reçu en Amérique le nom de projection poly conique rectangulaire qui en peint de suite le tracé.

Considérons le cas général du sphéroïde entier développé le long d'un méridien central quelconque. Au pôle nord le cône tangent se confond avec le plan tangent et, à mesure qu'on s'éloigne du pôle, son sommet se recule le long de l'axe terrestre prolongé en donnant à chaque parallèle du développement un centre de plus en plus reculé et un rayon qui croît à mesure que la latitude diminue et qui est partout égal à la cotangente de cette latitude. A 45* de latitude les rayons de la terre et du parallèle sont égaux; enfin, le cône devient un cylindre à l'équateur qui est représenté par une droite per pendiculaire aux méridiens. Dans l'hémisphère austral le cône occupe par rapport & l'équateur des positions symétriques à celles qu'il a occupées dans l'hémisphère boréal ; la courbure des parallèles croit ainsi en sens inverse jusqu'au pôle antarctique représenté comme le pôle nord par un point situé â 90° de l'équateur. On obtient ainsi une figure à deux axes rectangulaires (proj. n° XXXVI) dont le plus petit est le méridien central rectifié, et dont le plus grand, double du premier, représente l'équateur entier développé.

200 1 PARTIE. — TUÊORIB DBS PROJECTIONS.

Le méridien-limite, qui est en réalité la seconde moitié du méridien central, s'allonge, de chaque côté de la figure, de plus de deux fois et demie sa longueur véritable. Les méridiens sont comme sur la sphère et sur chacun des cônes assujettis à couper chaque parallèle à angles droits. Mais comme il est impossible de conserver à la fois les angles et les surfaces, il en résulte une altération très-sensible dans les longueurs des degrés de parallèles dont l'équateur est le seul qui conserve ses véritables dimensions.

Un autre défaut important consiste dans l'inégalité des distances méridiennes entre les parallèles successifs et dans l'accroissement des degrés des méridiens à mesure que l'on s'éloigne du méridien central seul développé en vraie grandeur. Ce défaut rend impossible l'emploi d'une échelle pour la mesure, même approchée, des longueurs, dans des directions autres que l'équateur et le méridien central.

Nous étudierons plus loin cette projection d'après l'exposé qui en a été donné en 18(50 par le colonel H. James, directeur du Département topographique du bureau de la Guerre (1), et nous donnerons des tables qui en facilitent la construction.

Le colonel James, pour rendre compte de cette projection, suppose d'abord la terre représentée par un globe creux et très-mince, en papier par exemple, que l'on coupe par un grand nombre de plans parallèles passant par les parallèles terrestres équidistants en latitude; on coupe encore ce globe le long du demi-méridien opposé à celui qui doit servir de méridien central, et l'on ouvre le globe entier sur un plan de manière à considérer chaque bande de la surface du globe comme une portion d'une ceinture circulaire, à l'exception de l'équateur qui se développe en ligne droite. Tous les points de chaque parallèle se placent sur un arc de cercle dont le rayon est égal à la cotangente de la latitude correspondante, et les centres de tous ces cercles sont sur la droite qui représente le méridien central. Cette manière d'envisager la projection polyconique rectangulaire laisse beaucoup à désirer, car, après le développement de chaque ceinture circulaire, il reste nécessairement un espace qui provient de

(I) Description ofthe Projection used in the Topographical Department of the Wnr Office for maps ctnhracing large portions of the Earth't Surface {drawn up Ly Capt. Ci.ARkE, R. E. ami) cammunicated hy Colonel Sir Henry James, R. E. Director ofthe Topographical Department; dans the Journal of the Royal Geographical Society, vol. XXX, Londres, 1860, m-8, p. 106 à 111.

la différence des rayons de chacune d'elles» et qui n'est négligeable à aucune limite puisqu'il est du même ordre de grandeur que l'accroissement du rayon de chaque zone ; il n'est possible de le faire disparaître, lorsque l'on veut conserver la rectangularité des méridiens et des parallèles, que par une déformation en longueur de chaque cercle de latitude.

18. 11 peut être préférable, dans certains cas, de conserver les longueurs des degrés de tous les parallèles en renonçant à leur perpendicularité sur les méridiens. On obtient ainsi une nouvelle projection dite polyconique ordinaire, qui appliquée à la représentation de la surface entière du globe (proj. n° XXXVII) présente une figure à deux axes rectangulaires et à quatre quadrants égaux comme la projection rectangulaire. Le méridien central, seul perpendiculaire aux parallèles, est encore développé en vraie grandeur ; sur chaque parallèle décrit avec la cotangente de sa latitude, on porte les véritables longueurs des degrés de longitude et l'on fait passer, par les points correspondants, des courbes qui représentent les méridiens.

Nous reviendrons sur cette projection (1), et nous donnerons les moyens de tenir compte de l'aplatissement de la terre à l'aide de tables qui rendent la construction très-rapide.

La projection polyconique ordinaire a été adoptée en Amérique par le Coast Survey Office parce que v les opérations de l'hydro- « graphie étant limitées à une bande étroite et longue de la côte et h n'ayant pas pour but de former une carte d'ensemble des pays en « feuilles régulièrés et uniformes, il est préférable de faire une proie jection indépendante pour chaque lever et pour chaque feuille hy- « drographique à l'aide de son méridien central ; chaque feuille est « ainsi projetée comme une carte locale et se relie aux autres par les c sommets de la triangulation (2). »

La carte du congrès a été dressée en 1855 en projection polyconique à l'échelle de (3) .

(1) Voir 2' part., chap. XIII, § 3.

(2) Report of the Superintendant of the Coast Survey during theyear 1853. Washington, 1854. Appendice n" 39, p. 99.

(3) Les méridiens et les parallèles y «ont traces de minute en minute; le méridien central pour la cote orientale a été pris a 84* à l'ouest de Greenwich (8G* 20' 9" à l'ouest de Paris , et pour la côte occidentelle à 120° de Grcenwich (122* 20' 9" à l'ouest de Paris); les deux côtes ont ainsi été projetées séparément. Cette carte comprend la côte entière des États-Unis depuli la baie de Passamaquoddy (limite nord du Maine) jusqu'au Mexique (embouchure de Rio Grande), et depuis le Rio Fraxer jusqu'à San Diego.

SOS i" PARTIB. — - THÊOMB DES P10JÏCTIOHS.

tu. La méthode de projection employée au Coast Survey Office pour les cartes de localités ou pour les petits levers hydrographiques prend le nom de projection polyconique tquidi Mante. Les parallèles provisoires et les méridiens y sont d'abord tracés comme dans la projection polyconique ordinaire, puis on porte sur chaque méridien au-dessus et au-dessous du parallèle central , les longueurs des divisions du méridien central, et l'on fait passer les parallèles définitifs par les points ainsi obtenus. 11 en résulte une projection dans laquelle les parallèles sont partout à des distances méridiennes égales. Si on la suppose appliquée à la représentation de la surface entière du globe, et que l'on prenne l'équateur pour parallèle central, tous les parallèles tournent leur concavité vers l'équateur, car les distances méridiennes des parallèles étant égales à ces dis lances mesurées sur le méridien central qui est une ligne droite, il est évident que les parallèles devront converger en s'éloignant du méridien central. Le parallèle de 90°, c'est-à-dire le pôle, sera représenté par une courbe dont la longueur approchera de celle de l'équateur développé.

En comparant une projection polyconique équidistante avec une projection de Bonne ayant même méridien central et même parallèle moyen, il est facile de voir que, sur la première, l'aire projetée est moindre que la surface correspondante de la sphère. Cette projection a en outre l'Inconvénient d'augmenter d'une manière exagérée les arcs de parallèle et de rendre impossible l'emploi d'une même échelle autour d'un même point; les intersections des méridiens et des parallèles n'y sont pas rectangulaires et les angles sont difficiles à calculer. Il en résulte que ce système ne doit être employé que dans les limites les plus restreintes. Dans le bureau hydrographique des États- Unis il n'est employé que pour représenter des surfaces de un degré carré au pfu«, à une échelle ne dépassant par t^J- P0 .

Lorsque Ton veut représenter en projection polyconique ordinaire, un hémisphère entier à une échelle peu considérable, on peut figurer le méridien de P0° de longitude, qui doit limiter la carte, par une circonférence décrite sur la distance des pôles comme diamètre, et partager en parties égales les arcs de parallèle interceptés ; les autres méridiens seront des courbes passant par les points correspondants ainsi obtenus.

CHAP. VI. — PH0JECTI0N8 PAR DÉVELOPPEMENT. JOS PB0JXCTI0I8 CTUID1IQIM.

>. Jusqu'à présent, dans l'étude des projections par développement, nous ne nous sommes occupé que de celles qui peuvent être considérées comme obtenues par le développement d'un ou de plusieurs cônes tangents ou sécants au sphéroïde, et des projections qui peuvent être considérées comme des modifications des projections coniques. Au lieu de considérer le tronc de cône qui, sous certaines conditions dépendant du but que doit atteindre la carte, se rapproche le plus possible de la portion du sphéroïde à représenter, il est naturel de chercher à représenter une portion de la surface du globe par le développement d'une portion de surface cylindrique soit inscrite, soit circonscrite à la zone considérée et dont l'axe coïncide avec celui du globe. Les méridiens, qui résultent des sections du cylindre par des plans passant par son axe, seront représentés par des droites parallèles à cet axe, les parallèles par des droites perpendiculaires aux premières.

Les défauts des projections cylindriques sont plus considérables encore que ceux de la projection conique, car, dans celle-ci, on peut donner à deux parallèles leur véritable longueur par rapport aux degrés de latitude, tandis que dans la projection cylindrique le parallélisme des méridiens ne permet d'observer cette proportion qu'à l'égard d'un seul qni est l'inférieur, si l'on considère le développement du cylindre circonscrit, et le supérieur si l'on considère au contraire le développement du cylindre inscrit.

Pour remédier à cet inconvénient, on a employé le cylindre construit sur l'un des parallèles intermédiaires et qui est par conséquent en partie intérieur et en partie extérieur à la sphère ; de cette manière l'étendue en longitude est exacte vers le milieu, mais trop petite du côté de l'équateur et trop grande du côté opposé.

ftl. Dans la projection cylindrique proprement dite, on donne aux degrés de latitude leur véritable longueur de façon que chaque méridien A, B, de la projection (fig. 55) soit égal au développement de l'arc correspondant AB du méridien de la sphère.

En appelant l la latitude du parallèle Mm commun à la sphère et bu cylindre, les degrés de longitude seront sur tous les parallèles de Ja projection égaux à

io" acos/l '

La figure 55 montre bien les défauts de ce système, l' agrandissement des parallèles supérieurs et la diminution des parallèles inférieurs. La projection n* XXXIV donne la représentation de l'hémisphère Nord développé sur le parallèle de 45' de latitude.

Les cartes projetées d'après ce système portent le nom de cartes plates parallêlogramma tiques ; elles ne peuvent convenir que, à des parties du globe très-peu étendues en latitude, mais autant qu'on le veut en longitude ; les moins défectueuses sont celles qui représentent les portions voisines de l'équateur, parce que, à peu de distance de ce cercle, les cosinus de latitude ne varient pas beaucoup ; d'Anville s'en est servi avec avantage pour la carte de Guinée publiée en 1776. Cette construction est la plus ancienne de toutes; son origine semble remonter jusqu'à Anaximandre (550 ans environ av. J.-C.) qui, le premier peut-être, traça une carte géographique du monde connu de son temps; elle continua à être employée par les géographes de l'antiquité (Hécatée, Dicéarque, Eratosihènes, Agrippa, Stra- 6on, Marin de Tyr, Ptolémèé) qui prenaient pour parallèle moyen celui de Rhodes.

Lorsque le cylindre est tangent le long de l'équateur, le réseau est formé de carrés parfaits ; il en résulte une projection trèssimple de construction, mais très-erronée dès qu'on s'écarte de l'équateur puisque les degrés de longitude y sont partout égaux aux degrés de latitude (proj. n° XXXIII) ; on la désigne sous le nom de projection plate carrée; l'invention en a à tort été attribuée au prince Henri de Portugal (1438); elle était connue, dès le commencement du xtv* siècle, des navigateurs génois (1), qui la communiquèrent aux Catalans ; mais elle n'est plus employée depuis le commencement du xvi* siècle. Elle offrait aux marins cet avantage de représenter par une ligne droite la loxodromie, c'est-à-dire la direction que suit le navire naviguant pendant quelque temps sous le même rumb de vent et coupant par conséquent tous les méridiens sous le même angle (2).

(1) Les cartes nautiques les plus célèbres qui nous sont parvenues de cette époque sont : l'atlas de Petrus Vesconte de Janua (1318), les cartes de Marin Sanuto (1321), l'atlas anonyme de 1351 de la bibliothèque Laurentienne de Florence, l'aUas catalan de 1375, l'atlas vénitien de 1334, etc. Voir les Monuments de la géographie, par Jobard, V livraison.

(2) L'emploi de la boussole rend presque exclusive la navigation loxodromique; la courbe décrite à la surface des mers par un navire se rendant d'un point à un autre n'est donc pas un arc de grand cercle, mata une courbe à double courbure dont la principale

CHAP. YI. — PlOttCTIOHS PAR DÉVELOPPEMENT. 205

Mais les cartes plates avaient l'énorme inconvénient non-seulement de déformer beaucoup les configurations terrestres, mais encore de fausser les directions et les gisements de telle sorte que les directions E.-0. et N.-S. de la rose des vents étaient seules conservées et que les autres étaient difficiles à tracer exactement. Cet inconvénient avait déjà été remarqué par Ptolémée ; il fut de nouveau signalé au commencement du xvr siècle par Martin Cortès, puis par Pero Nunès; enfin, en 1569, Gérard Mercator, considérant que les marins n'emploient pas leurs cartes pour connaître la figure des pays, mais seulement pour y tracer exactement le chemin parcouru d'après sa longueur et sa direction, et pour déterminer la distance où ils sont des divers points des îles et la direction qu'ils doivent suivre soit pour y arriver, soit pour les éviter, imagina la projection des cartes réduites.

as. La nécessité de représenter la loxodromie par une ligne droite mettait dans l'obligation de figurer les méridiens par des droites parallèles équidistantes perpendiculaires aux parallèles et de considérer par conséquent la projection comme le développement d'un cylindre tangent à la sphère le long de l'équateur ; en outre, l'obligation de conserver partout les directions devait faire conserver le rapport exact des degrés de latitude aux degrés de longitude ; or comme les derniers, par suite du parallélisme des méridiens, sont tous augmentés dans le rapport de l'unité au cosinus de leur latitude, il faut augmenter aussi les degrés de latitude dans le même rapport.

Or, en supposant la terre sphérique, on a

un degré de parallèle cosinus latitude 4 un degré de l'équateur 1 sécante/'

donc

un degré de méridien = un degré de parallèle Xséc /j de même

une minute de méridien = une minute de parallèle x séc /.

11 résulte de là qu'en faisant constamment sur la carte réduite la minute de parallèle égale à celle de l'équateur, l'intervalle entre

propriété est de couper sous le même angle tous les méridiens qu'elle traverse; ainsi une ligne loxodromique qui fait un nngle oblique avec un méridien est une sorte de spirale qui s'approche sans cesse de l'un des pôles sans jamais l'atteindre; s'il était possible en effet qu'une telle ligne passât par le pôle, il faudrait qu'elle fit eu ce point le même angle avec tous les méridiens, ce qui est impossible.

206 l» PARTIS. — TBÊOBIK DES PROJECTIONS.

deux parallèles consécutifs ou la différence de leurs distances à l'équateur répondant à une minute doit être égale à

une minute de l'équateurxséc/.

L'intervalle entre deux parallèles quelconques sera par conséquent égal à la longueur d'une minute de l'équateur multipliée par la somme des sécantes faite de minute en minute depuis la plus petite latitude jusqu'à la plus grande.

C'est sur ce principe que Mercator fit construire une grande mappemonde publiée à Duysbourg en août 1569 (1) ; Edouard Wright, auquel on a à tort attribué l'invention des cartes réduites (2), expliqua le premier en 1589 les procédés de calcul comme nous venons de le faire et dressa une table des parties du méridien ; mais ce procédé pour calculer les accroissements des parties méridiennes n'est pas rigoureux, puisque l'arc d'une minute, malgré sa petitesse, diffère sensiblement de sa corde ; il faudrait donc supposer la minute elle-même divisée en un nombre infini de parties et faire la somme de tous les accroissements successifs ; Henry Bond, en 1645, montra le premier que les longueurs des méridiens projetés croissent comme le logarithme de la tangente de la moitié du compliment de la latitude. Le calcul intégral conduit très-rapidement à ce résultat et permet de tenir compte de l'aplatissement de la terre ; nous reviendrons sur ce sujet en traitant de la construction et de l'usage des cartes réduites. Remarquons de suite que, comme la sécante de 90° est infinie, le pôle ne peut être représenté sur ces cartes et que les parallèles s'écartent de plus en plus et jusqu'à l'infini à mesure que la latitude augmente. Cet inconvénient est peu sensible dans la navigation parce que le 83* degrés de latitude constitue la limite de notre connaissance des terres à la surface du globe.

• i. Le célèbre astronome César- François Cassini a employé, pour l'exécution de sa carte de France commencée en 1745 et terminée en 1793 par sou (ils (Jacques-Dominique), une modification de la projection plate dans laquelle le cylindre est tangent le long du

(1) Cette carte, large tic 2 mètre» sur l-,26, se trouve reproduite en fac-similé danB les Monuments de la géographie de Jomard (8« livraison) et dans un appendice à In Géographie du moyen âge, de Lelf wel i t. Il, p. 225 à 233).

(2) Edouard Wright dans son ouvrage, Certain Errors in Navigation deterted and corrected, p. 12 et 13 de la préface, reconnaissait lui-même que la carte de Mercator loi avait servi de guide et qu'il avait seulement deviné la méthode dont le géographe allemand n'avait pas (ait part au public,

CHAP. VI. — PtOJBCTIONS PAR DÉVELOPPEMENT. 107

méridien principal ; par les divisions de l'équateur on imagine des plans parallèles à ce méridien, et par les divisions du méridien des grands cercles qui ont un diamètre commun situé dans le plan de l'équateur ; ce diamètre est, dans la projection de Cassini, ce qu'est la ligne des pôles dans la projection plate. On imagine ensuite le cylindre développé, et les génératrices passant par les divisions du méridien représentent les grands cercles perpendiculaires à ce méridien, tandis que les petits cercles qui lui sont parallèles ont pour projections les développements des intersections du cylindre par leurs plans.

Cassini a été conduit à adopter cette projection parce que, dans les levers trigonométriques, s'il est facile de tracer le méridien d'un lieu, il ne l'est plus autant de tracer le parallèle à l'équateur ; si, par un alignement, dirigé au moyen de piquets verticaux, et perpendiculaire au méridien d'un lieu on détermine une suite de points, ils appartiennent au grand cercle que détermine le plan vertical mené perpendiculairement au méridien dont il s'agit et qui, sur la terre, répond au cercle céleste que l'on nomme premier vertical ; le parallèle ne fait que toucher ce cercle au point où il coupe le méridien. La méridienne et ses perpendiculaires étant donc les lignes qui se tracent le plus facilement par les opérations astronomiques et géodésiques, c'est au méridien de l'Observatoire de Paris et à ses perpendiculaires qu'ont été rapportés immédiatement les points de la carte de France; leurs latitudes et leurs longitudes n'ont été conclues qu'd posteriori et par le calcul.

Nous reviendrons sur cette projection pour donner les équations exactes des méridiens et des parallèles, évaluer les erreurs des surfaces et des angles et tenir compte de l'aplatissement. Mais nous pouvons dès à présent nous rendre compte de ses principaux défauts.

En supposant la terre sphérique, les grands cercles perpendiculaires au méridien, au lieu de se couper aux pôles de ce méridien et par conséquent de converger tous les uns vers les autres, sont, en projection, tous parallèles entre eux; il en résulte que les portions déterminées par deux cercles perpendiculaires au méridien sont représentées par des rectangles de même longeur, mais plus larges vers les extrémités. Ainsi les distances et les aires ne peuvent être mesurées immédiatement sur la carte de Cassini que par approximation, et quoique l'étendue en longitude ne soit pas assez considérable pour que la convergence des perpendiculaires au méridien entraîne

208 l r » PARTIE. — THÉORIE DES PROJECTIONS.

une erreur importante, il faut être très-réservé dans l'emploi de cette projection, qui n'est excellente que pour la réunion immédiate des levés trigonométriques.

*&. Nous avons déjà parlé, au chapitre des projections équivalentes (1), d'une projection cylindrique due à Lambert, et jouissant de la propriété de représenter les surfaces de la sphère par des surfaces égales. Elle est basée Sur ce principe que si l'on circonscrit un cylindre circulaire droit à une sphère et que l'on coupe les deux surfaces par une série de plans parallèles au grand cercle de contact, on détachera des zones qui seront toutes respectivement égales.

On a en effet (fig. 50) , en considérant le cylindre tangent le long de l'équateur,

surf, cylindr. AIEE'A' = 2™Ca = 2*a sin /, zone sphérique aEEV == 2*aC« = Ir.a sin / ;

et comme les méridiens interceptent sur les deux surfaces des parties proportionnelles à leurs différences de longitude, les surfaces élémentaires sont respectivement égales.

Cette projection a l'inconvénient de faire croître les distances en latitude comme les sinus de ces latitudes, et par conséquent de rapprocher de plus en plus les parallèles à mesure que l'on s'éloigne de l'équateur, tandis que les degrés de longitude conservent partout la longueur qu'ils ont à l'équateur et sont par conséquent partout augmentés.

Si l'on appelle a l'angle d'une direction quelconque avec le méridien d'un point M sur la sphère, £ l'angle correspondant sur la carte, l la latitude de ce point M, on trouve facilement par une méthode semblable à celle que nous avons employée (2) pour étudier les altérations des projections zénithales

tangp = tanga.

11 en résulte que la déviation maximum correspond en chaque point à

tangA = ±cos/,

ou à

tangB = ±-i 7 ,

(1) Voir chap. III, §2.

(2) Voir chap. V,§n.

les signes se correspondant, et qu'en chaque point il existe une infinité de groupes de deux directions définies par la relation

tanga, tang« = cos*/.

sur la sphère, et par la relation

tangfî, tangp = —

sur la carte. On voit en outre que les éléments du méridien sont réduits sur la carte dans le rapport de cos / à l'unité, et que les éléments du parallèle sont augmentés dans le même apport (1).

En résumé, ce système n'est applicable qu'aux zones comprenant l'équateur et peu étendues en latitude.

te. Nous avons parlé (2) de la modification proposée par Lambert pour les pays tels que l'Amérique qui ont leur plus grande étendue du nord au sud; on suppose le cylindre tangent non plus le long de l'équateur mais le long du méridien moyen ; dans le développement l'équateur est représenté par une droite divisée suivant les sinus des longitudes et le méridien central par une droite divisée en degrés égaux.

Lambert, après avoir exposé sa projection isocylindrique, est parvenu à celle-ci par une simple transformation de coordonnées que nous allons exposer parce que l'illustre géomètre l'a plusieurs fois appliquée pour passer d'un système de projection cylindrique à un autre analogue.

Soit A (fig. 57) un point quelconque pris pour pôle d'un grand cercle PKS, B l'autre pôle. Considérons deux grands cercles APBS, AKB passant par A et B et que nous pourrons appeler des méridiens relatifs à A et B ; PKS sera l'équateur. Supposons que dans ce système de coordonnées les longitudes i soient comptées à partir du méridien AKB.

Pour représenter d'après la méthode isocylindrique de Lambert la surface de la sphère ainsi traversée par les méridiens et les parallèles, on portera (fig. 58) sur une droite ps, de part et d'autre du point R, des longueurs égales aux longitudes t\ c'est-à-dire aux arcs de grand cercle PS rectifiés, et sur une perpendiculaire ab à ps, des longueurs

(1) L'étude des altérations dans cette projection a été faite par M. Collic*on tJourna. de l'École Polytechnique, 41* cahier) pour montrer la possibilité de construire les mappemondes mixtes en trois parties dont nous avoiw pnr!< : au § 15 du ebap. III.

(2) Koirchn,,. Ml, § 8.

210 I" PARTIE. — THÉORIB DES PR0JECTI05S.

kr égales aux sinu9 à sin V des parallèles tels que WRE ; en élevant par les points de division ainsi obtenus des perpendiculaires ou des parallèles à /m, on achèv erait la construction du réseau isocylindrique dont les degrés de longitude seraient égaux, mais dont ceux de latitude iraient en diminuant de K à a.

Soient maintenant 1' et S les pôles véritables de la sphère et AKB l'équateur véritable; PKS est un méridien dont les pôles sont en A et B et qui est déjà représenté par une droite ps divisée en degrés égaux ; p eis ligui eront les pôles véritables. L'équateur réel AKB est représenté par une droite ab dont les arcs à partir du centre K sont dans le rapport des sinus des longitudes des méridiens tels que PYS, car les arcs qui, dans l'hypothèse des pôles en AB, mesurent sur le grand cercle AKB les latitudes, mesurent maintenant les longitudes dans l'hypothèse des pôles en P et S.

Considérons un point quelconque M de la surface de la sphère et menons l'arc de grand cercle AMD qui sera perpendiculaire sur le méridien du milieu PKS puisque le pôle de ce méridien est supposé en A. Ce grand cercle était, dans la première hypothèse, un méridien représenté par une perpendiculaire à p passant par un point à tel que Kd est égal à l'arc KL); et, sur cette perpendiculaire, le point M devait se trouver placé à une dis;ance md de ps, égale au sinus de l'arc MD.

Cherchons donc à exprimer les arcs DK = y et MD dont le sinus égale md = x, en fonction de la latitude / et de la longitude t du point M.

Dans le triangle sphériquc PTD, rectangle en D, on connaît l'hypoténuse PM = fl0° — / et l'angle MPD = t ; on calculera MD et PD = — y à l'aide des formules

sin MD = x = cos / sin t,

coUDg PD . Ung KD = tang „ = 2ï5jgE = g ,

qui sont bien les mêmes que celles auxquelles nous sommes parvenus directement.

»ï. La même méthode de transformation de coordonnées permet d'obtenir immédiatement les équations de la projection cylindrique orthomorphe de Lamhtri (1) en la considérant comme une projection

(1) Voir chap. Il, § 14.

CUAP. Tl. — PtOJECTKMS PAR DÉVELOPPEMENT. SU

de Mercator renversée. En se reportant en effet aux deux figures précédentes on voit que l'arc DR devra être projeté en vraie longueur et que l'arc de grand cercle Ml) devra être représenté par une droite perpendiculaire à pk$ et égale à

. , 90- + MD 1, 4+sinMD

md = , og ung — — = - log î—-^;

or le triangle rectangle PMD nous a donné

sin MD = cos /sin/, cotang DK = cos / cotang /.

Les équations de la projection seront donc

i 1 -f- cos/sinf x ~2 ,og l cos/sinf ' cotang y = cos t cotang /,

qui sont bien les équations auxquelles nous sommes parvenus par là méthode des coefficients indéterminés.

»S. Revenons aux projections cylindriques équivalentes. Lorsqu'il s'agit de représenter une portion de zone qui n'est pas contiguë à l'équateur, on imagine un cylindre sécant le long d'un parallèle de la zone à représenter, et, en parlie inscrit, en partie circonscrit; on peut alors déterminer l'espacement des parallèles par la condition de conserver les surfaces élémentaires.

Appelons d (fig. 59) la distance en projection d'un parallèle de latitude / au parallèle commun MM dont nous désignerons la latitude par

Sur le cylindre la zone MM'D.D', a pour surface

Iwxd cos/,,

et, sur la sphère, la zone MM'DD' comprise entre les deux latitudes / tt /, est exprimée par

Sira* (sin / — sin /,) = 4to»* sin ■ g l * cos ^t-^

On aura donc

2a sin — - 1 cos ~ —

COS/j

Le parallèle MM' commun aux deux surfaces et donné par la condition de conservation des degrés de longitude à la latitude I,.

29. Lorsqu'on a à représenter une zone terrestre étroite et longue dirigée obliquement à l'équateur, on peut recourir au développement du cylindre tangent à la sphère le long du vertical qui coïncide avec la plus grande longueur de la zone à représenter. On forme ainsi un équateur et des méridiens provisoires que l'on projette sur le cylindre tangent pour le développer ensuite, et le tracé des méridiens et des parallèles véritables s'obtient par une transformation de coordonnées.

Le lieutenant Textor a traité cette question (1) dont l'idée première est due à Lambert, en s' imposant cette autre condition que la surface totale de la zone cylindrique fût égale à la zone sphérique à représenter ; il suffît pour cela d'imaginer un second cylindre, intérieur ayant un rayon un peu plus petit que celui de la sphère mais la même hauteur que le cylindre en contact, c'est-à-dire la longueur des méridiens auxiliaires contenus dans la bande étroite. Si des deux côtés de l'équateur auxiliaire on a à représenter n degrés, en appelant r le rayon de base du cylindre intérieur, g la longueur d'un degré évaluée en parties du rayon a, la surface de la zone cylindrique est exprimée par

celle de la zone sphérique par

2*a2a sinn 0 ;

ce qui donne l'équation

rng — n 1 sinn°,

d'où

a} sin n" a . 180 . sin n° ng m '

il faudra donc d'abord multiplier chacune des parties de l'équateur

.... . t 180 sinn» . t

auxiliaire par le rapport — — — . On représentera ensuite cet

équateur auxiliaire par une droite parallèle aux bords supérieur et inférieur de la carte à construire, et on la divisera en degrés comme nous venons de le voir; une droite perpendiculaire sur le milieu de la première représentera le méridien véritable qui passe par le pôle

(I) Yorschtay sueiner Projection einet langen und srhmalen Slreifent der Erdflâche, deuen Richtung mit rietn /Eyuo/or einen schiefen Winkel macht, von dem Premier Lieutenant von Ti \tor ; »!aus |,i M >vnllirl,e Correff.nt,denz «le 7 \< n, «epleitilne 1808. p. 1H5 & Ml.

auxiliaire. En appelant X la latitude de son point d'intersection avec l'équateur auxiliaire, 8 la différence des longitudes de ce méridien et d'un autre considéré, la distance de ces points d'intersection de l'équateur auxiliaire et de ces deux méridiens, a l'inclinaison de ce méridien considéré sur cet équateur, /, la latitude du point d'intersection de ces deux cercles, on obtient

cosot = sin 8 cosa, tangji= tangecosX, tangX

tang/,=

cosO

On peut donc construire par points un méridien quelconque en prenant son point d'intersection avec l'équateur auxiliaire pour origine des abscisses x et cet équateur pour leur axe. Pour un point dont la latitude sera l on aura

sin y = sin (/ — /,) sin a, tang x = tang (/ — /,) cos a.

Si I < x et y deviennent négatifs.

En réunissant par des courbes continues les points de même latitude, on obtiendra les parallèles de la projection.

Ce genre de projection, qui exige des calculs fort longs, est peu utile dans la pratique parce qu'il est rare que l'on cherche à conserver la surface totale d'un pays sans s'occuper de conserver aussi les surfaces élémentaires.

ao. Mentionnons ici la Projection of the Globe on the cylinder of ameridian, by J. Wetch (1). C'est une projection perspective centrale sur un cylindre tangent à la sphère le long d'un méridien. Si le cylindre était tangent le long de l'équateur, les méridiens seraient représentés par des droites parallèles équidistantes perpendiculaires à l'équateur, et les parallèles par des droites perpendiculaires aux premières et dont la dislance a l'équateur serait égale à la tangente de la latitude. Le cylindre étant en réalité tangent le long d'un méridien les degrés du méridien moyen conservent seuls leur véritable longueur, ceux de l'équateur varient comme les différences des tangentes des longitudes ; les méridiens et les parallèles sont des courbes faciles à tracer par points à l'aide des formules de transformation

(11 Bibliothèque impériale, Kl. 1112.

|U i" PARTIE. — THÉORIE DE!

de coordonnées dont nous avons déjà fait usage pour les projections cylindriques transverses de Lambert.

■ODIFICATIOH DE LA P10JECTI0H CTilHMIQUE

St. Avant de déterminer ce qui a rapport aux développements cylindriques, nous dirons quelques mots d'une projection trapêziforme introduite dans la géographie au commencement du xiv siècle (1) comme modification de la projection plate parallélogrammatique employée par Ptolémée pour les vingt-six cartes de son Hyphégèse géographique, et qui fut la plus employée pendant les xv% x\r et même ivir siècles. Elle consiste à remplacer les méridiens parallèles de la projection plate par des méridiens rectilignes, mais convergents d'après la condition de conserver les divisions exactes des parallèles extrêmes de la carte ou de deux parallèles pris à volonté.

Ainsi l'on porte sur le méridien principal ab (fig. 60) les degrés égaux g de latitude, on élève des perpendiculaires par les points de division, et sur deux des parallèles CcC, I)dD' on porte en véritable grandeur les degrés de longitude de ces parallèles.

On a ainsi

c y = yy' = yY / = = 0COS/,,

cfô = 85' = oV = = g cos /,.

On voit de suite que les parallèles CC, DD' devront être très-éloignés pour bien déterminer les méridiens; mais, d'un autre côté, pour répartir aussi également que possible la déformation résultant de ce tracé, il conviendra de prendre ces deux parallèles de manière à partager en trois parties égales la hauteur en latitude de la carte, et alors

ac = cd = db.

Cherchons le point de convergence P et les angles des méridiens avec le méridien principal et avec les parallèles. Soit XX' un parallèle de latitude / ; on aura

r( — dl qr </(cos/, — - cos/,) 0cos/,

cd ~~ P? ° U g{l t — t t ) ~ cP *

(t) Le manuscrit grec de la géographie de Ptolemée, n' 4401 de la bibliothèque Impériale, qui ut répute du xn* siècle, offre la plupart de «es cartes ainsi modifiées, tandis que dan* le ms. 1402 la projection est re«tée plate.

d'Où

c p — gcos/, (/ , — /,) yçns/, (/. — /,)

cos/, — cos/, . /, — /, . /. + /,' 1 * 2sin ^ 1 sin-^--

De même

Pd = gC °* g cos/ * {K - ~ *■)

cos/,— cos/, . /, — /, . /, + /," * 2sin » 1 sm * ' 1 2 2

On déterminera ainsi le point P par l'une de ces deux équation*. On a ensuite

Px = Pd — dx = Vd — g(l — l t ).

\ppelons 0 l'angle .rP£, on aura

iango ^ , *C = P* tango = *™^-y-g"»'.('-*»>,

donc

telle est la valeur du degré de longitude à la latitude J. Sur la sphère ce degré de longitude est égal à

g' = g cos /,

l'erreur commise sur le degré de longitude à la latitude l est donc

gros /(/, — /,)

y cos /,(/ — /,)- y cos /, (/ — /,) — ;

se-*? = rzr]

Par exemple, si les deux parallèles dont on veut conserver les grandeurs ont pour latitudes, l'un /, = 55°, l'autre l t = 60°, l'erreur commise sur le parallèle de 65° sera, en faisant g = 1, cos i, = 0,5736, cos/, = 0,5000, cos/ = 0,4226;

xk — ^ = 0,0038.

De même, en appelant cp = Pyc l'angle d'un méridien avec un parallèle, si contient / degrés de longitude,

de /, — /, tang ? — rf< - f (cos ^ cos g •

Dans notre exemple, si ï = 10°, on trouve

l'erreur en moins est donc de 8° 2*2'.

Ainsi, dans cette projection, le méridien central est seul perpendiculaire aux parallèles dont deux conservent leurs véritables grandeurs ; les parallèles intermédiaires sont diminués, les autres sont augmentés, et les erreurs augmentent rapidement à mesure que l'on s'éloigne de ces deux parallèles; de même l'angle des méridiens et des parallèles, au lieu d'être droit, décroit rapidement à mesure que l'on s'éloigne du méridien central. La simplicité du tracé permettra cependant l'emploi de cette projection pour des bandes peu étendues en latitude, lorsque la conservation rigoureuse des angles et des surfaces sera de peu d'importance.

La projection n° XXXV a été dressée dans ce système et représente l'hémisphère nord développé en conservant les degrés des parallèles de 30° et de 60« de latitude.

CHAI*. VII. — ALTÊRATIOS.

CHAPITKE VII.