ÉTUDE GÉNÉRALE DES ALTÉRATIONS DANS ONE PROJECTION QUELCONQUE

t. Nou9 avons donné aux 11-15 du chapitre V les formules qui permettent d'évaluer en un point quelconque d'une projection zénithale les altérations d'angles, de longueurs et de surfaces; nous allons maintenant étudier la même question d'une manière générale et chercher la loi de déformation en un point quelconque, lorsqu'on passe d'une figure tracée sur le sphéroïde à celle qui la représente sur la carte.

Considérons un point quelconque du sphéroïde défini par sa latitude / et sa longitude (, et le plan tangent en ce point; toute courbe infiniment petite tracée autour de ce point peut être considérée comme située tout entière dans ce plan tangent qui se confond avec la surface jusqu'à des distances infiniment petites du point de contact; supposons que cette courbe soit une circonférence dont ce point occupe le centre. Un arc quelconque tracé du centre à la circonférence, c'est-à-dire un rayon quelconque de cette dernière, aura pour longueur

r désignant le rayon du parallèle du point (J, t) et p le rayon de courbure du méridien eu ce point ; r et p sont donc des fonctions connues de /.

Soit, sur la carte, x et y les coordonnées rectangulaires du point correspondant au point (/, t) du sphéroïde; l'élément considéré aura pour projection un arc dont la longueur sera exprimée par

y dx* + dy\

Désignons par m le rapport de la seconde distance à la première, rapport variable d'un point à l'autre de la carte, et variable aussi en

chaque point avec l'orientation de l'élément mesuré ou avec le rapport rdt

^, tangente trigonométrique de l'angle a formé sur le sphéroïde

par la direction considérée et le méridien.

Nous aurons donc l'équation

rW+ P W = 4 + (I) m

dans laquelle

dx = dt + ^ dl = v dt + çdl.

Exprimons m en fonction de l'angle a défini par l'égalité

rdt

ta„g» = ^.

L'équation (1) prend la forme

y = t±f + *'W±Ù2 sina co S , + eo,'.. (H)

Sous cette forme elle met d'abord en évidence une propriété importante. Sil'on calcule deux valeursdero 1 correspondantes à deux valeurs de a différant entre elles de ^, leur somme sera indépendante de a ; ou a en effet pour l'une

m- = sin'« + *S£2±liil & acosa+ Ùt3l 5in .

r pr p

et pour l'autre

= É+£l eo s . . IW±IÏ1 si „ . ,. os . + 91+C sin , . r' pr />'

et, en ajoutant,

égalité remarquable dont nous aurons occasion de faire usage un peu plus loin.

Cherchons la valeur de a qui rend le rapport m maximum ou mi-