h sin/ ' a cos / sin / *-~4 + siii
Donc, en appelant z le complément de la latitude.
? = tRllg/,
x* -j- y* = > ^— — aManc*
1 J [\ -r-cos;,* b 2
Ces formules montrent que les parallèles sont représentés par des
CHAP. 1. — PROJECTION STÉRÉOGRAPHIQt fc- 241
circonférences ayant toutes pour centre le pôle opposé à l'œil et pour rayon
P = o tang - ,
c'est-à-dire la tangente de la moitié du complément de la latitude ; les méridiens équidistants de la sphère sont représentés par des rayons équidistants de l'équateur, qui a pour rayon le rayon même de la
Ce premier cas particulier ne présente donc aucune difficulté. On décrira (fig. Gh) , avec un rayon égal au rayon de la sphère réduit à l'échelle de la carte que l'on veut construire, une circonférence que l'on divisera en degrés et fractions à partir du diamètre (0°,180°), qui doit représenter le méridien principal ou premier méridien; enjoignant les points de division au centre, on aura les méridiens de la projection. Pour construire le rayon de chaque parallèle, on joindra le point de la circonférence de la carte qui exprime sa latitude au point (90) situé dans le demi-cercle opposé : la distance Pn sera
le rayon cherché, égal du reste à a tang — - — .
On peut avoir à tracer sur la carte un grand cercle tel que l'horizon d'un lieu défini par sa latitude l et sa longitude f, ou l'écliptique. Nous traiterons ce problème d'une manière générale au paragraphe 10 (4°) , sous le titre : Construire la projection de l'horizon d'un lieu donné sur la carte. Résumons ici la solution.
On joindra le point donné A au pôle qui est ici le centre; on élèvera sur cette droite le diamètre a*' perpendiculaire; on joindra le point % au point A, et à partir du point A' de cette droite on portera sur la circonférence de la carte un arc de 90" de A' en A',; le point a, intersection des diamètres qui passent par A et par A', , sera un point de l'arc cherché qui devra passer aussi par les deux points aa'; il sera donc facile d'en déterminer le centre.
Dans le cas où le centre de ce cercle sortirait des limites de la feuille, on tracerait la circonférence aaa', soit avec une équerre dont les branches mobiles s'appuieraient en a et a' et feraient entre elles l'angle aaa', soit par points en menant des droites telles que ad, a'ri faisant entre elles l'angle aaa. Remarquons que cet angle constant est égal au supplément de la latitude du lieu A dont on veut tracer l'horizon, ou bien à 90° -f- II, H étant l'inclinaison de ce grand cercle sur l'équateur. Le centre est à une distance du centre de la carte
égale à la cotangente de la latitude du lieu A, et le rayon est égal à la cosécante de cette latitude.
Dans la projection stéréographique polaire, la projection d'une courbe loxodromique, c'est-à-dire d'une courbe faisant, en chacun de ses points, un angle constant avec le méridien de ce point, doit être une spirale logarithmique. Cette courbe est en effet la seule qui jouisse de la propriété de couper ses rayons vecteurs sous un angle constant.
La mappemonde n° 1 a été tracée en projection équatoriale. Le tableau suivant, dressé à l'aide de la formule
P = atang — - — ,
donne les valeurs des rayons des parallèles de 5* en 5° de latitude en supposant a = 1, c'est-à-dire en prenant pour unité le rayon de la sphère.
II
PBOJECTIO» STÉIÉ0MAPEIQOE MÉBIDIEHUE.
6. La projection est supposée faite sur le plan du méridien perpendiculaire au méridien princip.il et comptant par conséquent 00° de longitude. Le méridien principal et l'équateur sont représentés par deux droites perpendiculaires qui sont deux axes de symétrie de la figure ; la première est prise pour axe des j\ la seconde pour axe des y,
CHAP. I. — PROJECTION STÉRÉOGPAPII1QIE. 243
En faisant, dans les formules générales, > = 0, on obtient
a sin/ ûcos/sin/ X = 1 + cos/cos, ' * = i + cos/co s , =JSm<COtal 'g / -
En éliminant l entre ces équations, on obtient
(z* -f- y') sin t -f- 2«y cos / — o* sin < = 0,
équation d'un cercle passant par les pôles et dont le rayon est
o m = -A- = flcosécf.
sin/
Les coordonnées a et p du centre sont
a = 0; fi m = — fleotangf;
le centre est donc sur l'équateur à une distance du centre de la carte égale à la cotangente de la longitude. Enfin, en cherchant la distance du centre de la carte au point d'intersection du méridien considéré et de l'équateur, on trouve
S m = r/tnng
On peut arriver très-simplement à ces formules en se rappelant que, d'après la propriété générale de la projection stôréographique, l'angle des tangentes au premier méridien et au méridien considéré, angle qui mesure la longitude, doit être le même en projection que sur la sphère. Il suffira donc, pour avoir le centre d'un méridien donné par sa longitude /, de l'aire au pôle I» (lig. 65) , avec la ligne des pôles PI" un angle égal au complément 90" — / de la longitude.
Pour déterminer les centres de tous les méridiens également espacés, de 5° en 5° par exemple, on décrira du pôle P avec un rayon quelconque une circonférence que l'on partagera en arcs égaux de 5° à partir du diamètre perpendiculaire à PP'; la rencontre des divers rayons prolongés avec EK déterminerait le centre de chaque méridien.
Le triangle rectangle PCO donne immédiatement les formules que nous avons trouvés analytiquement
GO = fi = cotang t ; PC = o m = a cosec t\ o — OM = atang ^.
t. Occupons-nous maintenant des parallèles. Leur équation est
(x 1 -f y') sin / -f Vax + a» sin / = 0.
équation d'un cercle dont le rayon est
P P = a cotang /.
Les coordonnées du centre sont
*, = flC0Séc/; P p = 0;
le centre est donc sur la ligne des pôles à une distance du centre de la carte égale à la cosécante de la latitude; enfin en cherchant la dislance du centre de la carte au point d'intersection le plus proche du parallèle considéré et du premier méridien, on trouve
<>=ataug-.
On peut arriver très-simplement à ces formules en remarquant que chaque parallèle doit couper le méridien de projection perpendiculairement au point qui marque sa latitude, de telle sorte que le centre doit se trouver sur la tangente CN' au point N' (fig. 66), dont la latitude est /. Le triangle rectangle CN'O donne immédiatement
CN = p p = a cotang/; OC = ct p = a coséc / ; On = z = a tang ~ .
Rappelons ici que le point ri s'obtient immédiatement en joignant E' et N, c'est-à-dire une des extrémités de l'équateur au point du demi-cercle opposé qui exprime la latitude du parallèle sur le méridien de projection préalablement divisé en degrés et fractions à partir du diamètre EK'. On déterminera donc le centre soit par la tangente, soit en élevant des perpendiculaires sur le milieu de nN et nN'.
Au lieu de construire les méridiens et les parallèles, il y a plus d'avantage, soit comme rapidité, soit comme exactitude, à se servir d'une table où l'on aura calculé d'avance le rayon p de chaque cercle, la distance de son centre au centre de la carte et, si l'on veut, la distance du centre de la carte au point le plus proche. Or la simple inspection des formules montre que la même table pourra servir pour les méridiens et pour les parallèles ; en exprimant par les mêmes
CHAP. I. — PROJECTION STÊRÉOliRAPRÏQIE. 245
nombres les latitudes / ou les longitudes f, les rayons p m des méridiens et les distances % p du centre des parallèles au centre de la projection seront exprimés respectivement par les mômes nombres; il en sera de môme des rayons p p des parallèles et des distances $ m des centres des méridiens, et de même aussi des distances du centre de la projection aux points les plus proches des méridiens et des parallèles.
La mappemonde n" II a été construite a l'aide de la table suivante, qui donne les éléments nécessaires pour les valeurs de / et / de 5* en 5°, en supposant le rayon de la sphère pris pour unité :
(ou /
?» OU a p
?j, ou
ou \
/ ou i
Ao
0,Oi30C
■ JB i i
.i.di \2ri
DOS < lU
