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0,087 il)

Lorsque l'échelle de la projection est très-grande, il devient difficile de décrire les méridiens et les parallèles à l'aide du compas, et il est plus exact de construire par coordonnées leurs points d'intersection à l'aide des formules générales. Nous avons donné au g 5 du „ chapitre IV (1 M partie) le moyen de construire graphiquement dans

24f. '1' PARTIE. — CO\STRl T.TIMN ET ISACiE DES PROJECTIONS.

les projections perspectives méridiennes Jes valeurs de x et de y; nous n'y reviendrons pas.

PB0JECTI01» STÉEEOGBAPHIQCE HORIZONTALE.

S. Considérons maintenant le cas général où l'on veut construire la projection d'un hémisphère sur l'horizon d'un lieu 7, donné par sa latitude X, en supposant les longitudes comptées à partir du méridien de ce lieu. Le point de vue e>t le point diamétralement opposé au point Z.

Les équations des parallèles sont

(x* + »/') sinX -f- sin/) -f- 2«.r cosX + o 5 (sin/ — sinX) = 0, équation d'un cercle dont le rayon est

a cos / 2s.n- â - cos-^les coordonnées du centre sont

f/rosX

2 su, — eus —

Ces cercles coupent l'axe des x (lig. 07) qui représente le premier méridien en deux points n et n' dont les distances 5 et o' au centre de la carte sont

o = a tans — , — î o = o eotang — - — - z

pour l'équateur / = 0 ; on obtient donc

p 0 = n coséc X , o 0 — — «cotangX,

K — — a tiins 3 ; = » cotang « .

Les coordonnées des pôles s'obtiendront en faisant l = zt 90" dans l'expression de a p ; on aura ainsi

/j=fltang -- - ,

. 90 -X p = —a eotang — — .

CHAI'. I. — FROJF.r.TION STÉRÉOGR APHIQUE.

La distance des pôles est donc

pp' = 2« sécX.

Le milieu F de pp' sera donné par sa distance f au centre 0

L'équation des méridiens est

(** -f y r > sin / cos X -f 2fly cos / — Vax sinX sin f — a* sin * cosX = 0,

ou

O* -f- .y*; eos X -f 2<7// rotang / — 2flx sin X — o* cos X = 0, équation d'un cercle dont le rayon o m est

p m = r—: — = a sécX coséc /,

cos X sin <

et dont les coordonnées du centre sont

. a cotang f

On voit donc que les centres de tous les méridiens sont sur une perpendiculaire au premier méridien passant par le milieu de la distance des pôles, à une distance de ce point égale à

a cotang / séc X.

Nous allons maintenant nous occuper de la construction graphique.

On décrira d'abord ffig. 68) avec un rayon égal à celui de la sphère réduit à l'échelle de la carte une circonférence qui représentera l'horizon du lieu pris pour centre, et à partir d'un diamètre (0,180°) qui représentera le méridien du lieu, pris pour premier méridien, on divisera cette circonférence en degrés de chaque côté. On portera alors la latitude X du lieu central de 0° en P et 180° en P' et en joignant le point II' (00°) à P et à P' on obtiendra en p et p' les projections des pôles. On vérifie de suite sur la figure que

o/) = atang - — , op'=z a cotang — - — .

On déterminera deux points de chaque parallèle en portant sur la

248 2 e PARTIE. — CONSTRUCTION BT ISAGB DES PROJECTIONS.

circonférence de la carte, à droite et à gauche de P, le complément de sa latitude, et joignant ces points N et iY au point H' (00°). On voit ainsi que

/ — X ^ , /4-X 0« = tang — ^ ; On =cotang ' .

Le centre C de la projection de ce parallèle sera au milieu de nn' à une distance CO du centre de la carte égale à

co = - " ,,,,sX

2sin — — - cos — - — •> •>

le ravon sera la moitié de un

n ci i /

2 SI 11 — - — COS — r —

Pour déterminer l'équateur on aura de même les deux points e et e' et l'on remarquera que le cercle cherché devra passer par les deux points marqués 90°; d'ailleurs,

À X i V = tang - ; (V = cotang - .

Rappelons ici que lorsque la droite NN' qui correspond à une latitude / rencontre le diamètre (0,180°), c'est-à-dire lorsque la latitude du parallèle est plus petite que le complément de la latitude du lieu sur l'horizon duquel on construit, on a immédiatement deux autres points A A de la projection, en élevant au point de rencontre a une perpendiculaire au diamètre (0,180°) jusqu'à la rencontre de la circonférence de l'hémisphère. Les trois points A,n,A' toujours situés dans l'intérieur de la carte, suffiront pour construire le cercle dont le centre G devra, comme vérification, se trouver sur pp'.

Le parallèle tel que la droite NN' passera par le point H' (90°) , c'està-dire dont la lat itude sera égale à la latitude du point central, mais de dénomination contraire (boréale si X est austral, austral si X est boréal), sera seul représenté par une droite BIV perpendiculaire à l'axe (0,180°).

». Occupons-nous maintenant de la projection des méridiens. Tous les cercles que nous voulons construire passeront par les deux points p et p' et auront, par conséquent, leur centre sur la perpendiculaire KFK' élevée sur le milieu de pp. L'angle des tangentes au pôle an

CUAl'. 1. — PROJECTION STÉRÉOGRAPIIIQLE. 24!»

méridien principal et au méridien considéré étant conservé en projection , la tangente en p au cercle cherché fera avec pp' un angle égal à la longitude /; on élèvera donc la droite /-k faisant avec le diamètre (0,180°) qui contient déjà les pôles un angle 90° — t égal au complément de la longitude, et son intersection K avec la droite KFK' sera le * centre cherché.

Il suffira donc, pour tracer tous les méridiens, de décrire du point p une circonférence que l'on divisera en arcs égaux de 1°, 5°, 10°, etc. de joindre les points de division au centre p et de prolonger ces rayons jusqu'à la droite KFK' ; chaque intersection sera le centre d'un méridien dont Kp sera le rayon.

Lorsque la longitude du méridien diminue de 90° à 0°, le centre K s'éloigne de plus en plus du point F, et il devient alors difficile de décrire chaque circonférence. On détermine dans ce cas les deux points où chaque méridien rencontre l'horizon sur lequel on construit et l'on trace le cercle à l'aide de ces deux points et du pôle p, soit par points, soit 'd'un mouvement continu à l'aide d'une équerre mobile.

Si nous considérons sur la sphère (fig. 69) le triangle PMH formé par le premier méridien PH, par l'horizon HM et par le méridien considéré P.\I, nous voyons qu'il est rectangle en II, que l'arc PH = X, et que l'angle P = t ; on peut donc calculer l'arc 1IM= x, par la formule

tang z = sin X tang*.

En donnant donc à t les diverses valeurs des longitudes on déterminera par le calcul les points M et M' où chaque méridien perce l'horizon. Cette formule se construit graphiquement de la manière la plus simple.

D'un point quelconque, F par exemple, (fig. 68) du diamètre qui contient les pôles de la projection et représente le premier méridien, abaissons FD perpendiculaire sur la ligne PP\ Portons FD de F en G; faisons l'angle FGI égal à la longitude t considérée et joignons le point I au centre 0 de la carte-, cette droite coupera le cercle de projection aux points cherchés M et M'. En effet, l'arc PO étant égal à la latitude X du lieu pris pour centre, FD est égal à OA sin X; FI, dans le triangle FGI, est égal à FG tang t \ or FG = FD, donc

FI = OAsinX4angf;

et par suite

tang IOF = sin X tang ' , l'angle IOF est donc l'angle .r que nous cherchions. -

L'hémisphère (proj. n° III) a été tracé en projection stéréographique sur l'horizon de Paris.

ÎO. Pour terminer ce qui a rapport à la projection stéréographique, nous allons traiter quelques problèmes qui se présentent souvent.

1° Par deux points a et b donnés sur la carte, faire passer un arc de grand cercle (fig. 70).

Joignons l'un quelconque des doux points au centre de la carte; élevons sur te diamètre un autre rayon perpendiculaire OV et par le point V élevons VD perpendiculaire sur «V jusqu'à la rencontre du diamètre nO : le point I) sera évidemment un troisième point de la circonférence qui doit passer par a et h et dont on pourra par conséquent déterminer le centre C. Si F et F sont les intersections de cette circonférence avec celle de la carte, il est facile de démontrer que les trois points KO F sont en ligne droite, ce qui servira de vérification.

2° Trouver le pôle d'un grand cercle donné (fig. 71).

Si le grand cercle n'est défini que par deux points, on commence par le tracer comme nous venons de l'indiquer et l'on détermine son diamètre FF commun à la circonférence de la carte ; on construit aussi le diamètre perpendiculaire à FF et l'on joint au point F son intersection a avec le grand cercle ; cette droite prolongée détermine sur la circonférence de la carte un point A à partir duquel on porte un arc de 00° de grand cercle ; on détermine ainsi un point B que l'on joint au point F; le point 6 est le pôle cherché.

3° Par un point donné de la carte décrire un grand cercle faisant avec le plan de projection un angle donné y (lig. 7*2).

Si le point donné a est sur la circonférence de la carte, il suffira de mener le diamètre de ce point et le diamètre perpendiculaire et de faire en a avec le premier un angle ? égal à l'angle donné ; on déterminera ainsi le centre cherché C du cercle qui passera par a et b.

Si le point donné a n'est pas sur la circonférence, on décrira de ce point un arc de cercle avec osécep pour rayon, et du point central un second arc de cercle avecatang'f pour rayon ; ces deux arcs détermineront par leur intersection le centre C du grand cercle cherché.

4° Construire l'horizon d'un lieu donné par sa projection o (lig. 73).

11 suffira de décrire du point central 0 un arc de cercle d'un rayon égal à la cotangente de la latitude du lieu donné ; son intersection C avec le rayon du point a sera le centre cherché. On pourrait aussi

CHAP. 1. — PROJECTION STÉRKOGKAPHIQUK. 251

faire en R, extrémité du diamètre perpendiculaire au rayon Oa, un angle ORC égal au complément de la latitude du lieu donné ou à l'inclinaison de l'horizon cherché sur le cercle de projection.

5 8 Par un point donné a tracer un grand cercle perpendiculaire à un grand cercle donné.

On déterminera le pôle p du cercle donné et par les points a et p on mènera un grand cercle qui sera nécessairement perpendiculaire au cercle donné.

6° Trouver la distance de deux points donnés en projection (fig. 7 h).

Nous avons traité cette question d'une manière générale dans les projections perspectives (1) ; la construction que nous avons indiquée sera toujours applicable et fort rapide. On peut aussi résoudre la question de la manière suivante : cherchons le pôle p du grand cercle passant par a et 6; joignons pa etpb ; l'arc AR mesurera la distance cherchée.

7° Porter une distance donnée dans une direction donnée à partir d'un point de la carte (fig. 75).

Cette direction sera donnée par rapport à un arc de grand cercle tracé ou que l'on pourra toujours déterminer avec les données du problème. On mènera alors par le point donné la tangente à ce cercle, puis une droite faisant avec la première l'angle donné; cette droite devant être tangente au cercle cherché, il suflira de lui mener une perpendiculaire Ca pour avoir un lieu de son centre. Enjoignant le point donné a au centre delà projection, élevant le rayon perpendiculaire OV, joignant aV et faisant l'angle droit aVa', on déterminera en a' un second point du cercle cherché ; la rencontre du rayon déjà tracé Ca av< c la perpendiculaire élevée sur le milieu deaa' déterminera le centre G du grand cercle cherché.

Pour porter sur ce cercle une longueur donnée en degrés et fractions, on joindra a\ et l'on portera sur la circonférence de la carte de A en B l'arc de grand cercle qui mesure la distance donnée; on joindra VB et l'intersection b de cette droite avec le cercle que l'on aura tracé sera l'extrémité de la distance donnée.

8° Mesurer l'angle de deux grands cercles données (fig. 70). On détermine les deux pôles p et p' que l'on joint ensuite au point d'intersection a des deux cercles ; la (Jistance A A' évaluée en degrés et fractions sera l'angle cherché.

(1) Voir 1" partie, chap. t, § 7.

2 e PARTIE. — CONSTRUCTION fcT l'SAGK DtS PROJETIONS.

0» Par un point a donné sur la carte, mener un méridien et un parallèle (fig. 77).

Après avoir obtenu la ligne des centres des méridiens, KK', on élèvera une perpendiculaire sur le milieu de la droite pa qui joint le point a au pôle terrestre, et du point k comme centre on décrira avec Kp pour rayon l'arc ap qui sera la projection du méridien demandé.

Pour obtenir le parallèle du point a, remarquons d'abord que le centre doit se trouver sur la ligne des pôles po et qu'il suffirait d'un autre point de ce parallèle pour résoudre le problème. Si l'on avait la distance du point a au pôle p et que le méridien po fût gradué, le point de ce méridien situé à la même distance angulaire du pôle appartiendrait à ce parallèle. Cherchons donc (problème 6) la corde de l'arc de méridien qui, sur le globe, joint le pôle au point a, puis portons cette corde sur la circonférence de la carte supposée divisée afin de connaître le nombre de degrés qu'elle sous-tend. Le reste de la construction s'effectuera sans difficulté.

Le problème que nous venons de résoudre peut être énoncé ainsi :

Étant donnée la position d'un point en projection stéréographique, trouver sa longitude et sa latitude sur la sphère.

Si la construction que nous venons d'indiquer ne paraît pas donner une exactitude suffisante, on peut recourir aux équations des méridiens et des parallèles et calculer la longitude t et la latitude / en fonction des coordonnées œ et y du point donné. On tire en effet de l'équation des méridiens

cotang t = ~ sin X + ^ [ a* — (*■ + y») ] ;

et de l'équation des parallèles

. . a» — (x' + y») . . 2ax sin / = — J . sin X . — - cos X.

Dans le cas de la projection stéréographique polaire, ces équations se réduisent à

cotang f = - et sin / — ■ .

Dans le cas de la projection méridienne,

notant t = ^— 1 et sin / — . , — r .