PROJECTION ORTHOGRAPHIQUE

t. La projection orthographique est une projection perspective dans laquelle l'œil est supposé à une distance infinie de la surface de l'hémisphère à représenter qui, contrairement à ce qui a lieu dans la plupart des autres projections perspectives, est l'hémisphère antérieur, c'est-à-dire celui que l'on verrait directement. La projection orthographique est donc une véritable projection orthogonale dans laquelle chaque point se projette sur un plan convenablement choisi par une perpendiculaire abaissée sur ce plan ; il en résulte que la position de ce plan par rapport au centre du globe est tout à fait insignifiante et ne fait pas même varier l'échelle de la construction.

Nous ne tiendrons pas compte de l'aplatissement de la terre ; la projection orthographique, en effet, n'est et ne do : t être employée en géographie que pour la représentation des hémisphères entiers, car ses défauts sont considérables et ne peuvent être compensés que par les avantages qui ne résident que dans la facilité de son tracé.

*. Rappelons en quelques mots les altérations d'angles et de longueurs que nous avons calculées précédemment (1) .

Ln angle a fait sur la surface de la sphère par une direction quelconque avec un méridien sera représenté sur la projection par un angle p tel que

en désignant par 9 l'arc de grand cercle qui unit sur la sphère le sommet de l'angle au centre de la projection. Cet arc H se calculera comme nous l'avons indiqué au § 3 de la projection stéréographique.

n Voir\" p.vti,. rliap. V, Il et 12.

25* 2« partie. — construction et isagk des projections. L'altération est donc mesurée par

tanga

— tança

. cdsO tangafl — cose)

tancfS — a = = — .

{ . tang'a cos 0 -f tang* a

"*~ cosô

L'angle A de la sphère qui coiTespond à l'altération maximum B — A est donné par la formule

tangA=± y'cosO.

et l'angle correspondant B de la carte par la formule

ta0 « B = ± VSî-

de telle sorte que l'altération maximum est mesurée par

i /n k\ 1 — cos0 tang(B — A) = — — .

On voit que l'altération, nulle au centre, va en croissant avec 6, et que, à la circonférence de la carte, lorsque 9 = 90", elle est de90 # ; quant à l'angle le plus altéré A, il est de 45" au centre et décroît jusqu'à zéro.

Le rapport minimum tn 0 et le rapport maximum m des distances

élémentaires correspondantes de la carte et de la sphère autour d'un point situé à une distance 0 du centre correspondent, l'un au rayon qui joint ce point au centre, et l'autre à l'almicantarat, c'est-à-dire à la circonférence décrite de ce centre; le rapport M* des surfaces élémentaires de la carte et de la sphère est égal au produit m 0 w^, et l'on a

;// o = (OS0; /»tt=1; M* = COSÔ,

ce qui exprime que les almicantarats sont toujours projetés en vraie grandeur : sur les rayons le rapport minimum /// D est égal à l'unité au centre de la projection et décroit jusqu'à la circonférence de la carte où il est nul ; le rapport M* passe par les mêmes valeurs.

On voit donc que la déformation et l'altération des surfaces augmentent depuis le centre jusqu'à la circonférence ; si l'on considère