CHAP. H. — PROJECTION ORTHOGRAPHIQUE
On connaît ainsi le grand axe et un point p de l'ellipse cherchée, ce qui suffit pour la construire tout entière ; mais on peut déterminer directement le petit axe qui doit faire avec le plan de projection un angle égal à l'inclinaison du méridien considéré sur ce plan.
Dans le triangle sphérique PHM (fig. 81) dans lequel nous désignons HM par x, nous connaissons PH = X, et l'angle UPM = t \ nous avons donc
Cet angle M est facile à construire. Abaissons pM' (fig. 1) perpendiculaire sur le grand axe AA' que nous avons construit ; décrivons de p l'arc M'AI jusqu'à la rencontre du premier méridien et joignons MP ; l'angle pMP sera égal à l'angle M. En effet, comme l'arc As est, par construction, égal à l'arc x,
pM' = pM = pO sin x = a sin x cos X, pP = a sin X = a sin x cos X tang [pMP) ;
donc
tangpMP = ^ = tangM. sinx
On n'aura donc plus qu'à mener le rayon 06 parallèle à MP, à abaisser bb' perpendiculaire sur le premier méridien et à décrire du point central 0, l'arc 6'B jusqu'à la rencontre de la perpendiculaire élevée en 0 sur le grand axe AA'; OB' représentera le demi petit axe et la construction de l'ellipse s'achèvera facilement.
9. Occupons-nous maintenant des parallèles. A partir du point P (fig. 82) tel que ZOP = X, on portera sur la circonférence de la carte les arcs PN, PV qui mesurent le complément de la latitude, et l'on projettera N et N' sur le premier méridien par des perpendiculaires Nn, ISV; nn' sera le petit axe de l'ellipse cherchée et devra être égal à 2a cos l sin X. Gomme le grand axe de cette projection est le diamètre même du parallèle, lequel est égal à NN' = 2NC, il est clair qu'après avoir déterminé la projection y du centre, il faudra prendre sur Cy et de part et d'autre de nn' deux distances cy, c'y égales chacune au rayon CN du parallèle, c'est-à-dire à a cos /.
Les deux axes étant déterminés, il n'y a plus de difficulté pour tracer les parallèles. Parmi les méthodes connues la plus simple dans ce cas sera de décrire la demi-circonférence sur NN' comme diamètre, de la partager en arcs égaux, et du pied de chaque
2G0 :2 e PARTIE. — CONSTRUCTION LT LSÀGE DES PROJECTIONS.
corde telle que Àx d'abaisser sur nu' une perpendiculaire a.V sur laquelle on portera de part et d'autre de A' une longueur égale à la demi-corde Aa; a et a' seront deux points de l'ellipse.
Cette remarque permet de construire immédiatement la projection d'un point donné par sa latitude et sa longitude. On tracera d'abord la corde N Y à une distance de P égale au complément de la latitude comptée sur la circonférence de la carte, et l'on décrira la demicirconférence NAV; puis on fera en C avec NY un angle ACN égal au complément de la longitude donnée, on projettera le point A orthogonalement par deux perpendiculaires, d'abord sur YY, puis sur le premier méridien, et l'on portera sur la seconde perpendiculaire la longueur de la première Ax; le point a ainsi obtenu sera la projection cherchée. Comme la ligure est symétrique par rapport au premier méridien, on obtiendra en même temps les deux points de même latitude et de longitudes égales de part et d'autre de ce méridien.
On voit aussi que, si l'on commence par construire les projections des parallèles, on pourra obtenir pour chacun d'eux les points qui ont même longitude, et pour tracer ensuite les méridiens, il suffira de faire passer des courbes par les points correspondants.
s. Pour terminer ce qui a rapport à la projection orthographique, nous allons traiter plusieurs questions qui se présentent souvent.
1° Trouver la distance de deux points a et b donnés sur la carte (lig, 83).
La solution que nous donnons ici n'est qu'un cas particulier de la solution générale que nous avons donnée en traitant des projections perspectives en général. Kn chaque point donné, on élèvera une perpendiculaire sur le rayon de ce point, et l'on reportera, par deux arcs de cercle A'A, B'B, sur les perpendiculaires «A, 6B, élevées sur ab les longueurs des demi-cordes ainsi obtenues. La droite AB représentera la corde de la distance cherchée ; il suffira de le porter sur la circonférence de la carte préalablement divisée en degrés et fractions pour mesurer l'arc sous-tendu.
2 U Par deux points a et 6 donnés sur la carte, faire passer un arc de grand cercle (lig. 84).
La solution de ce problème n'offrira aucune difficulté à ceux qui connaissent les éléments de la géométrie descriptive. On mènera le diamètre de l'un des points et l'on élèvera les perpendiculaires aa\
CHAP. n. — PROJECTION ORTHOGRAPHIQHB. 261
bb'fi; sur cette dernière on portera à partir de une longueur égale à la demi-corde AJ3 du point 6 ; on joindra a'b', et ab, et l'on prolongera ab jusqu'à la rencontre de la perpendiculaire élevée en c, intersection de a'b' avec le diamètre de a; le diamètre m'oc' sera la trace du plan du grand cercle sur le plan de projection, et, par conséquent, mm' sera le grand axe de l'ellipse passant par a et 6, et qu'il sera, dès lors, facile de construire par points.
3° Construire l'horizon d'un lieu donné par sa projection (fig. 85).
Ëlevez la corde aA perpendiculaire sur le rayon du point donné a, et portez sur la circonférence de la carte un arc de 90° à partir de A, ce qui revient à élever le rayon oB perpendiculaire sur le rayon oA ; puis abaissez Bb perpendiculaire sur le rayon oa prolongé ; ob sera le demi petit axe de l'ellipse cherchée, dont le grand axe sera le diamètre HH r perpendiculaire sur oa.
A 0 Étant donnée la [position d'un point a en projection orthographique, trouver sa latitude et sa longitude.
On construira le méridien du point a, c'est-à-dire l'arc de grand cercle passant par ce point et par la projection p du pôle, comme nous l'avons indiqué au problème 2, et l'on cherchera la distauce ap pour avoir le complément de la latitude.
La construction se simplifie si la projection est faite sur le plan d'un méridien. 11 suffira, par le point donné, de mener une parallèle à l'équateur pour avoir le parallèle de ce point; on décrira ensuite une demi-circonférence sur cette corde et l'on élèvera une perpendiculaire par le point donné; en joignant le point d'intersection A au centre de la demi-circonférence, on formera avec la ligne des pôles prolongée l'angle qui mesure la longueur cherchée.
COÀP. III. — rROJKCTIOÏÏ CENTRALE.
