PROJECTION CENTRALE 00 GN0H0NIQ0E

1. La projection centrale est une projection perspective faite sur un plan tangent à la sphère, et dont le point de vue est au centre du globe ; chaque point de la carte est donc à l'extrémité de la sécante passant par le point correspondant de la surface sphérique. 11 en résulte que la projection de tout grand cercle de la sphère est une ligne droite.

Ce tracé ne peut convenir pour représenter un hémisphère entier, les sécantes s' approchant de plus en plus d'être parallèles au plan de projection à mesure que le point considéré s'éloigne du point central ; aussi cette projection exige-t-elle pour représenter la surface entière du globe au moins quatre plans différents (1).

Nous ne tiendrons pas compte de l'aplatissement parce que cette projection ne devant être, à cause de ses défauts, employée que fort rarement en géographie et seulement pour de grandes cartes physiques comme l'a fait M. Élie de Beaumont, la forme sphéroïdale de la terre ne peut apporter de modifications appréciables.

». Rappelons en quelques mots 1rs altérations d'angles et de longueurs que nous avons déjà calculées (2).

L'angle le plus altéré de la sphère est exprimé par

UngA = ±\/e^

en désignant par 0 l'arc de grand cercle qui unit sur la sphère le sommet de cet angle au point central. L'angle correspondant B de la

carte est donné par

tangB = ± y/cosO,

(1) Voir l" partie, chap. IV, § 8.

[ï) Voir I» partie, chap. V, §

de sorte que

4 — oos6

tang(B-A) =

2ycos0

Cette dernière formule montre que l'angle de la sphère est toujours diminué en projection, que l'altération, nulle au centre, va en croissant avec 6, et qu'à 90° du centre elle est de 90°. Quant à l'angle le plus altéré A, il est de 45° au centre et croît jusqu'à 90°.

Le rapport maximum des distances élémentaires correspondantes de la carte et de la sphère se rapporte à l'arc de grand cercle qui unit le point considéré au centre de la projection et s'exprime par

w °=coW'

le rapport minimum, qui se rapporte à l'almican tarât de ce point, est exprimé par

m ï = c^ê' le rapport M" des surfaces élémentaires par

cos'e

On voit donc que chacun de ces rapports est égal à l'unité au centre de la projection, et infini pour 0 = 90°.

3. Les points de la projection centrale peuvent toujours se construire à l'aide de leurs coordonnées x et y exprimées par les formules suivantes que l'on obtient en faisant dans les équations générales des projections perspectives D = 0, et multipliant le résultat par a pour exprimer que le plan de projection ne passe plus par le centre, mais est tangent à la sphère :

a(sinX cos/cos/ — cosXsin/) ~~ cosXcos/cosr-f-sinXsin/ '

acos/sinf

y ~ cosXcos/cosf -f- sinXsin/*

Ces formules générales se modifient dans les deux cas particuliers de projection équatoriale et de projection méridienne que nous allons étudier d'abord.

% CHAP. m. — PEOJECTION CENTRALE. 265

FBOJSCTIOE CEXTEALE POLAIEE OU EQUATOBIALE

4. Le pôle étant pris pour centre, le plan de projection est parallèle à réquateur; faisons donc dans les formules précédentes X = 90*; il vient

x = acotang/ cos t, y = acotang/sinf.

L'équation des méridiens est alors

y = xtangf;

les méridiens sont donc des droites passant toutes par le centre et faisant avec l'une d'elles, prise pour premier méridien, les angles qui expriment leurs jlongitudes.

L'équation des parallèles est

p* = X* -f- y % = a* cotang* / ;

les parallèles sont donc des cercles concentriques ayant pour rayons les cotangentes de leurs latitudes.

La construction graphique est des plus simples (fig. 87). On partage la circonférence de la carte en degrés et l'on joint le centre aux points de division qui expriment les latitudes comptées à partir du diamètre AA ' perpendiculaire au premier méridien; ces rayons prolongés interceptent sur la tangente TT parallèle à ce diamètre, les rayons des parallèles.

La projection n* XXIV a été dressée dans ce système.

PBOJECTIOH CEETEALE 1ÉIIDIEEEE.

ft. Nous prenons pour plan de projection le plan tangent en nn point de l'équateur et perpendiculaire au premier méridien ; faisons donc dans les formules générales X = 0 ; il vient

* = — a ^s7» et y = atang<.

L'équation des méridiens est donc

y = ûtangf;

celle des parallèles est

y* — x* cotang» / -f à* = 0;

les méridiens sont donc des droites parallèles faciles à construire, et les parallèles des hyperboles dont l'axe transverse dirigé dans l'axe des x est égal à 2a tang/, et dont l'autre axe perpendiculaire au premier méridien est égal à 2a.

Le moyen le plus commode et le plus exact de construire ces hyperboles par points sera d'employer la coordonnée x qui se calculera facilement à l'aide de la formule

tang/

et de calculer les intersections dos parallèles avec les méridiens déjà tracés en donnant à / une certaine valeur, puis faisant venir t de de 5 en 5 degrés ou de 10 en 40 degrés.

La projection n° XXV a été construite dans ce système

PlOIECTIOR CENTRALE B01IZ0ITALE.

6. Arrivons au cas général où le plan de projection est tangent en un point quelconque dont la latitude est X L'équation des méridiens est

ycosf — xsinXsin/ = « cosXsinf,

équation d'une droite faisant avec le premier méridien, qui est l'axe de x , un angle 0 tel que

tang Q = sinX tang r,

et coupant ce premier méridien en un point n, projection du pôle, distant du centre de

0/j = acotangX.

L'équation des parallèles est y* sin* / -|- x 1 (sin* / — cos'X) -\- 2ax cos X sinX -f- a* cos 1 X — a* cosV = 0,

équation d'une section conique dont le grand axe coïncide avec le premier méridien et qui est

une ellipse sisin/>cosX ou l>90 n — X, hyperbole sin / < cosX / < 90° — X,

parabole sin/ = cosX / = 90* — X.

Considérons successivement ces trois cas.