CHAP. III. — PROJECTION CENTRALE. J

1" cas. I > 90° — >>. Les demi- axes A' et B' de l'ellipse sont a sin2/ acos/

î^inW-cos'X)' ■ vs i n »/ cos .x ,

les coordonnés a' et (3' du centre

« sin2X a ~" 2(sin î /-cos , /) ;

2* cas. I < 90°— >. Les demi axes de l'hyperbole sont

asinî/ asinX A = 77 — . „ i B =

cos(/ — X)cos(/-f X)' vW' — JOcostf + X)'

et le centre est à une distance du centre de la carte égale à

a sin 2X

" 2cos(/ — X) cos(/ + a)"

3 e cas. l = 90« — \. L'équation des parallèles est alors y» sin ! X -f or sin 2X — a* cos 2X = 0.

En appelant P le demi paramètre, c'est-à-dire le double de la distance du sommet au foyer de la courbe, et a' et les coordonnées du sommet, on a

P = — 2acotangX; «=ûcotang2X; p' = 0.

Pour l'équateur on a J=0; son équation est donc

x = atangX,

équation d'une droite perpendiculaire au premier méridien, et située à une distance du centre égale à atang> = 0e (fig. 88). Gomme Op = acotang^,

pt=pO + Oe = a cotangX + atangX = — .

donc

a tang t

^ = ^etange, ou « = Au lieu de tracer directement les parallèles, il est plus commode

268 2« PABTIE. — CONSTRUCTION ET CSAGB DES PROJECTIONS.

de déterminer dans les méridiens pm, pm\ pm" préalablement tracés les points dont la latitude est I, puis de joindre ces points par une courbe.

Cherchons donc la projection m du point M dont la longitude est t =OPM et dont la latitude est l = 90» — PM ; la question revient à trouver la distance pm.

D'abord, dans le triangle CpO,

CO a sinX sinX

Dans le triangle Cpm,

+ Cpm = 1 80» — pCm = 90' + /,

Cmp = 90° -f / — Cpm.

Appelant h l'angle Cpm et 9 l'angle Opm ; le trièdre dont les arrêtes sont pP, pO, pm, nous donnera

cos k = cos 0 cosX,

et le triangle Cpm

„ sin »Cw a cos/

" * sin Cmp sinXcos(/ — k)*

expression qui donne la distance cherchée en fonction de a, i, (. Nous déterminerons d'abord k par la formule

, cos A

cos& =

Vl+sin'Xtang'*

qui montre que k reste constant pour tous les points d'un même méridien. Pour chaque valeur de l on déterminera ensuite pm par l'expression

a cos/

pm =

sinXcos(7 — k)'

». Voyons comment on peut construire graphiquement ces différentes valeurs.

A partir du point central 0 (fig. 89), on portera sur le premier méridien Op une largeur Op égale à la cotangente de la latitude X de ce point, cotangente que l'on construira facilement en élevant OC perpendiculaire sur Op et égal au rayon a réduit à l'échelle de la carte, et faisant en G l'angle pCO éçal a 90°— X. On construira de même