CHAP. III. — PROJECTION CENTRALE

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Oe = atangA en menant Ce perpendiculaire sur Cp. On élèvera ensuite te perpendiculaire sur Ce, et, en menant de G des droites faisant avec Ce des angles égaux aux longitudes des méridiens que l'on veut construire, on déterminera sur ee les longueurs que ces méridiens intercepteront sur l'équateur représenté par eE perpendiculaire sur pe.

Si nous nous reportons en effet à la figure qui précède celle que nous construisons, nous voyons que la droite te est perpendiculaire sur Ce et que, dans le triangle de l'espace Cee situé dans l'équateur, les intersections des méridiens doivent faire avec Ce des angles égaux à leurs longitudes respectives.

On portera donc sur eE les longueurs et/ interceptées sur ee, en décrivant de e des arcs de cercle, et en joignant les points ja ainsi obtenus au point p, on aura tracé les méridiens de la projection.

a tan g t

11 est facile, du reste, de vérifier que e^ est égal à , va-

leur que nous avons trouvée par le calcul.

Cherchons maintenant le point de chaque méridien dont la latitude l est donnée. Revenons encore à la figure qui précède et considérons le triangle de l'espace Cpe dont le côté Ce est dans l'équateur et qui est, par conséquent, rectangle en C. Son intersection PM avec la sphère est le méridien dont la projection est pm et sur lequel le point M est situé à une distance MP du pôle P égale à 90° — /. La droite CM prolongée détermine par son intersection avec l'hypoténuse pc le point m cherché. 11 est facile de construire ce triangle Cpe sur la figure auxiliaire. Il suffira de porter sur la ligne Ce, déjà tracée perpendiculairement à pC, la distance C6 = C|x' qui correspond à la droite Ce de la figure précédente. La droite pb sera égale à la distance du pôle à l'équateur de la carte et par suite à p|A, et pourrait donc s'obtenir en décrivant de p un arc de cercle avec p\i. pour rayon ; mais la construction précédente sera toujours préférable.

On n'aura plus ensuite qu'à mener une droite telle que Cm' faisant avec Ce l'angle m'Ce égal à la latitude donnée /, son intersection m' avec la droite pb déterminera la distance pm' que l'on reportera de p en m sur le méridien déjà tracé pji.

Nous avons déjà supposé l'arc décrit de C avec Co = a pour rayon, divisé en degrés à partir du rayon Ce pour construire les méridiens; on pourra donc lire immédiatement sur cet arc les latitudes données et diviser très-rapidement chaque méridien de 5° en 5° ou de 10* en

10°. Il ne restera plus ensuite qu'à faire passer des courbes par tous les points de môme latitude.

Il est facile de vérifier que pro est égal à

acos/ pm sin Xcos(/ — k)'

comme nous l'avons trouvé par le calcul.

La projection n* XXVI a été construite sur l'horizon de Paris.

8. La projection centrale est peu employée en géographie, mais elle l'est plus souvent pour représenter une partie du ciel. Supposons (fig. 90) que l'on prenne le plan de projection perpendiculaire sur l'horizon ORH d'un observateur C dont la latitude géographique est représentée par <p, et que ce plan de projection soit assujetti à la condition de rencontrer l'horizon au point 0 dont l'azimut est u>; soit Z le zénith de l'observateur G et P le pôle.

Menons le méridien PZR de l'observateur G, et le vertical ZO qui fait avec ce méridien l'azimut donné I\Z0 = w. L'arc PZ est égal au complément de la latitude de C, c'est-à-dire à 90° — ©.

Gontinuons, pour rendre les formules précédentes applicables à ce cas particulier, à appeler \ le complément de l'angle PCO. Dans le triangle sphérique PZO nous connaissons le côté PZ =90° — <p; l'angle PZO = 180° — o>, et le côté ZO qui est égal à 90 # ; nous pouvons donc calculer l'angle ZOP = <J* et le côté PO = 90* — X à l'aide des formules

sin X = — - sin <p cos u>, tang «V = sin u> cotang <p.

Si, dans le plan de projection, Op représente la projection du méridien 01» et Or la projection de l'arc de grand cercle OZ, l'angle zOp est égal à l'angle ZOP = $ ; de même Oh perpendiculaire à Os représentera la projection de l'horizon ORH et te perpendiculaire à pi la projection de l'équateur KE'.

Traçons la ligne oh (fig. 91), projection de l'horizon; élevons la perpendiculaire oz et faisons l'angle zop = <}, l'angle ^ étant calculé à l'aide de la formule

tang-V = cotang o sin w ;

o/> représentera le premier méridien. Pour trouver le point p on calculera d'abord X à l'aide de la formule

sinX =

— sin? cos <<>,

r.HAP. III. — PROJECTION CENTRALE.

puis op par la formule

o/î = acotangX;

on prolongera ensuite op d'une longueur oe égale à a tang X et la perpendiculaire zh à pos représentera l'équateur. La construction s'achèvera alors comme précédemment.

9. Nous terminerons l'étude de la projection centrale en donnant la solution du problème suivant :

Trouver la distance de deux points donnés sur la carte.

Dans la projection centrale tout grand cercle étant représenté par une ligne droite, la plus courte distance de deux points se trace immédiatement ; il est très-facile d'en trouver la grandeur.

En appliquant ici la solution générale de ce problème que nous avons donnée pour toutes les projections perspectives, on voit qu'il faut élever en 0 (lig. 92), centre delaprojection, deux perpendiculaires à ao et 06, rayons des deux points donnés, et les prendre égales au rayon de la sphère; puis avec les trois côtés ab déjà connus, aC et 6C" ainsi déterminés, construire le triangle aCb, et enlin décrire du point G avec un rayon égal à celui de la sphère, un arc de cercle AB qui mesurera la distance cherchée en degrés et fractions.

CHAP. IV. — PROJECTION DE LA liRAÎSGE. 27ï