CUAP. IV. — PROJECTION DB LA GRANGE
, AU-.) . ( *-«*"«'jt.n B |)
= i = -Tfr = A -' : —
+ cotang ^ tang 0 La distance ON' du second point d'intersection est exprimée par
(l — cotang^ tang |j Enfin, le rayon p p a pour valeur
2Aw A* —-5*
Cette expression se construit facilement quand on connaît 8= ON; il suffit d'élever NB perpendiculaire sur VV jusqu'à la rencontre en B de la circonférence décrite sur PP', de prendre OD = ON, et de décrire une circonférence ayant son centre sur PP' et passant par D et B; ce centre sera l'intersection de PP' et de la perpendiculaire élevée sur le milieu de DB ; l'intersection de cette circonférence et de PF prolongé sera le centre du parallèle cherché. On a en eflet
NB' = PO 1 — ON» = ND . DC, ou A* — S* = 28 9p .
Il est facile de voir que les distances d'un point quelconque d'un cercle de colatitude z aux deux pôles P et V sont entre elles dans le rapport de n à 1, c'est-à-dire de
(.angî)" à (tagi)**.
Sur la surface de la terre la circonférence de chaque parallèle est
divisée par les méridiensen parties proportionnelles aux différences de longitude; il n'en est plus de même sur la carte, mais il est facile de démontrer que si A est un point quelconque ayant pour longitude ( et pour complément de sa latitude r, la tangente trigonométrique de l'angle APP' sera exprimée par
• »nrw x P'NsinScf tongAPP< = = 1)N + p , Ncos2f<)
ce qui fournit la construction suivante pour trouver l'angle APP'.
Qu'on décrive du point N comme centre avec le rayon NP' une circonférence, et qu'on la divise à partir du pôle F en parties qui correspondent aux angles *tct ; qu'on mène ensuite de l'autre pôle P à chacune de ces divisions des droites PA prolongées s'il est néces lignes diviseront le parallèle du point N en parties N'A correspondantes à la différence de longitude t entre les méridiens PP' et PAMP'.
Le cercle dont il s'agit s'appelle, à cause de cette propriété, un cercle diviseur; et, dans la projection stéréographique que l'on obtient en supposant c = |, les arcs de ce cercle expriment précisément les différences de longitudes.
Cette construction permettra, lorsque les parallèles seront tracés, de déterminer par points les méridiens dont le centre sortirait des limites de la feuille.
Lorsque, dans la projection de Lagrange, on veut tenir compte de l'aplatissement de la terre, il suffit de remplacer, dans les formules précédentes, les distances polaires z et r, par les distances Ç et Ç. corrigées en tenant compte de l'aplatissement, et calculées dans la table III.
a. En un point quelconque de latitude l = 90°— z et de longitude /, le rapport des distances élémentaires correspondantes de la carte et du sphéroïde est, comme dans toutes les projections orthomorphes, indépendant de la direction de ces distances ; il a pour valeur
AcA v'4 — e t cos*z
afin s
+ acos2c/ + l j
Si l'on suppose la terre sphérique, cette expression se réduit à
+ 2cos2cf -f- 1
\laug£ /
Le point de la carte où ce rapport m diffère le moins de l'unité, c'est-à-dire où l'altération est minimum % est situé sur le méridien PP'
