BB' AB

bb' ab' '

Or puisque les méridiens sont représentés par des droites perpendiculaires à l'équateur OE et équidistantes, l'élément AB' est égal à l'élément correspondant a£ de l'équateur développé; nommons ds un élément du méridien de la terre, dS l'élément correspondant du méridien de la carte, l la latitude de l'extrémité de l'arc elliptique S dont l'origine est à l'équateur, r le rayon du parallèle dont la latitude est /, a celui de l'équateur, c'est-à-dire le grand axe de l'ellipse, e le

rapport de l'excentricité au demi grand axe (e = ^ a 6 ^ .

L'égalité précédente devient

lï~ ab'~ r'

ou

cos/(i-e 4 sin'/)'

Pour avoir la longueur S il suffira d'intégrer le second membre de cette égalité. Multiplions au numérateur e* par sin* I + cos* l = 1 , nous pourrons alors écrire

JO adl e'cos/

do = : — aal — . i- ;

cos/ (1 —e'sin'/)'

d'où, en prenant les intégrales entre l'équateur et la latitude I,

p 1 rf(sin/) ç l djeùnt)

S ^ a J o l-sin , /"" Û<? J 0 l- e «sin'/*

L'intégration donne immédiatement en logarithmes vulgaires

„ a (\ , 1+sin/ 4 , J-fesinA

s= M(2 ,0g r^-2 el0g r^/)'

formule dans laquelle M, module des logarithmes décimaux, est égal à