CHAP. V. — PRQJECTIOH DE MERCATOR

Remplaçant f ^ f tang' (45° + et log 1 ^ e sin f par son développement en série.

2 ( esin ,+(î^ +

.-^■^(ir+J)-,*!-*** ).

En exprimant en minutes le rayon a de l'équateur et remplaçant

u et par leurs valeurs, on obtient définitivement

S = 79 1 5',70467 4 log tang ^5' + ~j — 3437',7 fa shW + il^l!^ p

formule dans laquelle il suffira de tenir compte du terme en «* et de négliger les suivants ; la distance S sera exprimée en minutes de l'équateur.

Nous reproduisons à la fin de ce chapitre une table de latitudes

croissantes calculée par Riimker (1) en supposant l'aplatissement

* = 303 = °' 00330033 ' ce <I ui donne c ' = 0,0065897. La même

table pourrait encore, sans erreur sensible, servir pour un aplatisse* ment différent, car, si l'on calcule la longitude de l'arc de 82° dans

les quatre hypothèses de gJ^-, jL, ^ jjj, on trouve

pour

ce qui montre que les deux hypothèses de a = et de a = ^-^

donnent pour cet arc de 82° une différence égale à deux dixièmes de minute environ ; de 0 à 45° cette différence n'est que d'un dixième.

(I) Handbuch der Schitfahrts-Kundc, von C. Rumk*.

Lorsqu'on aura fixé, en millimètres par exemple, la longueur m que doit avoir sur la carte la minute de l'équateur, on aura de suite avec ces tables le facteur par lequel il faut multiplier cette valeur pour obtenir la grandeur de la minute de latitude croissante correspondant à une latitude connue /. Si n et n' sont les nombres de minutes de l'équateur contenues dans des arcs de méridiens de (° + 10' et P — 10', la longueur de la minute de latitude croissante correspondant à la latitude l sera exprimée par

Par exemple à la latitude / = 49° on a

( /•-}-i0' = 49 o ,10' n'= 3380',i pour £ /-|0' = tô°,50' n= 3349',7

20 min. de latitude croissante à 49' = n' — n = 30',4 de l'équateur.

Par conséquent si l'on prend pour m la valeur m = 0 m ,027i (longueur adoptée dans les cartes particulières du Pilote français) on aura

une minute de latitude croissante j 30,4 X O m fiTJ sous le parallèle de 49'. ... I 20 ~ 0 ,04, •

La mappemonde n* VIII a été construite dans ce système.

Il est maintenant facile de tracer le canevas d'une carte particulière : supposons par exemple une carte s' étendant sur 9* 40' de longitude et depuis 49* 20' jusqu'à 55* de latitude nord. On tirera (fig. 95) une ligne horizontale AB sur laquelle on portera la grandeur choisie pour minute de l'équateur autant de fois qu'il y a de minutes dans 9* 40'. Par les points de division correspondant soit aux degrés, soit au demi-degré, on élèvera des perpendiculaires à la ligne AB ; puis, sur les deux méridiens extrêmes, les deux bords verticaux de la carte, on portera à la suite les uns des autres des nombres de minutes de l'échelle AB donnés par la troisième colonne de la table.

Différence* :

51 3551',! J *'l 5« 3647',3 Jj*

53 3745 > 6 iOO\6

54 3846', 2 inr'i

CHAP. V. — PROJECTION DP. MEtCATO». 285

Par les points de division correspondants on mènera des droites parallèles à la droite AB pour représenter les parallèles de degré en degré. Suivant la dimension donnée à la minute de l'équateur, l'importance de la carte, et aussi la latitude extrême à laquelle elle doit s'étendre, il pourra être nécessaire de déterminer par le calcul les parallèles espacés de 30 minutes ou même de 10 minutes ; mais le plus souvent la longueur de 10 minutes de latitude croissante sera partagée en dix parties égales pour achever la graduation des côtés verticaux de la carte, l'erreur commise ainsi étant presque toujours sans influence et même inappréciable.

s. La construction montre que l'échelle varie en chaque point avec la latitude ; les distances se déterminent cependant très-facilement, ainsi que nous allons l'expliquer.

Considérons (fig. 96) deux points A et B de la carte et cherchons leur distance comptée sur l'arc de loxodromie qui les unit. Pour cela traçons cet arc sur la sphère entre les deux points a et 6 qui correspondent aux points A et B de la carte, et divisons cet arc en un trèsgrand nombre d'arcs égaux, puis menons, par les points de division, des méridiens et des parallèles ; nous formerons ainsi une série de petits triangles tels que bmn qui sont égaux puisque la ligne a 6 est également inclinée sur tous les méridiens. La somme de leurs côtés dirigés suivant les méridiens est égale à ab multiplié par le sinus de cette inclinaison constante ; elle est égale d'autre part à la différence des latitudes de a et de 6 multipliée par le rayon de la sphère. De là la solution suivante :

On prend sur l'échelle des parties égales une longueur correspondant à la différence des latitudes des deux points considérés, c'est-àdire autant de minutes de l'équateur qu'il y a de minutes dans la graduation en latitude de la ligne c$ déterminée par les parallèles des points A et B. On porte cette longueur sur le méridien du point A en AC par exemple, et l'on mène le parallèle du point C qui coupe AB en B'; la longueur AB' évaluée en minutes sur l'échelle des parties égales donne en milles la distance cherchée. Pour la réduire en mètres il suffira de la multiplier par 1855 m ,l qui est la longueur de la minute de l'équateur.

Toutes les questions de pilotage se ramènent à celle-là. Les marins la simplifient encore le plus ordinairement en mesurant directement sur l'échelle des latitudes croissantes la longueur de la droite AB, admettant ainsi pour un instant que la minute de latitude ne

286 2« PARTIE. — CONSTRUCTION BT USAGE DBS PROJECTIONS.

varie pas du point A au point B. Les deux triangles ABC, ABC donnent en eiiet

AB AC différence des latitudes croissantes W~ÂC ~ différence des latitudes '

si donc les divisions de l'échelle des latitudes étaient égales, en portant AB sur l'échelle des latitudes on obtiendrait le même nombre qu'en portant AB' sur l'échelle des longitudes. Comme ce nombre, c'est-à-dire la distance en milles des deux lieux A et B, est toujours petit, on peut supposer les divisions de l'échelle des latitudes égales par le travers des deux points A et B. Alors, pour évaluer la distance de A à B, on porte avec le compas cette ligne AB dans la partie de l'échelle latérale qui comprend les parallèles de A et de B, et la différence des graduations lues à chaque pointe du compas donne immédiatement en milles la distance cherchée.

Lorsque la direction donnée AB (fig. 97) se confond avec un parallèle, ou, en d'autres termes, lorsque les lieux A et B ont même latitude, on peut encore employer le moyen abrégé que nous venons d'indiquer. Pour avoir la distance exacte, on mène à l'une des extrémités A une droite AG faisant avec AB un angle égal à la latitude du lieu A, et l'on abaisse du point B une perpendiculaire BG sur cette ligne ; la longueur AC portée sur l'échelle des longitudes donnera le nombre de milles contenus dans AB ; c'est ce que l'on nomme le chan-

AC

gement en longitude. On a effet AB = , comme sur la sphère.

Nous avons montré précédemment (1) que dans la projection de Mercator le rapport des longueurs élémentaires correspondantes de la carte et de la sphère, constant autour de chaque point, est exprimé par

cos/'

en supposant la terre sphérique ; le rapport des surfaces élémentaires qui se correspondent sur la carte et sur la sphère est donc exprimé par

m cos*/'

(I) Voir V partie, chap. II, § 3.

CHAP. — PlOJSCTIOIf DH MUCATOR. 287

L'erreur sur les surfrces croît donc avec I et devient infinie au pôle; mais cette erreur importe peu pour les besoins de la navigation.

TllC* DE L'AtC DE CHAUD CEI CLE SOI LES CASTES 1ÉDUITES.

4. Nous avons vu que la manière la plus simple de diriger un navire entre deux points donnés par leur latitude et leur longitude est de lui faire suivre l'arc de loxodromie qui passe par ces deux points. Cet arc, représenté sur la carte par une ligne droite, n'est pas en réalité le chemin le plus court, car, sur la sphère, le plus court chemin d'un point à un autre est l'arc de grand cercle qui les unit ; il faut donc, pour abréger autant que possible une traversée, suivre l'arc de grand cercle, ou du moins des portions successives de loxodromie s' écartant le moins possible de ce cercle.

Sans discuter quels sont les avantages et les difficultés de la navigation orthodromique, nous allons donner les moyens de tracer l'arc de grand cercle sur les cartes réduites, en supposant, pour plus de facilité, la terre sphérique.

Il serait facile d'obtenir l'équation de la projection d'un arc de grand cercle; mais comme cette courbe est transcendante, sa construction serait longue et pénible ; on se contente donc de déterminer ses points d'intersection avec les méridiens ou les parallèles de la carte en cherchant leurs latitudes et leurs longitudes sphériques, et se servant de ces coordonnées pour les reporter sur la carte réduite ; cette méthode est évidemment applicable à tous les systèmes de projection, puisqu'elle est indépendante de la loi de leur tracé ; mais ce n'est que sur les projections orthomorphes, comme la projection de Mercator, qu'il est possible de mesurer immédiatement l'angle de route sur chacune des petites droites qui joignent les points d'intersection deux à deux et dont l'ensemble représente, avec une exactitude suffisante, l'arc de grand cercle cherché.

Cette méthode, qui peut donner une exactitude très-grande, devient, en pratique, d'une longueur fastidieuse. Le calcul par luimême est assez compliqué et ne peut guère être fait d'avance de manière à permettre de tracer l'arc de grand cercle entre le point de départ et le point d'arrivée; car, en navigation, plusieurs causes viennent chaque jour dévier le navire de la route qu'on cherche à lui faire suivre : ces causes sont les courants, les dangers à éviter, les vents favorables dont il peut être avantageux de profiter, etc.. etc.

D'un autre côté, les angles que l'on doit reporter chaque jour au compas n'ayant besoin que d'être connus à un quart de degré au plus, il devient inutile de recourir au calcul pour obtenir une exactitude plus grande ; les constructions graphiques suffiront donc dans presque tous les cas.

Parmi tout&s celles qui ont été proposées, la suivante, très-expéditive, suffira pour déterminer le rumb de vent que doit suivre le navire pour marcher selon l'élément loxodromique tangent au point de départ à l'arc de grand cercle, et pourra être répété en tout point dont on connaîtra la latitude et la longitude, et qui pourra, par conséquent, être pris comme nouveau point de départ.

Considérons dans la sphère (fig. 98) le trièdre ayant pour sommet le centre de la sphère et formé par les méridiens des points de départ et d'arrivée, et le plan du grand cercle considéré. On connaît dans ce trièdre deux angles plans et le dièdre compris, savoir : le complément o de la latitude du point de départ A, la colatitude 3' du point d'arrivée B, et la différence A des longitudes de ces deux points. On cherche l'angle PAB = a, c'est-à-dire le dièdre opposé à la face o'.

Ce problème se résout très-facilement par des considérations élémentaires de géométrie descriptive. Nous nous contenterons d'en indiquer la solution sans en donner la théorie que nos lecteurs trouveront de suite.

Tracez deux droites rectangulaires PO et BA. En un point O de la première, faites avec PO l'angle POB égal à la colatitude 2' du point d'arrivée ; du point P décrivez la demi-circonférence BCB' avec PB pour rayon. Ces premières constructions serviront pour toute la traversée. Faites en P avec PA l'angle APC égal à la différence A des longitudes ; abaissez (X' perpendiculaire sur AB ou parallèle à OP, puis CD perpendiculaire sur la ligne OA construite préalablement en faisant avec PO l'angle POA égal à la colatitude o du point de départ, c'est-à-dire du point actuel où se trouve le navire. Enfin de C comme centre décrivez l'arc DE et joignez le point E au point C ; l'angle BEC sera l'angle cherché, l'angle de route initial : il suffira de le nommer avec le rapporteur pour le reporter sur le compas du navire, en agissant sur le gouvernail.

On peut encore déterminer avec une exactitude suffisante les coordonnées géographiques des points d'intersection d'un arc de grand cercle avec des méridiens pris arbitrairemeut, en construisant un canevas auxiliaire sur lequel on puisse tracer facilement les méridiens

CHAP. V. — PROJECTION DK MCIK ATOR. 289

et l'arc de grand cercle dont on pourra ainsi déterminer les intersections; les latitudes et longitudes de ces points seront ensuite reportées sur la carte marine et permettront de tracer l'arc assez exactement par une série de petites droites.

Le canevas qui parait le mieux convenir pour ce but est celui de la projection centrale où tous les grands cercles sont représentés par des droites. On mènera donc par un point qu'on pourra prendre sur la marge de la carte marine deux droites faisant entre elles un angle égal à la différence des longitudes des deux points de départ et d'arrivée. Dans la projection centrale polaire, les parallèles se représentant par des cercles dont les rayons sont égaux aux cotangentes de leurs latitudes, pour placer les deux points considérés on portera sur les deux droites des longueurs égales aux tangentes des colatitudes de ces points : on tracera avec des longueurs semblables autant de parallèles qu'on le jugera nécessaire, ou bien, par le centre de ce petit canevas, autant de droites inclinées de 5° en 6° ou de 10* en 10' qu'on le voudra, pour représenter les méridiens : les intersections de ces droites et de ces cercles avec la droite joignant les deux points considérés seront autant de points de l'arc de grand cercle qu'il sera très-facile de reporter par leurs latitudes et leurs longitudes sur la carte marine.

On pourrait prendre pour canevas auxiliaire toute autre projection. Le planisphère de M. Keller, ingénieur hydrographe, remplit les meilleures conditions pour déterminer l'arc de grand cercle sans nécessiter une nouvelle construction. Cet instrument, composé de deux canevas stéréographiques concentriques dont l'un transparent peut tourner autour du centre, permet de faire passer un arc de grand cercle par deux points quelconques supposés placés sur le canevas fixe et de lire immédiatement les coordonnées des divers points de cet arc.

Nous ne décrirons pas plus longuement cet instrument aussi utile dans la pratique que simple et ingénieux, et nous renverrons, pour plus de détails, à l'instruction qui l'accompagne.

Aplatissement

S = 7915',70iG74 log tanpfiS» + — 3437,7 ^sln/ + \

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