CHAF. TH. — PROJECTION DE BONNE. T

nous aurons la longitude cherchée t par la formule

t = Q acotang/, — S .

acosl 9

où tout est connu dans le second membre.

En tenant compte de l'aplatissement de la terre, les calculs seraient plus compliqués, mais on arriverait encore à déterminer l et t. Mais, pour les besoins ordinaires de la géographie, il sera suffisamment exact d'employer la méthode générale que nous avons donnée (1) et qui suppose seulement que le quadrilatère formé par les deux méridiens et les deux parallèles qui comprennent le point donné, peut être, sans erreur sensible, assimilé à un quadrilatère rectiligne.

La même hypothèse permettra, dans les cartes dont les méridiens et les parallèles seront tracés de 10 en 10 minutes par exemple, de placer graphiquement, à l'aide de leur latitude et de leur longitude, les points qui tombent dans l'un des quadrilatères dont les sommets ont été déterminés, et de projeter les sommets d'une triangulation secondaire dont on n'aura pas calculé les coordonnées géographiques.

ÉTUDE BS l'AlTSBATIOJf BE8 ARCLES OD CALCUL DE LA PROJECTIOR D'UN ANCLE DOHHÉ.

A. Nous allons maintenant nous proposer d'évaluer, en un point quelconque M de la projection de Bonne, l'altération produite sur les angles (fig. 104).

Cherchons d'abord de combien les angles sous lesquels les méridiens coupent les parallèles diffèrent d'un angle droit, c'est-àdire de 90*.

Cette différence <p est égale à l'angle de la tangente en M à la courbe qui représente le méridien avec le rayon OM = p du parallèle, et l'expression de la tangente trigonométrique de l'angle » est, en général,

tang T = L,

et comme p = p, dti S, il s'ensuit que

dp = ±:dS;

(I) Voir!» partie, chap.l.ç i.

donc

taneo = - — :

or

p9 = N/cos/ = — ^L.

(1— e»sin , /j l

En différentiant cette équation il vient

li-e'sin»/) 5 or la géodésie donne la formule

a{l— e')dl

(l-e'sinV)»'

on peut donc écrire

et par conséquent

tang<? = t lin! — ô.

pour le calcul on devra multiplier le second membre par ^ et écrire.

tang? = ïSô (/sin/ ~" e) *

Il est facile de prouver que l'angle <p est nul pour les points du parallèle moyen d'une carte quelconque; en effet, lorsque / = on a

fl/cos/, a cota ne/,

pjl-e'sin'/j» (l-e'sin'/J»

par conséquent

0 = — ' r = /sin/„

cotang/,

donc

tang<? = 0, d'où <?=0.

Il est en outre facile d'assigner le signe de tp pour les régions boréale et australe dont le parallèle moyen forme la limite commune; car lorsque / = 0 , on a

tang? = —

ISO