CHAP. VII. — PROJECTION DE BONNE
<p est donc négatif; ainsi, dans toute l'étendue de la région australe, c'est-à-dire pour les latitudes inférieures à /,, l'angle HMT = (90° — cp) est plus grand que 90° ; dans celle du nord, au contraire, cet angle est plus petit.
Si nous n'avions pas tenu compte de l'aplatissement de la terre, nous aurions trouvé
t cosl
tong? = ' 8in '- cot,ng/,-(/-/,r
expression qui converge vers iéro à mesure que I — i, diminue, et qui reste toujours très-petite tant que t et l — / t ne dépassent pas 7 à 8° comme cela a lieu pour la carte de France dont le parallèle moyen est celui de 45° de latitude et le méridien moyen celui de l'Observatoire de Paris ; aux extrémités de cette carte l'angle <p n'atteint pas 18'.
Arrivons maintenant à la question générale et cherchons la projection a (fig. 105) d'un angle A formé sur le sphéroïde par un méridien AA' et une direction quelconque AB qui est projetée en ab. Considérons les deux parallèles infiniment voisins AM, A M' projetés en am, a' m'; ils déterminent sur le sphéroïde un triangle infiniment petit rectangle en A' qui donne
UngA = -.
D'après le tracé de la projection, l'arc ab est égal à AH et les deux triangles aa'd, adb formés par le rayon oa du parallèle de a sont rectangles en d; de plus ad = A A' = dp. Ainsi
angle <ra6 = a = tfad + dab,
et
AB = a'd + db;
par suite
or nous avons montré précédemment que
^ = tang ? , •
l'angle <p étant donné par la relation
tang ? = (rsin/-6)^ 5 ,
et
donc et enfin
tangôad = tang(a — <p) = ^, tang A = tang [a — ?) + tang?, tang (a - T ) = tang A - tang T = ■
II est donc facile de calculer l'angle a projection de A.
Lorsque l'angle f est fort petit, comme cela a lieu, même aux limites de la carte de France, l'angle A et sa projection a diffèrent fort peu l'un de l'autre.
ALTERATION DES L0ICDEUE8.
&. Si l'on cherche l'expression de la différentielle d'un arc 2 du méridien dont la longitude est /, on trouve, à l'aide de la formule générale,
dl = d P \Ji + ( <J) = d ? v/iT^ = et puisque d?=dS, on a
COSO
Cette équation montre que, si l'angle <p était invariable, on aurait en intégrant
cos?
sans constante, puisque S et S sont nuls à la fois ; mais cet angle <p variant très-peu d'un point à un autre très- voisin, il s'ensuit que les petits arcs de méridien très-proches les uns des autres conservent sensiblement sur la carte les mêmes rapports que sur le sphéroïde terrestre et y sont à fort peu près rectilignes.
Il résulte de cette égalité approximative des arcs de méridiens et de l'égalité parfaite des arcs de parallèles, que près du centre du développement dans les limites de 7 à 8 degrés de distance, les distances respectives des lieux sont à fort peu près les mêmes sur la rarte que sur le sphéroïde. Comme les angles sont aussi fort peu al-
CHAI*. Vil. — l'KOJECllON DE BOMSE.
