CHAP. TH. — PROJECTION DE BONNE

ments des arcs qui mesurent leurs latitudes. On détermine les méridiens en portant sur ces arcs de cercle les longueurs des arcs de longitudes aux latitudes considérées, ou plus exactement en calculant l'angle sous-tendu au pôle par le développement de 90° de longitude et partageant l'arc ainsi obtenu en degrés égaux. Cet angle est donné par la formule

Voici sa valeur pour les valeurs de J de 90» lat. N. à 90» lat S.

NOTE

SUl LI DÉVELOPPEMENT MODIFIÉ DE FLA1STEED,

( Projection dn Dépôt de la guerre ),

Par M. A. Tiswt (1).

9. « Les angles s' écartant d'autant plus d'être droits que le rectangle correspondant au parallèle considéré est plus éloigné du point de croisement du méridien et du parallèle moyen, cherchons quelle condition doit remplir la position de ce point de croisement pour que les plus grandes altérations d'angles et de distances soient aussi faibles que possible.

(1) Comptes rendus des séances de l'Académie des sciences, 29 mars 1858.

2 e PARTIE. — CONSTRUCTION ET USAGE DES PROJECTIONS.

« Soit a la déviation azimutale du parallèle en un point de la carte, û 1

Posons tang s = -s tang a ; on peut démontrer que, en ce point, la

plus grande altération d'angle sera égale à p, et que le rapport des longueurs d'un élément de courbe sur la carte et sur le globe y sera

représenté par tang (45°-f jn ou par tang (45* — v) suivant qu'il

s' agira de l'élément qui a subi l'allongement le plus considérable, ou de celui pour lequel la diminution est la plus forte. Quand a décroît, p décroît, et les deux rapports marchent vers l'unité. Il suffira donc, pour remplir les deux conditions énoncées, de rendre aussi faible que possible la plus grande valeur de a.

« On sait que la tangente de cet angle est proportionnelle à la longitude t comptée à partir du méridien moyen et qu'elle augmente en même temps que la différence I — I, entre la latitude du parallèle moyen et celle du point considéré ; l'augmentation, plus rapide audessous de cette ligne qu'au-dessus, s'effectue suivant une loi moins simple que la précédente ; mais il est facile de vérifier que si k représente le cosinus de la latitude du parallèle moyen, on a

c étant une quantité assez petite composée de plusieurs termes dont les principaux sont dus à l'aplatissement Par exemple, pour la carte de France et pour celle d'Espagne, t est plus petit que fraction qu'il est permis de négliger; il en est de même de la variation qu'éprouve le coefficient k quand on passe du parallèle moyen à un autre peu différent ; donc, pour atténuer le plus possible parle choix du méridien et du parallèle moyen les plus fortes altérations d'angles et de distances, il suffit de rendre minima la plus grande valeur du produit t (l — /,).

• Considérons deux cartes du même pays, l'une dans le système de Bonne, l'autre en représentant les méridiens par des parallèles équidistantes et les parallèles par des droites perpendiculaires aux premières, et formant en un mot le canevas d'une carte plate. L'ensemble des points de la première carte, pour lesquelles on aura la même valeur de a et par conséquent les mêmes altérations d'angles et de distances, formera sur la seconde deux hyperboles équilatères ayant pour asymptotes communes les deux lignes qui figurent le méridien et le parallèle moyen.