CHAP. IX. — PROJECTION ZÉNITHALES ÉQUIVALENTE
élémentaires ds et dS correspondantes de la carte et de la sphère, la relation
, ds* dp* .sin'a e \
m = dS' = W> C0S a + p sin^ = 008 " C0S 2 + sm " ë J
cos'-
a désignant l'angle de l'élément considéré sur la sphère avec le grand cercle MO qui passe au centre du tracé ; cet angle est exprimé par la relation
dz
tango = — sine,
dans laquelle z désigne l'azimut du sommet de cet angle.
Le rapport m se réduit à l'unité quand tanga=cos- ou quand,
sur la carte, tang p = — ^, c'est-à-dire pour la direction qui subit
COS j
la déviation maximum ; cette direction a donc la propriété de conserver les longueurs.
Par un point M donné on peut donc faire passer sur la carte et sur la sphère deux courbes isopèrimètres qui se correspondent, coupant tous les arcs MO sur la sphère, tous les rayons MO sur la carte, sous certains angles a et (S, de manière que ces courbes aient les mêmes longueurs entre deux points se correspondant chacun à chacun.
Pour les petites valeurs de 6 l'angle a que fait la courbe avec l'arc MO est très-voisin de 45°; cet angle décroit à mesure que 0 augmente et est nul pour 0 = 180° ou pour les antipodes du point 0. Autour du point 0 la courbe sur la sphère se rapproche indéfiniment delà spirale logarithmique qui coupe à 45° tous ses rayons vecteurs; la courbe passe par les antipodes du point o et revient ensuite tourner autour du point O lui-même.
Sur la carte la courbe isopérimètre se rapproche indéfiniment, pour les valeurs très-petites et décroissantes de 6, de la spirale logarithmique qui coupe à 45° ses rayons vecteurs. Pour les valeurs de 0 croissantes l'angle (J s'accroît et a pour limite 90° lorsque 9 = 180° ; la courbe touche alors le cercle dans lequel se transforment les antipodes du centre, et se prolonge au delà par une branche indéfinie symétrique de la première.
Pour avoir l'équation de cette courbe en coordonnées polaires, appelons p le rayon vecteur OM (fig* 108) et w l'angle polaire formé par ce rayon avec un axe fixe Ox ; nous aurons
odlii
^-=tantrQ =
or
donc
dp e '
cos- P = 2o sin ^ ,
dp = a cos - rfe,
et, en substituant,
2sin- sin- 2 2
L'intégration donne
w = log nép. tang - -f C,
ou, en logarithmes décimaux,
M= 5ûnrr loglang ï+ c '
M= 0,4362945, et l'angle w est ainsi exprimé en secondes. Cette dernière équation, jointe à
P = 2asin -,
est, en termes finis, l'équation du lieu.
Pour 8 = 180% on a
w = C et p = îa.
Pour construire le patron de la courbe, il est commode de fai G =«; on trouve alors le tableau suivant :
Valeur» de w. Valeur» correspondante» de |. Valeor» correspondante» d» ? .
CBAP. IX. — PROJECTION ZÊNITIIALE ÉQUIVALENTE. 333
Il e9t inutile de s'occuper de la portion de courbe que donneraient les arcs négatifs, puisque cette portion est située dans une région où la déformation est presque nulle. Les arcs de n à 2u donneraient une branche symétrique de celle qu'on vient de calculer, par rapport au rayon correspondant à b = ti.
Revenons maintenant à l'étude de l'altération des longueurs. Si l'on appelle m 0 et m T les rapports des longueurs élémentaires de la
carte et de la sphère sur les rayons vecteurs et sur les almicantarats, on trouve que le premier est minimum et que le second est maximum ; leurs valeurs sont
m t = COS - \ m r . = . .
cos -
Ainsi les longueurs des éléments des rayons vecteurs sont réduites
sur la carte dans le rapport de cos - à l'unité, et les longueurs des
éléments des almicantarats sont augmentées dans le même rapport; cette réciprocité est nécessaire pour conservation des surfaces.
Le tableau suivant, calculé par M. Colliguon, donne les coeflicients d'altération de l'élément de longueur dans le sens du rayon vecteur et dans le sens perpendiculaire, c'est-à-dire m 0 et ; il contient
aussi la comparaison des distances d'un point quelconque au centre du tracé, mesurées sur la sphère de rayon égal à un et sur la carte.
