II
Du centre de moyenne harmonique de points quelconques rangés en ligne droite.
13. Jusqu'ici nous nous sommes bornés à comparer la division en parties égales à celle en parties harmoniques; maison peut étendre plus loin l'objet de ces définitions, en observant, en général, que toutes les relations ou propriétés qui ont pour fondement la division en parties égales doivent pou-
division d'une distance en parties égales dans les Applications de la Théoria des transversales [voyez §§ 5i et 62); mais, dans. ce cas, elles ne peuvent s'effectuer uniquement avec la règle ou des alignements.
DES CENTRES DE MOYENNES HARMONIQUES. i?
voir se convertir en des relations ou propriétés analogues de la division harmonique; or de cette nature sont évidemment toutes celles qui concernent les centres de moyennes distances.
Soient, par exemple, a, b, c (fig-^) trois points quelconques situés en ligne droite; soit q le centre des moyennes distances de ces points, p un point quelconque pris pour origine des segments : on aura, comme on sait,
pa-\-pb-h pc P^ = - 3^'
pourvu qu'on ait égard à la règle des signes posée ci-dessus (6). Projetons les points a, b, c, q sur une droite quelconque a'd', à partir d'un point arbitraire s, et soient a', b', c', q' les points de la projection : on peut se demander quel rôle le point q' jouera par rapport aux points a', b', c'. Or, je dis qu'en nommant/)' le point qui représente, sur a'c', celui à l'infini de ad, et dont la projetante sp' est ainsi parallèle à ad, on aura
toujours en ayant égard à la règle des signes qui vient d'être indiquée.
Pour le prouver, il nous suffira de rechercher la manière dont on peut obtenir les points q et q' au moyen de ceux dont ils dépendent respectivement.
Pour le point q, il faut, comme on sait, prendre le milieu se de ab, puis diviser ex en trois parties égales, et prendre le premier point de division q, à partir de x, pour le point demandé ; en effet, on aura
ipa: = pa-^pb,
I, , 1 px -\- pc pa-\~pb-\-pc pq = px^-{pc — px) = -î—^-f——' £ L^,
Or, pour obtenir ce qui concerne le point q' de la projection, il suffira évidemment de remplacer la division en parties égales par la division harmonique, en prenant/?' pour origine; c'est-à-dire (3 et 9) que, dans les relations ci-dessus, il faudra simplement remplacer les segments qui se rapportent au point arbitraire/? par les réciproques de ceux qui répondent au point/?', projection de celui à l'infini de ac; on aura donc
Ce qui précède montre aussi, d'après l'article 12, comment il faudrait s'y II. 3
prendre pour construire directement le point ^' avec la règle, et sans recourir à la division en parties égales qu'indique la figure.
14. Le cas où l'on remplacerait les trois points a, b, c par quatre points quelconques serait encore plus facile à établir. En effet, s'il s'agissait d'obtenir leur centre de moyennes distances, il suffirait évidemment de prendre le milieu ou le centre des moyennes distances de deux quelconques de ces points, puis celui des deux autres, puis enfin le centre des moyennes distances des deux centres partiels ainsi trouvés, ce qui donnerait de suite, en nommant d le quatrième point, et conservant d'ailleurs les mêmes dénominations que ci-dessus,
pa -\- pb -\- pc -+- pd P9=- ^ —>
et, par conséquent, en passant à la projection sur une droite quelconque a'c', 1 ^ / ' ^ ' ' \
En général, on voit que, quel que soit le nombre m des points a, h, c, d,..., rangés sur une même droite, le centre q des moyennes distances de tous ces points sera unique et tel, qu'en le projetant ainsi que ces points sur une droite quelconque en q' , a', h', c', d',..., et nommant/)' le point qui représente celui à Tintini de la proposée abc, on aura
p' q' m\p'a''^ p'b' "^ p' a' "^ p'd' "^ * ' au
yq' ~ yâ' '^ yw '^ y? '^yi''^'"'
pourvu encore qu'on ait égard à la règle des signes posée art. 6. On voit de plus (12) comment on pourra construire, avec la règle seule et sans recourir aux centres des moyennes distances, le point q' dont il s'agit, quand tous les autres a', b', c', d',..., seront donnés ainsi que le point/?' qui sert d'origine commune aux segments harmoniques ; mais cette construction se faisant d'une manière successive et assez pénible, quand le nombre des points donnés est tant soit peu considérable, nous indiquerons plus tard des moyens généraux et simples pour y parvenir.
15. Mac-Laurin, qui a eu à considérer dans son Traité des Courbes géomé" triques, quelques-unes des propriétés du point q' défini par les relations métriques ci-dessus, et qui n'a point aperçu l'analogie qui régnait entre ce point
et le centre des moyennes distances, ni les moyens de déduire l'un de ces points de l'autre, s'y prenait d'une manière différente pour construire la valeur de pq^ : il déterminait, à l'aide du procédé de l'article 7, le point dont la distance à/?' a pour réciproque la somme des réciproques de/)' a' etde/)'è',
c'est-à-dire -7^ h — rr,-> puis le nouveau point dont la distance à/? a pour réciproque la somme des réciproques du point déjà obtenu et du point c\
c'est-à-dire -1^ + -Jt7 -H -—,'> puis, etc.; car, en nommant Q' le dernier point
p a pb p c ^
ainsi obtenu, on aura
PQ' ~ p^' ^ yb' ^ 'jTc' '^ Yq''
et par conséquent y ^f' = m./?' Q'. Cette méthode a, comme on voit, l'inconvénient d'exiger l'emploi de la règle et du compas réunis, au lieu que la précédente n'exige simplement que celui de la règle.
Mac-Laurin nomm^ p'q' la moyenne harmonique des segments/?' a', p'b', p'c\...\ nous pourrons donc dire aussi, par analogie, que le point q', projection du centre de moyennes distances des points a, Z>,c,..., en nombre w, est lui-même le centre des moyennes harmoniques des points a', b' , c',..., de la projection, par rapport à p' qui représente le point à l'infini de/?c: or, cette définition s'accorde parfaitement avec celle de l'article 4, dont elle n'est guère que l'extension; et, comme ici le faisceau des projetantes sa', sb\ se',... y conserve les mêmes propriétés à l'égard de sp', sq' , quelle que soit la transversale /?'c', on pourra dire encore que la projetante sq' est ïaxe des centres de moyennes harmoniques du faisceau dont il s'agit; et cela non d'une manière absolue, mais seulement par rapport à la projetante sp' qui, à son tour, conservera le nom ^axe des origines harmoniques, et qui, venant à passer à l'infini avec les points s, changera évidemment la projetante sq' en un simple axe des centres de moyennes distances.
16. Les relations qui définissent le centre q' {/ig. 5) des moyennes harmoniques étant projectives (14), ou telles, qu'elles subsistent dans toutes les projections centrales de la figure, on voit que les définitions et propriétés précédentes seront applicables directement à un faisceau quelconque de droites projetantes qui s'appuieraient sur des points donnés en ligne droite, sur leur centre de moyenne harmonique et sur l'origine relative à ce centre; c'est-à-dire que toute transversale déterminera, dans ce faisceau, un nouveau système de points qui auront entre eux la même corrélation que les premiers,
sauf le cas où la transversale sera parallèle à l'axe des origines, et pour lequel, l'origine des segments harmoniques passant à l'infini, le centre des moyennes harmoniques se changera évidemment en un centre de moyennes distances.
Enfin on voit que si, par l'origine des segments harmoniques de plusieurs points situés en ligne droite, on mène une droite ou un axe quelconque, et qu'on abaisse, de ces différents points et de leur centre de moyennes harmoniques, des ordonnées sur cet axe, qui soient parallèles entre elles et à un autre axe arbitraire, celle qui répond au centre de moyennes harmoniques sera encore la moyenne harmonique de toutes celles qui répondent aux points proposés; propriété qui est entièrement analogue à celle du centre des moyennes distances, si ce n'est que, pour ce dernier, l'origine étant entièrement arbitraire, il en est de même des axes de projection.
17. Au surplus, on peut partir de la définition générale du centre des moyennes harmoniques, pour établir directement ses diverses propriétés, sans recourir aux considérations précédentes, qui d'ailleurs nous paraissent mériter l'attention des géomètres. Or, cette nouvelle manière d'envisager la question va nous conduire a d'autres résultats non moins remarquables que les premiers.
Soient a, b,c, d,... (fig. 6), des points quelconques en nombre m rangés sur une même droite, et/? un point arbitraire de cette droite pris pour origine des segments; regardons, d'après la règle de l'article 6, comme positifs tous les segments qui sont à droite de/? et comme négatifs ceux qui sont dirigés dans le sens contraire. Gela posé, si l'on choisit, sur la droite dont il s'agit, un point q tel que
m I II I pq pa pu pc pd
en attribuant à chaque terme le signe qu'il doit avoir d'après le sens du segment qu'il renferme, le point ^, ainsi déterminé, sera unique, et le centre des moyennes harmoniques des points a, 6, c, c?,..., relativement à p. Il s'agit, en premier lieu, de prouver que ce point est projectif, c'est-à-dire tel, qu'en le mettant en projection sur une droite quelconque p'd' et à partir d'un point arbitraire s de l'espace, aussi bien que le système de tous les points que l'on considère sur pd, la relation ci-dessus aura toujours lieu entre ces différents points.
Pour y parvenir, nous mettrons cette relation sous la forme suivante, afin
DES CENTRES DE MOYENNES HARMONIQUES, d'en mieux étudier les propriétés,
Mais
pq pa pq pb pq pc pq pd
1 I pa — pq aq i i bq
pq pa pa.pq ap.pq pq pb bp.pq
I I cq
P(l~pc~cp.pq'"''
donc, substituant et supprimant le facteur/?^ commun à tous les termes, il viendra
f^*î + 3 + ^+...= o, ap bp cp dp
équation dans laquelle les termes négatifs proviennent uniquement des points a, b,..., qu'on a supposés à gauche de q. Mais, d'après la règle des signes admise ci-dessus pour la définition du point q, chaque terme devra conserver le signe qu'il a actuellement, ou en changer, selon que le point a, b, c,..., auquel il se rapporte, sera à droite ou à gauche du point/?; donc l'équation ci-dessus pourra être remplacée généralement par cette autre
ap bp cp dp
pourvu que, dans chaque position des points du système, on attribue le signe + ou le signe — à un segment quelconque, selon qu'il est situé sur la droite ou sur la gauche de celle des origines/? ou q à laquelle il se rapporte, ou, ce qui revient au même et ce qui est plus simple encore, pourvu qu'on attribue à chaque terme de la relation ci-dessus le signe -f- ou le signe — , selon que les deux segments qui y entrent sont de même sens ou de sens contraire, par rapporta leur extrémité commune (*).
D'après cela, on pourra énoncer ainsi d'une manière générale la relation dont il s'agit :
L'origine p et le centre q des moyennes harmoniques d'un nombre quelconque de points a, b, c, d,.,., rangés en ligne droite, sont tels que, si l'on prend successivement le rapport des distances de chacun de ces points à q et à p, la somme de tous ces rapports sera nulle, en attribuant le signe + ou le signe — à un rapport quelconque, selon que le point correspondant est situé sur l'un des prolongements de la distance pq ou entre ses extrémités.
{*) f^orcz, sur la loi des signes de position en général, le 111* Cahier du tome II des Jpplications d'Analyse et de Géométrie (1864).
18. Cet énoncé n'est évidemment que l'extension de celui qui se rapporte au cas particulier de l'article 1 d'où nous sommes partis, et dans lequel on ne considère que deux points a et h\ prouvons maintenant qu'il s'applique à toutes les projections de la figure faite, d'un point quelconque s de l'espace, sur une droite arbitraire /?'6?' du plan spd, et par conséquent qu'il en est de même de la relation (17) d'où nous sommes partis.
En effet, d'après les articles 9 et suivants du tome P"" de ce Traité, on a, en nommant P la perpendiculaire abaissée de s sur pd, et/?, q, a, b, c,..., les projetantes sp^ sq, sa, sb, se,...,
aq = sin{asq)-^, bq = sm (Osq) -^^ cq = sm [csq } -^ -, • • ",
• / \ ^P L ' fL \ ^-P ■ , \ ^-P ap = sin ( asp ) -^ > bp = sm ( bsp ) -jf » cp = sin ( csp ) -~ -,
Donc, en substituant ces expressions dans la dernière relation ci dessus, et supprimant les facteurs communs à tous les termes, on aura
sin asq sin bsq sin csq
sm asp sm bsp sm csp
ce qui exprime qu'il y a entre les sinus des angles projetants la même relation qu'entre les segments qui leur correspondent respectivement. Or, de là on conclut aisément, et par réciproque, que cette relation ayant lieu pour le faisceau des droites projetantes, il faut nécessairement qu'elle subsiste entre les segments d'une transversale quelconque p'd^ prise pour axe de projection des segments; donc enfin la relation examinée est de sa nature /?ro/*ective, ainsi qu'il s'agissait de le démontrer directement; c'est-à-dire que, dans le faisceau ci-dessus, les projetantes sp et sq sont des axes (15) d'origines et de moyennes harmoniques relativement à toutes les autres.
19. Remarquons en passant que, quoique la relation examinée en dernier lieu subsiste entre les sinus des angles projetants des différents segments qui y entrent, on ne saurait pourtant en conclure que celle d'où nous sommes partis (17) jouisse de la même propriété; or, je dis que cette dernière relation aura encore lieu de la même manière, non plus entre les sinus des angles projetants des différents segments, mais entre les tangentes trigonométriques de ces angles, c'est-à-dire qu'on aura
iding psq lan^psa idugpsb idnig psc
En effet, la relation de départ étant projective d'après ce qui précède, «levra subsister pour une transversale p'd' perpendiculaire à la projetante sp du point/?, niais les segments p'q', p' a', p'b', p'c\..., de cette transversale sont évidemment alors proportionnels aux tangentes trigonométriques des angles projetants qui leur correspondent respectivement; donc la relation ci-dessus a lieu entre ces tangentes, comme il s'agissait de le démontrer et comme il serait facile de l'établir de plusieurs autres manières.
20. La transformation que nous avons fait subir (art. 17) à la relation qui définit le centre des moyennes harmoniques n'est pas la seule qui puisse lui convenir, et il en est d'autres qui ne sont pas moins dignes de remarque et qui sont tout aussi générales.
En effet, soit A un point quelconque de la direction de pd^ pris pour nouvelle origine des segments servant à remplacer l'origine p, on aura identiquement
pa — pq = Aa — A^, pb — pq = A.b — A^, pc — pq ~ Ac — Aq, pd — pc =:= Ad — A c, . . . ,
pourvu qu'on regarde comme positifs les segments des points placés à la droite de A, et comme négatifs ceux des points placés à la gauche de ce point; donc on aura aussi
I ^ P^~P^ Art — A^ Aa pq pa pa.pq pa.pq P^-pq
Aq I 'Jq'pa
I Ab Aq I I I Ac pb pb.pq pq pb* pq pc pcpq
pq pc
d'où, en substituant. dans la première des transformées de l'article 17, et multipliant tout parp^,
Aa Ab kc Ad . / i i i \ m. A a
— -h—r-\ 1 j -h . .. = Aq { h-r-f h--. = -^
pa pb pc pd ^ \pa pb pc ) pq
relation qui est assujettie à la même règle de signes que celle de l'endroit cité, et qui, de plus, la renferme comme cas particulier, puisqu'elle redonne celle-ci quand on y suppose Aq = o ou qu'on suppose le point A en q. En admettant même que l'origine arbitraire A soit à l'infini, les segments infinis, devant être censés égaux, disparaîtront comme facteurs communs à tous les termes, et l'on retombera sur la relation
pa pb pc pd pq
d'où nous sommes partis en premier lieu.
Mais la relation générale obtenue en dernier lieu conduit à beaucoup d'autres relations semblables, selon que l'on suppose le point A placé en a ou b ou c,...; par exemple, si Aa = o, on aura
m.aq ab ac ad pq pb pc pd
relation dans laquelle il faudra avoir égard à la règle de signes posée ci-devant, en regardant a etp comme les origines des divers segments. Elle deviendrait de même, pour A 5 = o, Ac = o, etc.,
m.bq ba bc bd
pq pa pc pd ' " ' '
m. en ca cb cd
pq pa pb pd
d'où l'on en déduirait une infinité d'autres.
Ces diverses relations, y compris celle d'où elles dérivent, satisfont toutes aux conditions indiquées art. 18; donc, non-seulement elles sont projectives, mais elles ont encore lieu d'une manière semblable entre les sinus des angles projetants qui répondent aux différents segments.
21. Ce qui précède suffit pour faire apercevoir que le point q, ou le centre des moyennes harmoniques de points rangés en ligne droite, offre, dans ses propriétés, l'analogie la plus grande avec ce que l'on nomme le centre des moyennes distances de points pareils; pour la mettre dans tout son jour, il ne s'agit évidemment (14) que d'examiner ce qui arrive dans les relations cidessus, pour le cas où l'on suppose le point p, qui sert d'origine aux segments harmoniques, situé à l'infini sur ad. Mais alors tous les segments qui se comptent de ce point sont infinis et doivent être censés égaux comme ne différant entre eux que d'une quantité finie; donc la relation générale trouvée ci-dessus.
ka kb kc
pa pb pc
kd
se
rédi
jira simplement à la suivante :
m,kq =
= Aa-h Aô + Ac
-hkd-
dans laquelle les différents termes devront, d'après ce qui précède, être affectés du signe •+- ou du signe —, selon que le point auquel ils se rapportent sera à droite ou à gauche de l'origine A des segments, et qui aura lieu, quelle que soit la position de cette origine relativement aux points don-
nés a, è, c,...; or, on reconnaît ici la propriété caractéristique de ce qu'on nomme le centre des moyennes distances.
De plus, puisque la relation générale ci-dessus est projective de sa nature, on voit que l'un de ces systèmes pourra toujours être envisagé comme la projection centrale ou perspective de l'autre, ainsi que cela a déjà été établi d'une manière différente art. 14 et 16 de cette Section. On peut d'ailleurs, comme on va le voir, partir directement de la définition particulière du centre des moyennes distances pour en déduire celle, beaucoup plus générale, qui convient au centre des moyennes harmoniques.
En effet, si nous nommons p le point à l'infini de Xd {fig. 6), et q le centre des moyennes distances des points a, b, c, d,..., nous pourrons, d'après le raisonnement déjà établi ci-dessus, mettre la relation particulière qui définit ce centre q, sous la formule générale
m.ka ka A6 Ac k.d
i = l--rH 1 7+-..;
pq pa pu pc pa
or, cette relation, dans laquelle les segments qui se mesurent du point p sont infinis et égaux, satisfait aux conditions indiquées art. 18; donc elle aura lieu à la fois pour toutes les perspectives du système proposé sur des droites arbitraires; et par conséquent, dans ces perspectives, le centre des moyennes distances deviendra le centre des moyennes harmoniques.
22. Supposons maintenant que, dans l'équation générale relative au centre des moyennes harmoniques ^, les segments relatifs à ce centre deviennent infinis, ou, si l'on veut, supposons le point q à l'infini, ce qu'on peut toujours obtenir en mettant la figure en projection sur une droite quelconque parallèle à la projetante sq de ce point; le rapport des segments infinis kq^ pq devenant l'unité, on aura pour définir alors le point correspondant/?, la nouvelle relation
ka \b Ac Ad
pa pb pc pa
Mais l'origine A étant entièrement arbitraire, on peut également la supposer à l'infini, confondue avec q, ce qui réduit la relation ci-dessus à la
suivante,
I I I I pa pb pc pa
en supprimant les facteurs ou segments infinis et égaux; or, sous cette forme, elle est une conséquence très-simple de celle d'où nous sommes partis (17) pour la définition du centre q des moyennes harmoniques.
On voit, d'après cela, que les points/? et q ne sont pas réciproques, et ne II. 4
jouissent pas entre eux des mêmes propriétés à l'égard des points a,b,c,d,...y comme semblerait l'indiquer le cas particulier où ces derniers points sont au nombre de deux seulement (6); aussi arrive-t-il que, bien qu'il ne corresponde qu'un seul point q ou centre des moyennes harmoniques à un même point/? pris pour origine (14), et aux m points donnés a, b, c, d,..., cependant il existe, en général, m — i points p répondant à un même point q,
choisi à volonté, et aux m points donnés a, h, c, C'est ce qu'il est aisé
de démontrer avec ou sans calcul; mais, comme cette démonstration exige des développements qui ne seraient pas ici à leur place, nous nous abstiendrons, pour le moment, de la donner (").
23. Avant de terminer ce sujet, nous remarquerons que les diverses transformations que nous avons fait subir à la relation du n*' 17, et qui expriment autant de propriétés du centre des moyennes harmoniques, sont uniquement basées sur ce que le nombre m est précisément égal à celui qui marque le nombre des points donnés a^b,c,.... Pour toute autre valeur de m, ces transformations seraient évidemment impossibles, ou du moins on serait conduit à d'autres résultats, et la relation cesserait d'être projective sous sa forme actuelle. Dans ces mêmes circonstances, pour construire le point q défini par cette relation, il faudra nécessairement faire usage de mesures graduées ou du compas, tandis que la construction du centre des moyennes harmoniques n'exige, comme on l'a fait voir (14), que l'usage de la règle seule.
Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de construire le point Q [fig. 6) tel qu'on ait, eu égard à la règle des signes établie ci-dessus, n I I I I
p\2 pa pb pc pd
n étant un nombre quelconque. On pourra d'abord construire avec la règle le centre des moyennes harmoniques q des points donnés a, b, c, d,..., par rapport à l'origine/?; ce qui donnera, m étant le nombre de ces points, m I I I I
a où
__^ et pQ = -pq,
expression qu'on ne pourra construire qu'à l'aide de mesures graduées ou du compas.
(*) On la trouvera dans les dernières Sections de ce volume, dont la rédaction date d'une époque de beaucoup postérieure à celle (i8i6) de la simple ébauche que renferme le II™*' cahier du tome II des Applications (V Analyse et de Géométrie (i864).
Il est évident qu'on pourrait aussi opérer directement, comme il a été indiqué art. 15.
24. En général, une équation dont les deux membres seraient composés de la somme d'une suite de réciproques assujetties à la règle des signes posée ci-dessus, et d'ailleurs multipliées par des coefficients numériques quelconques, sera ou non projective dans sa forme actuelle, et appartiendra ou non à la Géométrie de la règle, toutes les fois que la somme des coefficients numériques relatifs à chaque terme, sera, abstraction faite des signes de position, ou ne sera pas la même de part et d'autre.
Pour fixer nos idées, supposons d'abord que l'on ait entre les points//, q, a, b, €,... {Jig. 6), la relation
pq pa pb pc
dans laquelle m, m', m",..., sont des coefficients numériques quelconques, positifs ou négatifs, mais indépendants de la position des points a, b, c,...,q, à l'égard de/?; cette équation étant d'ailleurs assujettie à la règle des signes posée art. 6, elle se changera évidemment en ces deux autres, par des transformations analogues à celles des n°' 17 et 20 :
m.aq m'bq m" en m"'dq
ap bp cp dp
m.Aa m' . kb m".kc m"'.Xd , , ,, ^kq
pa pb pc pd pq
A étant une nouvelle origine quelconque; et réciproquement, de celle-ci on pourra conclure la relation première. Mais ces relations sont projectives (18), donc il en sera de même de la première; je dis en outre qu'elles appartiennent à la Géométrie linéaire ou de la règle.
En effet, au moyen de la règle, on trouvera (12) le point x de ab tel, qu'en supposant ab divisée en m + m' parties harmoniques par rapport à p, ax en contienne m', et bxm\ or on aura, d'après l'article 9,
px pa pb
Pareillement, on trouvera avec la règle sur ex le pointai?' qui répond à la jyfième partie harmouiquo de cette distance supposée en contenir m + m' -\- m", et l'on aura
px' p.v pc' pa pb pc
et ainsi de suite. Donc on arrivera à un dernier point de division X tel que
/?X pa pb pc
et qui ne sera par conséquent que le point q lui-même, lequel se trouvera ainsi construit linéairement ou avec la règle seule.
25. Supposons maintenant [fig- 7) qu'on ait la relation harmonique quelconque
1 1 h...= l--rH h...,
pq pr ps pa pb pc
relativement à des points a, b, Cf...,q, r, 5, situés en ligne droite, et à l'origine/7 des segments harmoniques.
D'après ce qui précède, on pourra d'abord remplacer tous les points a, b, c,..., par un point X, constructible à l'aide de la règle, et tel qu'on ait
m -f- m' -I- m" -f- • • • ^ m' m" pX pa pb pc
on en trouvera, de la même manière, un autre Y tel qu'on ait
pY pq pr ps ' '^
donc, d'après la relation proposée, il viendra
p\ pX
Si donc 7î + 7i' H- n" -f- . . . = m -f- m' -h m" -f- . . . , le point X devra se confondre avec le point Y, et par conséquent la relation d'où l'on est parti appartiendra uniquement à la Géométrie de la règle, et sera d'ailleurs projective d'après ce qui précède, tandis qu'elle exigera pour être construite la règle et le compas dans toute autre supposition.
26. Ces diverses considérations nous permettent de généraliser la définition du centre des moyennes harmoniques, à peu près comme l'ont déjà fait MM. Carnot et Simon Lhuilier de Genève, à l'égard du centre des moyennes distances : en posant, par exemple, pour la définition de ce point, l'équation
pq pa pb pc
q pourra encore être appelé le centre des moyennes harmoniques de a, b,
c,..., relativement à ^, mais pour des coefficients numériques quelconques positifs m, m', tw",.... Quant au cas où quelques-uns de ces coefficients seraient négatifs, indépendamment des signes de position des segments auxquels ils se rapportent, on pourrait nommer le point correspondant q Vex-centre des moyennes harmoniques, comme l'a fait, d'une manière analogue, M. Lhuilier pour le cas des simples distances. En effet, la relation ci-dessus conduisant à cette autre, d'après ce qui a été observé plus haut (24),
,A<7 mka m'Ab m"Ac y
im-\-m'-\-m"+...)—^ = 1 ^H h--., ^
pq pa pb pc
on retombera directement sur les définitions du centre et de Vex-centre des moyennes distances, par M. Lhuilier, en supposant (21) que le point/) passe à l'infini.
27. Je crois inutile de pousser plus loin ces rapprochements, entièrement analogues à ceux qui ont été établis dans ce qui précède, pour le cas particulier où les coefficients m, m', m",..., sont simplement égaux à l'unité; et je ferai seulement remarquer que les diverses définitions et propositions établies jusqu'à présent, pour ce cas particulier, doivent s'étendre, de la même manière, au cas général : ainsi, par exemple, le point/? sera toujours Vorigine des segments harmoniques, et si, d'un point quelconque s de l'espace, on mène aux différents points que l'on considère des projetantes sp, sq, sa, sb, se,..., celles qui appartiennent à /? et à q devront continuer à s'appeler (15) les axes des origines et des moyennes harmoniques de toutes les autres, etc.
Dans le paragraphe suivant, je montrerai comment on peut étendre toute cette doctrine du centre des moyennes harmoniques au cas où l'on considère des points quelconques situés dans un plan ou dans l'espace.
§ ni.
Du centre des moyennes harmoniques d'un système de points quelconques situés ou non dans un même plan.
28. Nous n'avons encore envisagé, jusqu'à présent, que les propriétés relatives au centre des moyennes harmoniques de points rangés en ligne droite; mais ce que nous avons dit pour ce cas particulier va nous conduire,
3o THÉORIE GÉNÉRALE
sans peine, à ce qui concerne le système d'un nombre quelconque de points situés à volonté sur un plan ou dans l'espace; car tout consiste simplement à partir de la définition ordinaire du centre des moyennes distances pour en déduire, à l'aide de la perspective ou projection centrale, celle qui convient au centre des moyennes harmoniques en général, et même les diverses propriétés qui peuvent lui appartenir, il est entendu d'ailleurs que, dans tout ce qui va suivre, le centre des moyennes distances et celui des moyennes harmoniques seront pris par rapport à des coefficients numériques quelconques, répondant respectivement aux points proposés suivant les définitions admises n° 26.
Considérons d'abord le cas où le système des points proposés A, B, C, D,... [fig- 8), appartient à un même plan, et soit Q le centre des moyennes distances de ces points; l'une des propriétés essentielles du point Q, c'est que, si Ton fait la projection du système sur une droite arbitraire hd et par des parallèles A«, B6, Ce,..., à un axe quelconque, la projetante Q^ de Q sera Xaxe des moyennes distances (15 et 27) de celles des autres points du système, de sorte que, pour la transversale arbitraire bd, le point Q qui appartient à cet axe sera le centre des moyennes distances des points a, b, c, d,..., relatifs à leurs diverses projetantes, ou, en d'autres termes, il sera (21), par rapport au point à l'infini de bd, le centre des moyennes harmoniques de ces mêmes points.
Cela posé, voyons ce qui se passe dans la perspective de la figure sur un nouveau plan arbitraire : tout système de projetantes parallèles Aa, Bb, Ce,..., sera devenu {Jlg. 9) un faisceau de droites convergeant en un même point S, et tous leurs points de concours semblables seront rangés sur une même droite PS, projection de celle qui contient les divers points à l'infini du premier plan (t. I, Sect. I, n° 106); le point/) où la droite PS ira rencontrer la transversale arbitraire bd qui lui correspond, représentera donc aussi le point à l'infini de bd dans la figure primitive 8, de sorte que le point q sera devenu (26) dans hjig. 9, le centre des moyennes harmoniques des points a, b, c,..., par rapport h. p. Mais la droite bd est arbitraire; donc, pour tout faisceau de projetantes semblable à celui qui précède, la projetante SQ^ de Q sera (27) l'axe des moyennes harmoniques des projetantes SA, SB, SC,..., des points proposés, par rapport à la droite invariable SP, qui, ici, sert d'axe commun aux origines de segments.
29. D'après cela, on peut dire que le point Q {/ig. 9) est le centre des moyennes harmoniques des points proposés A, B, C,..., et cela non d'une manière absolue, mais seulement par rapport à la droite particulière PS, qu'on
DES CENTRES DE MOYENNES HARMONIQUES. Si
peut appeler Veuve des origines harmoniques. Or, il s'agit de prouver maintenant qu'un système quelconque de points A, B, C,... {Jig. 9), étant donné sur un plan, aussi bien qu'une droite PS prise pour axe des origines harmoniques, on peut toujours déterminer un point Q, et seulement un point Q qui jouisse par rapport à cette droite des propriétés qui viennent d'être examinées, ou qui soit le centre des moyennes harmoniques des points proposés A, B, G,..., relativement à cette droite PS.
Qu'on mette, en effet, la figure en perspective sur un plan quelconque parallèle à la droite PS, c'est-a-dire tel, que cette droite passe à l'infini dans la nouvelle figure; il est clair, d'après ce qui précède, que s'il existe pour la figure primitive un ou plusieurs points qui soient des centres de moyennes harmoniques par rapport aux proposés et à PS, tous ces centres devront se changer à la fois en des centres de moyennes distances pour la nouvelle figure; mais un système de points quelconques ne saurait avoir plus d'un centre de moyennes distances et possède cependant toujours un tel centre; donc pareillement le système des points proposés a toujours un centre de moyennes harmoniques par rapport à une droite donnée à volonté sur son plan, et ne saurait avoir qu'un seul point pareil pour chaque position attribuée à cette droite, ce qui entraîne la proposition suivante :
Une droite f prise pour axe des origines, étant donnée à volonté dans le plan d'un système de points quelconques, il existe un autre point et seulement un point qu'on peut nommer le centre des moyennes harmoniques des premiers par rapport à la droite proposée, et dont la propriété est telle, que, si d'un point quelconque de cette droite on mène des projetantes aux points donnés, Vaxe (27) des m,oyennes harmoniques de toutes ces projetantes, par rapport à la droite donnée, ira toujoun passer par le point fixe ou centre des moyennes harmoniques dont il s'agit.
30. Les propriétés ci-dessus du centre des moyennes harmoniques de points quelconques situés sur un plan se rapportent évidemment (24) à celles que nous avons nommées projectiles; donc, si d'un point quelconque de l'espace on fait la projection ou perspective de la figure sur un nouveau plan quelconque, le centre des moyennes harmoniques des points proposés ne cessera pas d'être un centre de moyennes harmoniques en projection, par rapport à la droite qui représente l'axe des origines harmoniques du premier système; on pourra donc dire aussi que, dans l'espace h projetante de ce point est Vaxe des moyennes harmoniques des projetantes qui appartiennent aux points proposés, et cela non d'une manière absolue, mais relativement au plan projetant de la droite d'où se comptent les segments
harmoniques, plan qu'on peut aussi nommer pour cette raison plan des origines harmoniques.
Ces définitions sont évidemment des extensions de celles de l'article 27, relatives aux faisceaux de droites convergentes tracées dans un même plan, et elles donnent lieu à l'énoncé qui suit :
Un système de points quelconques étant situé dans un même plan, et un plan quelconque étant donné à volonté dans V espace, si, d' un point choisi arbitrairement dans ce dernier plan, on mène des droites ou projetantes aux différents points du premier, puis qu'on détermine, par rapport au second plan considéré comme plan des origines, l'aœe des moyennes harmoniques de ces droites, tous les axes semblables iront passer par un même point, qui sera (29 ) le centre des moyennes harmoniques des proposés, relativement à la droite d'intersection de son plan et du plan des origines.
31. Maintenant il ne nous sera pas difficile d'étendre ces considérations au cas où les points proposés A, B, C, D,... [fig. g), au lieu d'être sur un même plan, sont situés d'une manière quelconque dans l'espace.
Remarquons d'abord qu'un système pareil a toujours un centre de moyennes distances et n'en a qu'un seul dont la propriété est que: « Si l'on » projette, par des parallèles quelconques, tous les points proposés sur un » plan arbitraire, la projection de ce centre sera encore le centre des » moyennes distances de la projection des autres points du système ; c'est-à- » dire que la projetante qui lui est relative, sera Vaxe des moyennes dis- » tances de celles des autres points de la figure. »
Mais, d'après les principes que nous avons établis dans le tome P*" de ce Traité (Supplément, n°* 5, 6 et suivants), la figure qu'on vient de considérer peut toujours être censée la perspective-relief d'une autre, dans laquelle tous les points à l'infini de l'espace, relatifs à la première, sont remplacés par ceux d'un plan unique; de sorte que les différents faisceaux de projetantes parallèles de cette figure sont devenus des faisceaux de droites convergeant en des points de ce plan. De plus, dans la nouvelle figure, les centres et axes de moyennes distances sont devenus (30) des centres et axes de moyennes harmoniques par rapport au plan dont il s'agit ou aux droites qui le concernent ; et, d'un autre côté, quelle que soit la situation d'un plan à l'égard d'un système de points quelconques donnés dans l'espace, on peut toujours, d'après les principes cités, considérer ce système comme la perspective en relief d'un autre pour lequel le plan dont il s'agit est passé à l'infini; donc enfin:
Un système de points quelconques et un plan étant donnés dans l'espace^ il existe toujours un autre point et un seul point, qu'on peut nommer centre des moyennes harmoniques des proposés par rapport au plan que Von considère en particulier, et dont la propriété est telle, que, si on le projette ainsi que tous les proposés sur un nouveau plan arbitraire et à partir d'un point quelconque du premier pris pour centre de projection, il demeure dans cette projection un centre demoyennes harmoniques relativement à la droite d'intersection des deux plans; c est-à-dire que la projetante qui le renferme est (30) l'axe des moyennes harmoniques de toutes les autres, relativement au plan qui contient tous les centres de projection, et qui est ici encore le plan des origines harmoniques.
32. S'il était permis de se servir du compas ou du tracé des parallèles, ce qui précède montre assez comment on devrait opérer pour obtenir le centre des moyennes harmoniques d'un système de points quelconques situés dans un plan ou en général dans l'espace; car, en mettant le système de ces points en perspective de façon que la droite ou le plan des origines harmoniques, qu'on s'est donné arbitrairement, passe à l'infini, tout reviendrait à déterminer le centre des moyennes distances des points de la nouvelle figure et à le projeter sur la première.
Mais si l'on veut simplement opérer avec la règle, il faudra s'y prendre d'une autre manière.
Par exemple, si les points proposés A, B, C, D,... [fig-^] sont dans un même plan, ainsi que la droite PS qui sert d'origine aux segments harmoniques, il faudra, de deux points différents S, S' de cette droite, faire la perspective ou projection centrale des proposés sur deux droites arbitraires telles que/?^ par exemple; cherchant ensuite, par les procédés du n° 24, et pour chaque droite pd, le centre des moyennes harmoniques q des points a, h, c, d,... de la projection, et cela par rapport au point/> qui appartient à l'axe PS des origines harmoniques, les projetantes ^S des centres partiels ainsi obtenus iront (29) se couper au centre unique Q des moyennes harmoniques que l'on cherche.
Si les points proposés A, B, C,..., étaient situés d'une manière quelconque dans l'espace, il suffirait évidemment de remplacer, dans les opérations cidessus, l'axe PS des origines harmoniques et les transversales arbitraires /7flf par des plans.
33. Mais on peut aussi opérer directement sur les points proposés, sans recourir à la projection, ainsi que cela se pratique lorsqu'il s'agit de trouver
