II

le centre des moyennes distances; et cette méthode aura en même temps l'avantage d'être plus expéditive que la précédente.

Pour cela, il suffit d'observer, d'après ce qui précède, que l'un de ces systèmes peut toujours être envisagé comme la perspective de l'autre, et qu'il n'y a de différence entre eux, qu'en ce que, pour le cas des moyennes distances, le point, la droite, le plan qui servent d'origine aux segments harmoniques sont situés entièrement à l'infini, de sorte que les systèmes de lignes qui y convergent sont des systèmes de parallèles, tandis que les divisions harmoniques sont remplacées par les divisions en parties égales, et ûice versa pour l'autre système de points.

Soient, par exemple. A, B, C {PL Ihfig. lo), trois points quelconques dont il faille trouver le centre des moyennes harmoniques Q par rapport à la droite PP'; on se rappellera que, dans le cas où la droite PP' est à l'infini, et où le point Q devient {fig. 1 1 ) le centre des moyennes distances de A, B, C, on n'a qu'à prendre les points milieux q, q' , q" des côtés du triangle ABC, et à joindre par une droite chacun de ces points au sommet opposé du triangle ; car ces droites donneront par leur croisement le point Q demandé. Opérant donc de la même manière sur le triangle proposé ABC [fig. lo), en prenant (2 et 7) pour les points q, q' , q" les centres de moyennes harmoniques des couples de sommets correspondants,, et cela en choisissant pour origines respectives des segments harmoniques les points P, P', P", où les côtés du triangle ABC vont rencontrer la droite PP', le point Q ainsi construit sera le centre des moyennes harmoniques des sommets A, B, C par rapport à cette droite.

34. Pour le cas de quatre points A, B, C, D {fig. ii), dont on veut avoir le centre Q des moyennes harmoniques par rapport à la droite P'P", on prendra ces points pour les sommets d'un quadrilatère ABCD, dont on prolongera les côtés jusqu'à la droite P'P"; on déterminera ensuite les centres des moyennes harmoniques q, q' , q", q" des paires de sommets appartenant à chaque côté, et cela relativement au point de rencontre de ce côté et de la droite P'P"; joignant ensuite ceux de ces centres qui se trouvent sur les côtés opposés du quadrilatère, on aura les droites qq", q'q'" dont l'intersection Q sera le point demandé; car c'est ainsi qu'on opérerait si la droite P'P" passant à l'infini, il s'agissait de déterminer le centre Q des moyennes distances des points A, B, C, D.

On pourrait d'ailleurs remplacer le quadrilatère ABCD par tout autre qui aurait les mêmes sommets ; on pourrait aussi chercher le centre des moyennes

harmoniques de trois quelconques des points proposés, et le joindre au quatrième par une droite qui devrait renfermer le point cherché, etc. ; dans tous les cas on obtiendra un point unique Q, comme cela a lieu lorsqu'on suppose l'axe des origines P'P" à l'infini.

35. Si l'on avait cinq points à considérer, on rechercherait d'abord le centre des moyennes harmoniques de quatre quelconques de ces points, et la droite qui le joindrait au cinquième renfermerait le centre des moyennes harmoniques du système total des points donnés; une nouvelle opération analogue donnerait donc ce centre lui-même. En général, on pourra prendre le centre des moyennes harmoniques d'un certain nombre de points, puis le centre pareil des points restants; la droite qui renfermera les deux centres ainsi trouvés contiendra aussi celui du système total des points donnés. Mais, au lieu de rechercher une nouvelle droite qui contienne ce dernier centre, on pourra se contenter de déterminer, sur la première (9 et 12), le centre des moyennes harmoniques des deux centres partiels déjà trouvés, relativement aux nombres qui marquent de combien de points ces centres respectifs proviennent, etc.

On voit comment il faudrait s'y prendre pour un nombre quelconque de points qui seraient supposés dans l'espace; il suffirait, dans les opérations ci-dessus, de remplacer la transversale P'P" par un plan, ainsi qu'il a déjà été expliqué (32).

36. Ce qui précède est simplement relatif au cas où les coefficients numériques, par rapport auxquels on prend les centres de moyennes harmoniques, sont égaux à l'unité ou égaux entre eux; mais il est évident, d'après les articles 26, 27, etc., que tout ce que nous avons pu dire, jusqu'à présent, de ce cas particulier, est immédiatement applicable à celui où les coefficients seraient des nombres quelconques répondant respectivement aux points donnés. Ainsi, par exemple, si l'on a trois points A,B, C{Jig lo), dont m, m', m" sont les coefficients numériques respectifs, et qu'il s'agisse d'en trouver le centre de moyennes harmoniques Q, par rapport à ces coefficients et à la droite PP'; on prendra d'abord (9 et 12) le centre des moyennes harmoniques q des points A et B, par rapport aux coefficients m et m' qui leur correspondent, et au point P de la droite des origines PP'; puis on prendra pareillement le centre des moyennes harmoniques q' des points B et C, par rapport aux coefficients numériques m' et m" et au point P' de PP'; les droites qC et q'A iront encore se croiser au point Q demandé, et^il en serait de même de la droite q"B, qui appartient au centre de

moyennes harmoniques q^' de A et de G, par rapport aux coefficients numériques m et m" de ces points.

En effet, si l'on met la figure en perspective de façon que la droite PP' passe à l'infmi , le point Q deviendra évidemment le centre des moyennes distances des points A, B, C par rapport aux coefficients m, m\ m".

D'après cet exemple et d'après ce qui a été dit pour le cas particulier où les coefficients numériques sont égaux à l'unité, on voit ce qu'il y aurait à faire pour celui où l'on aurait un nombre quelconque de points auxquels correspondraient respectivement des coefficients numériques donnés, s'il s'agissait de trouver, pour ces coefficients, le centre des moyennes harmoniques des points dont il s'agit.

37. Il n'est pas inutile d'observer que le cas particulier où les coefficients numériques sont égaux entre eux, ou égaux à l'unité, donne lieu à des simplifications notables dans la construction générale ci-dessus du centre des moyennes harmoniques. Car, par exemple, s'il s'agit des sommets d'un triangle ABC [fig- lo), tout consistera alors, pour avoir les trois droites c^', kq' et B^" qui contiennent leur centre Q des moyennes harmoniques, à former un nouveau triangle A'B'C circonscrit au premier, dont les côtés aillent concourir respectivement aux points P, P' et P", où les côtés qui leur sont opposés dans le premier vont rencontrer l'axe ou le plan des origines harmoniques PP'. En effet, en se reportant à la projection {fig. ii), où l'on suppose PP' à l'infini, il sera facile de voir que les droites AA', BB', CC qui joignent les sommets opposés des triangles seront précisément celles qui se croisent au point Q demandé.

On peut d'ailleurs remarquer que le triangle inscrit qq'q", qui a ses sommets aux centres de moyennes harmoniques q, q'y q" des côtés du proposé ABC, jouit, à son égard, des mêmes propriétés que le triangle circonscrit A'B'C; de sorte que, si l'on connaissait seulement l'un quelconque q de ses sommets, on obtiendrait les deux autres par le simple tracé des droites P'/y, V'q'q.

38. Plus généralement, si l'on a un nombre quelconque de points A, B, C, D {fig' 12) situés ou non dans un même plan, et que P'P" soit l'axe ou le plan des origines harmoniques, il suffira de connaître le centre q des moyennes harmoniques de deux quelconques A, B de ces points, pour en déduire sur-le-champ ceux qui appartiennent à tous les points proposés en les prenant deux à deux.

Supposons, par exemple, que les points A, B, C, D, . . . , soient pris pour

les sommets d'un polygone ABCD..., il sera très-facile d'obtenir sur chaque côté le centre des moyennes harmoniques des sommets adjacents; car, d'après ce qui précède, pour avoir le centre q' des sommets B et C, ayant déjà le centre ^ de A et B, on n'aura qu'à tracer la droite qc^ qui va rencontrer l'axe des origines harmoniques P'P" au même point que la diagonale AG du polygone appartenant aux trois sommets consécutifs A, B, C que l'on considère.

Pareillement, pour obtenir le centre ^" qui appartient au côté suivant CD, on n'aura qu'à tracer la droite ^'^" qui va rencontrer l'axe des origines au point où le rencontre la diagonale BD, déterminée par les sommets extrêmes des côtés BG et CD que l'on considère et auxquels appartiennent les points q' et ^". En continuant donc ainsi jusqu'au dernier côté du polygone ABCD. . ., on formera un nouveau polygone qq'q'q"'"' inscrit au premier, dont les côtés rencontreront respectivement l'axe des origines P'P" aux points où le coupent les diagonales du premier polygone qui joignent ses sommets alternatifs, et dont les sommets seront précisément les centres de moyennes harmoniques qu'on cherche sur les côtés du polygone ABCD. ...

Il est clair qu'ayant une fois les centres de moyennes harmoniques des différents côtés du polygone ABCD. . ., on aura sans peine celui qui appartient à une diagonale ou à deux sommets quelconques, car cette diagonale est elle-même le dernier côté de l'un ou de l'autre des polygones dans lesquels elle divise le proposé, polygones dont on connaît déjà les centres de moyennes harmoniques des différents côtés à l'exception de celui du dernier, qu'on pourra obtenir ainsi par le tracé des simples lignes droites.

39. Toutes ces constructions peuvent d'ailleurs s'établir directement, en supposant qu'on mette la figure en perspective de façon que la droite ou le plan P'P" des origines harmoniques passe à l'infini; et l'on voit en même temps quelle espèce de simplifications elles apportent dans la détermination ci-dessus (art. 35) du centre de moyennes harmoniques d'un nombre quelconque de points situés à volonté sur un plan ou dans l'espace; or ces remarques ne sont pas simplement curieuses, comme on va s'en convaincre par ce qui suit.

En effet, ce qui précède fournit un moyen très-simple et très-expéditif pour construire, sur une droite /?</ (fig- 9)» le centre^ des moyennes harmoniques d'un nombre quelconque de points a, b, c, ..., par rapporta un dernier point p pris pour origine de segments harmoniques; car, ayant mené d'un point quelconque S, situé au dehors de la àvoiie pd, les proje-

tantes S<2, Sb, Se, Se?,..., puis, ayant pris à volonté de nouveaux points A, B, C, D, . . ., sur chacune d'elles et répondant respectivement à ceux dont on cherche le centre des moyennes harmoniques, tout consistera à construire, comme il vient d'être expliqué dans ce qui précède, le centre pareil Q des points A, B, C, D,..., par rapporta PS pris pour axe des origines, et à projeter ce centre, de S sur pd, en q, qui sera (28 et 29) le point demandé.

40. Cette construction est plus simple que celle qui a été indiquée art. 14, et l'on peut remarquer qu'elle s'étend immédiatement au cas général où le centre q des moyennes harmoniques que l'on cherche est relatif (26) à des coefficients numériques quelconques m, m', m",. . ., répondant respectivement aux points donnés a^b,c, d,. . ., puisqu'il suffît évidemment, au lieu de se borner à ne prendre qu'un seul point A, B, C,. . ., sur chacune des projetantes Sa, Sb, Se,. .., qui appartiennent aux proposés, d'en choisir autant qu'il est marqué par le coefficient numérique relatif à cette projetante ou au point d'où elle dérive.

Que l'on ait, par exemple, deux points a, b, auxquels correspondent respectivement les coefficients numériques m et m', on devra prendre m points arbitraires sur la projetante Sa, et m' points pareils sur la projetante Sb; cherchant ensuite le centre Q des moyennes harmoniques de ces m -\- m' points et le projetant en q swr pb, q sera le centre des moyennes harmoniques de a et de 6 relativement à m et m' ; c'est-à-dire qu'on aura (9 )

pq pa pb

ou (24)

aq , bq

ap bp

en ayant égard à la règle des signes posée art. 17.

Les points A, B, C,. . ., qu'on doit prendre sur les diverses projetantes Sa, Sb, Se,..., pouvant avoir une position quelconque, on devra profiter de cette détermination pour simplifier les opérations relatives à la recherche des points Q et q\ mais ces simplifications se présentent d'une manière trop facile, dans les projections de la figure où ces points deviennent des centres de moyennes distances, pour qu'il soit nécessaire d'entrer dans des détails; et l'on serait conduit d'ailleurs à des résultats qui n'auraient qu'un léger avantage sur ceux des articles 9 et suivants, où l'on ne considère simplement que deux points a, b et les coefficients numériques m eX n relatifs à ces points.

DES CENTRES DE MOYENNES HARMONIQUES. Sg

§ IV

Application de la théorie du centre des moyennes harmoniques aux propriétés des figures rectilignes et polyédrales.

41. La théorie qui vient de nous occuper donne lieu à un grand nombre de propriétés nouvelles concernant les figures rectilignes ; beaucoup de ces propriétés, entièrement analogues à -celles qu'on déduit ordinairement de la théorie du centre des moyennes distances, sont par là même faciles à découvrir et peuvent être abandonnées aux investigations du lecteur; mais il en est d'autres qui, se rattachant à des propriétés du centre des moyennes distances moins généralement connues, et qui, étant susceptibles d'être transportées dans la théorie des courbes et des surfaces géométriques, méritent qu'on leur accorde une attention plus particulière; or, c'est à cet objet que nous allons consacrer les dernières pages de ce Mémoire.

Remarquons, en premier lieu, que la plupart des principes que nous avons établis sur le centre des moyennes harmoniques peuvent être envisagés comme autant de propriétés distinctes des figures composées simplement de points, de droites et de plans quelconques.

Par exemple, les principes des n"* 24 et suivants conduisent immédiatement à cet énoncé :

Étant donné à volonté, dans un plan, un faisceau de droites projetantes Sp, Sa, Sb, Se,..., (fig. 7), c' est-h-dire convergeant en un même point S, si, ayant choisi l'une quelconque denUe elles Sp pour axe des origines harmoniques, ou mène arbitrairement des transversales droites ps, p's',..., dans ce faisceau, puis qu'on détermine, sur chacune d'elles, le centre des moyennes harmoniques q, q',..., des points d' intersection a, b, c,..., a', b', c',.-«> qià lui appartiennent, par rapport aux points p, p',..., de l'axe Sp des origines harmoniques et relativement à des coefficients numériques quelconques (26), la suite des centres pareils sera une seule et^ême droite S q, passant par S, et que nous avons nomméeVâxe des moyennes harmoniques du faisceau formé par toutes les autres projetantes .

42. Au lieu de mener arbitrairement les transversales /?*,/?' 5',..., on peut exiger qu'elles passent par un même point du plan de la figure, et prendre ce point sur l'axe Sp des origines harmoniques, en/? par exemple, auquel cas cet axe devient inutile pour déterminer les centres q^ puisque le point/?

4o THÉORIE GÉNÉRALE

est, pour toutes les transversales, l'origine commune et unique des segments harmoniques: le théorème ci-dessus subsiste évidemment toujours; mais ainsi particularisé, il offre l'avantage singulier de pouvoir s'étendre à un système de droites quelconques situées dans un plan, et non plus simplement à un système de droites convergeant en un même point S; bien plus, pour arriver au théorème ainsi généralisé, il suffit, comme on va le voir, de partir du cas particulier où l'on ne considère que deux droites uniques Sa etSb, cas qui se déduit immédiatement des principes exposés art. 8 et 9 de cette Section.

Soient, en effet, AB, BC, CD,... {PL II, fig. i3), des droites indéfinies situées sur un plan, p un point arbitraire pris pour pôle des transversales ph qui rencontrent respectivement en a, h,Cyd,..., les droites fixes dont il s'agit; je dis que si l'on détermine, sur chaque transversale pb^ le centre q des moyennes harmoniques des points a, h, c, d,..., par rapport au pôle p pris pour origine des segments et aux coefficients numériques quelconques m, m', m" ,..., la suite des points q sera une droite unique q(X qu'on pourra appeler Vaxe des moyennes harmoniques des droites proposées, relativement àjo et aux différents coefficients qui leur correspondent respectivement.

Pour le prouver, considérons d'abord deux droites AB, BC, auxquelles répondent les coefficients numériques m Qim'\ si, sur les transversales /)c?, nous prenons sans cesse les centres q' de moyennes harmoniques qui répondent aux points a et b de l'angle ABC, et aux coefficients m etm\ d'après ce qui précède, la suite des centres q' sera une droite q'B passant par le sommet de l'angle, et à laquelle correspondra (24et26) un nouveau coefficient m + m'. Soit Q le point où cette droite rencontre CD, la troisième des droites données; prenons sur la transversale variable pb le nouveau centre q" de moyennes harmoniques des points c et q' qui appartiennent aux côtés CDc et BQ^' de l'angle cQq', et cela par rapport au point jo et aux coefficients m", m -h m' répondant respectivement à ces côtés; le point q" sera le centre des moyennes harmoniques de a, b, c, et la suite de ces centres sera une nouvelle droite ^"Q passant par Q, à laquelle correspondra un coefficient m -\-m' -\- m", et qui rencontrera la quatrième AD des droites données en un point Q' qu'il faudra prendre pour nouveau sommet d'angle, etc. On arrivera donc, en continuant ainsi, à une dernière droite qQ' qui sera le lieu des centres de moyennes harmoniques de tous les points d'intersection a, b, c, d,..., de la transversale mobile et des droites proposées, et qui en sera l'axe de moyennes harmoniques pour les coefficients m, m\ m",...,

DES CENTRES DE MOYENNES HARMONIQUES. 4i

et relativement au pôle/?; théorème qu'on peut énoncer très-simplement de cette manière :

Un système de droites quelconques étant donné dans un plan, si l'on coupe ce système par une suite de droites transversales passant par un même point ou pôle, puis qu'on détermine, pour chaque transversale, le centre de moyennes harmoniques des points d'intersection correspondants, en prenant le pôle pour origine des segments , la suite de tous les centres pareils sera une droite unique, c est-à-dire Vaxe de moyennes harmoniques des proposées par rapport au pôle et aux coefficients donnés ( * ) .

43. Remarquons que chacune des manières dont nous avons enseigné (20, 24, 26) à définir graphiquement ou numériquement le point q de la transversale mohile ph donne lieu à un énoncé particulier du théorème qui précède. Ainsi, par exemple, si l'on définit le point q par la relation

m.aq m' .bq m" .cq m'" .dq

ap bp cp dp

ou par celle-ci

pq pa pb pc

la suite des points q sera une ligne droite.

Il en sera de même évidemment de la suite des points q déterminés par la relation plus générale

— = i--rH h...,

pq pa pb pc

dans laquelle k est un coefficient numérique quelconque. Maintenant si, dans cette dernière relation, on suppose tous les coefficients égaux à l'unité, on

(*) Dans le cas particulier où, les coefficients /w, /»',..., étant égaux à l'unité, on ne considère que le système de trois lignes droites, et où l'on prend pour pôle p le centre de gravité ou des moyennes distances du triangle formé par ces droites, l'axe des moyennes harmoniques passe tout entier à l'infini, et l'on a, pour une transversale quelconque issue de p et rencontrant en a, è, c, les côtés du triangle,

— + -7 + — = o; pa pb pc

et, eh efiet, cette relation, en ayant égard à la loi des signes (17), est satisfaite pour les trois positions de la transversale où elle passe par l'un des sommets du triangle; car on a alors, par exemple, pb — pc = -xpo.

Ce théorème a été démontré par Mac-Laurln dans son Traité des courbes géométriques.