AC.PB = AB.PC-+-BC.PA

dont les différents termes renferment les mêmes lettres ; et l'on voit aussi comment il faudrait agir pour préparer, de la môme manière, toute relation linéaire du premier degré entre les simples distances de points rangés en ligne droite.

Sous cette nouvelle forme, d'ailleurs, la relation qui précède n'exprime évidemment rien de plus que celle d'où elle provient, attendu que le point P est censé à l'infini. Mais étant projective, elle ne devra pas cesser d'avoir lieu en mettant les points A, B, C et P en perspective sur la nouvelle droite arbitraire pn, à partir d'un point quelconque S; on aura donc, en nommant «, b, c cl p les nouveaux points, dont le dernier appartient évidemment à la projetante pS parallèle à AC,

ac.pb — nb.pc + bc.pa,

relation qui a lieu, de la même manière (18), entre les sinus des angles projetants relatifs à chacune des distances qui y entrent.

On pourrait croire que cette relation est simplement relative à une certaine position particulière de p à l'égard de «, b, c;mais il est facile de prouver le contraire; car ayant choisi, à volonté, un tel point sur une drçite abc, on pourra toujours mettre la figure en projection sur une autre droite AC, de façon que p passe à l'infini , puisqu'il suffit de prendre AC parallèle à la projetante S/> de ce point; or, la relation ci-dessus, qui est projective, sera satisfaite naturellement pour la projection AC; donc elle aura pareillement lieu pour la droite «c, quels que soient les points a, b, c, p.

Voyons maintenant comment, par des transformations convenables, nous aurions pu arriver directement à la relation dont il s'agit en partant de celle ac= ab + bc qui n'en est qu'un cas particuher relatif à l'hypothèse où P serait à l'infini.

A cet effet, multiplions l'équation ac — ab-\-bc par la distance /^Z» ; on aura successivement, pour la position actuelle de «, b, c etp,

nc.pb = ab.pb + bc.pb = ab [pc — bc) ~\- bc [pa+ ab) — ah .pc -\- bc.pa, qui est précisément celle qui a été obtenue ci-dessus par une voie très-ditTérente (*).

(") Un savant géomètre, dont l'érudition est incontestable, attribue au grand Euler ( Pétersbourg, 1747 et 1748) cette remarquable et élégante relation entre les six segments de quatre points rangés sur une même droite, et dont il a faitlabase de ses écrits en 1837 et i852, d'où sont proscrites soigneusement les

NOTE II. 55

Sans nous arrêter longuement aux cas particuliers, nous considérerons de suite un nombre quelconque de points «, 6, c, r/, ..., »?, n [fg. 19), rangés sur une même droite; il est évident qu'il existera entre les distances de ces points, pris trois à trois, quatre à quatre, etc., une infinité de relations purement linéaires et évidentes, telles que celle «c = «6 4- te qui vient de nous occuper précédemment; or, si l'on prend arbitrairement un nouveau point /j sur la droite en question, il sera très-aisé, d'après Ce qui précède, d'en déduire, sur-le-champ, un égal nombre d'autres relations plus générales et jouissant de propriétés analogues à celles de la transformée

ac.pb = ab.pc -\- bc.pa.

Par exemple, ayant pour la position actuelle des points «, ^, c, <"/,..., /«, «, la relation générale

an — ab -\- bc -\- cd -{- . . . -{- nm,

on en conclura la suivante, en multipliant chacun de ses termes par le produit des segments relatifs au point /? et à tous ceux des proposés qui n'appartiennent pas à ce terme,

an [pb.pc .pd . . . pni) = ab [pc.pd . . . pm.pn) 4- bc [pa.pd . . . pni.pn) -\- cd[pa.pb . . . pm.pn) -[-...+ mn [pa.pb.pc.pd . . .).

Il est visible, en effet, que cette relation remplit toutes les conditions prescrites, qu'elle peut s'établir par les mêmes moyens et donner lieu aux mômes réflexions que celles que nous avons émises pour le cas particulier de trois points.

Pour la justifier à posteriori , nous la mettrons sous cette forme beaucoup plus simple, en divisant chacun de ses termes par le produit de tous les segments relatifs au point p et aux différents points proposés,

an ab bc cd mn

pa.pn pa.pb pb.pc pc.pd pm.pn

et, en effet, on est immédiatement conduit à la relation suivante

pn — pa pb — pa pc — pb pd — pc pn — pm

pa.pn pa.pb pb.pc pc.pd pm.pn

qui, en effectuant les divisions partielles, se réduit évidemment à une simple identité entre les diverses réciproques des distances /^o, pb, pc, . . . Cette remarque, à laquelle on n'eût peut-être pas songé sans ce qui précède, conduirait également aux diverses autres relations analogues à celle que nous avons établie ci-dessus; ainsi, par exemple, on aurait, /> étant le nombre des points proposés a, byC, . . ., m, n,

( /■ — 3) an ab ac am nm ne nb

pa.pn pa.pb pa.pc pn.pm pn.pm pn.pc pn.pb

Au surplus, les relations précédentes ayant lieu pour des points quelconques rangés en ligne droite doivent être soigneusement distinguées de celles qui expriment des conditions particulières, propres à faire trouver un ou plusieurs de ces points, à l'aide de certains autres supposés donnés. Elles ne sont, en dernière analyse, comme on voit, que des sortes d'identités exprimant et la juxtaposition

notions de l'infini et des transformations polaires et projectives; mais il est aisé de comprendre, d'après la diversité des procédés et la grande généralité de nos méthodes qui embrassent toutes les relations métriques projectives d'un nombre quelconque de points, que je n'ai rien dû emprunter à Euler ou à d'autres dans mes Mémoires de 1824 et même de i83o, qui constituent le texte principal du tome II des Propriétés projectives. (J^oXa de 1864.)

des distances qui y entrent, et leur situation en ligne droite; mais, en ce sens môme, elles sont trèsdignes d'être remarquées pour les conséquences qu'on en peut déduire en général, soit par rapport aux autres relations projectives entre les distances, soit relativement à celles qui ont lieu entre les lignes trigonométriques des arcs et des angles; car il est évident que, puisqu'elles satisfont toutes aux conditions des n°' 9 et suivants du tome I" du présent Traité, rappelées art. iS de cette Section, elles doivent subsister également et sans conditions quelconques, soit entre les sinus des angles formés par xm nombre quelconque de droites Sa, Sb, Se, . .., passant par un même point S, soit entre les sinus des arcs a'b', b'c', c'd', . . ., qui mesurent ces angles sur une circonférence de cercle ayant pour centre le sommet commun S de tous ces angles. Ainsi, par exemple, on aura, entre ces différents sinus la relation très-générale

sin{a' n') sin(«'^') sin{6'r') sin{m'n')

s'm (p'c/).s\n{p'n')'~ sm[p'a').sin{p'b') sin{p'b').s\n[p'c') '" sinyp' m').sm{p'n')'

qu'on peut changer en celte autre, en rapportant tout à l'origine commune p des arcs,

s'm [p' n' —p'a') sin{p'b' — p'a') sin [p' c' — p' b' ) sm{p' n' — p'in')

sm{p'n').s\n[p'n')~ sm{p'a').sm{pb') sin [p'b'). sin [p'b') '" sin (/?'w'). sin (/>'«')'

et qui comprend, sous celte nouvelle forme, comme cas particuliers, presque toutes les formules fondamentales de la Trigonométrie, ainsi qu'on peut le voir par les articles 139,440 et suivants de la Géométrie de position, où cette même relation générale est exposée d'après des principes fort différents de ceux qui précèdent.

Au surplus, on déduirait beaucoup d'autres relations non moins générales des considérations qui précèdent, et en y supposant ensuite certains angles ou certains arcs égaux à un quadrant, on obtiendrait celles qui concernent les cosinus, etc.; mais je laisserai au lecteur le soin de cette investigation et de ces rapprochements très-curieux, et me contenterai d'ajouter une dernière remarque à toutes celles qui précèdent : c'est que les relations entre les simples distances de points rangés sur une même droite, et qui satisfont aux conditions particulières déjà souvent indiquées, s'appliquent directement aux arcs de cercle et aux angles quelconques ayant un sommet commun , et peuvent être établies de la même manière; de sorte que, pour passer de là aux relations qui concernent les lignes trigonométriques, il ne s'agit que de remplacer chaque arc et chaque angle par le sinus qui lui est propre, proposition qui mérite particulièrement d'être remarquée des géomètres.

Enfin, je ne crois»pas devoir passer sous silence une autre observation très-générale, et qui découle immédiatement des n°^ 18 et 19 du Traité des Propriétés projectiles (t. I): c'est que « toute la théorie du centre des moyennes harmoniques, qui se trouve exposée dans la présente Section, s'étend immédiatement aux figures tracées sur la surface de la sphère, en remplaçant les droites indéfinies par des circonférences de grands cercles, et les distances ou portions de droites par les sinus des portions correspondantes de ces circonférences {*). »

(*) Fojez à la fin de ce volume une Addition relative au contenu de cette Note (i 864).