Il suit de là, en particulier, que

Les diverses propriétés apgulaires et descriptives dont jouissent les cercles et les sphères peuvent se traduire immédiatement en d' autres propriétés d'angles appartenant au foyer commun des sections coniques et des surfaces du second degré de révolution, ce dont nous avons déjà montré de beaux et de nombreux exemples, Chapitre I, Section IV du tome P" du Traité des Propriétés projectives des figures.

Remarquons en outre que, puisqu'un système quelconque de cercles tracés dans un plan, ou un système quelconque de sphères dans l'espace, a

SECTION IL - DES POLAIRES RÉCIPROQUES. loi

toujours, à l'infini, soit une sécante^ soit une section plane idéale commune (même ouvrage, Section F^, et Supplément), les lignes et les surfaces du second ordre qui en sont les polaires réciproques par rapport à un autre cercle ou à une autre sphère pris pour auxiliaires, auront aussi idéalement (106) pour point de concours des tangentes communes, ou pour sommet de cône enveloppe commun, le centre qui sert à la fois de foyer à tout leur système ; de sorte qu'elles jouiront entre elles, sous ce rapport, de propriétés descriptives analogues à celles qui appartiennent aux systèmes de cercles ou de sphères ayant un centre de similitude commun, ou, plus généralement, aux systèmes de lignes et de surfaces du second ordre, qui ont un centre d'homologie commun, c'est-à-dire qui sont la projection, \2i perspective-relief \q& unes des autres (*).

De là résulterait donc une foule de propositions et de rapprochements curieux; mais nous ne saurions insister sur ces conséquences particulières et faciles, sans nous écarter du but général que nous cherchons à atteindre ; c'est pourquoi nous allons passera un dernier exemple relatif aux propriétés d'angles des figures dans l'espace.

. 117. MM. Hachette et J. Binet ont démontré, p. 71 du tome II de la Correspondance polytechnique, que, « si, entre deux droites fixes quelconques, on fait mouvoir deux plans rectangulaires, la surface engendrée par la droite intersection de ces plans est une hyperboloïde à une nappe ou surface gauche quelconque du second degré. » Appliquant donc à cet énoncé les principes exposés plus haut (109), on sera immédiatement conduit à cet autre théorème qu'on peut regarder comme le réciproque du premier :

Deux droites étant situées à volonté dans l'espace, si, entre ces droites, on fait mouvoir un angle droit dont le sommet soit en un point fixe de l'espace, et dont les côtés s'appuient respectivement sur ces droites, la suite de celles qui appartiennent à la fois aux paires de points de rencontre des droites fixes et des côtés de C angle mobile, sera une surface gauche (92) du second ordre, où hyperboloïde à une nappe.

118. En général, on voit que : il n'est, en quelque sorte, aucune propriété concernant les angles constants d'une certaine figure située dans V espace ou dans un plan, de laquelle on ne puisse déduire, à l'aide des principes qui précédent, une autre tout aussi générale, quoique essentiellement distincte de la proposée.

(*) Traité des Propriétés projcctivcs, tome I, Sect. III, Chap. I; Sect. IV, Chap. I, et Supplément.

Parmi les diverses relations d'angles qui peuvent appartenir aux figures et qui sont remarquables autant par leur utilité propre que par leur généralité, je me contenterai de citer celles qui concernent les normales, les développées et les lignes de courbure des courbes et des surfaces, qu'il serait aisé de transformer, à l'aide de la tbéorie des polaires réciproques, en d'autres également générales quoique, sans contredit, d'un bien moindre intérêt. Je citerai encore la description organique par le moyen à' angles constants, que Newton a donnée pour les lignes du second degré, enfin toute la Géométrie organique du célèbre Mac-Laurin, fondée sur ce théorème de Newton, aussi bien que les recherches postérieures du même géomètre, imprimées dans les Transactions philosophiques de la Société Royale de Londres pour 1-735.

Ces diverses propositions nous conduiraient sur-le-champ à d'autres entièrement nouvelles, où, au lieu de décrire les courbes par le mouvement de certains points mobiles, on les construirait par l'enveloppe de leurs tangentes, etc., etc. Mais, encore une fois, nous ne saurions nous arrêter à ces corollaires faciles de la théorie des polaires réciproques, et il doit nous suffire d'avoir montré, par quelques exemples simples, la nature et l'étendue des applications qu'on peut en faire.

119. Au surplus, tout ce qui précède ne concerne uniquement que les relations d'angles d'ouverture donnée et constante; mais il est évident qu'on peut traduire d'une manière semblable celles qui concerneraient des angles variables quelconques et dont on connaîtrait la loi en fonction des lignes trigonométriques; car, à l'aide des principes établis aux n"* 109 et suivants, on pourra toujours traduire ces relations en d'autres concernant des angles suppléments des premiers, et qui auront pour sommet commun un point quelconque de l'espace pris pour centre du cercle ou de la sphère auxiliaire.

Par exemple, si, au lieu des normales d'une surface ou d'une courbe quelconque, on considère les systèmes de droites ou de plans formant entre eux et avec une courbe ou une surface donnée des angles arbitraires dont les sinus seraient assujettis à une loi déterminée, les réciproques de ces droites, à l'égard d'un cercle ou d'une sphère auxiliaire choisis à volonté, seront comprises (109) dans des plans passant par le centre de cette sphère, et formant respectivement des angles dont les sinus devront avoir entre eux précisément la relation donnée entre les premiers. Ainsi, en particulier, les propriétés générales Aq^ faisceaux de droites réfléchies ou réfractées pourront se traduire immédiatement en d'autres d'une espèce toute différente et qui,

SECTION II. — DES POLAIRES RÉCIPROQUES. io3

sans être par elles-mêmes d'une égale importance, n'en seront pas moins utiles à considérer. On conçoit, en effet, que la recherche des relations qui appartiennent à ce système dérivé pourra, dans certains cas particuliers, être plus simple et plus facile que pour la figure primitive elle-même.

Nous n'en dirons pas davantage sur ce sujet, attendu que nous aurons occasion, dans le paragraphe suivant, de considérer une classe très-étendue de relations entre les sinus des angles, et de démontrer ainsi, d'une manière plus particulière, le parti avantageux que l'on peut tirer des principes qui viennent d'être mis en avant dans ce qui précède.

Des relations projectiles entre les lignes trigonométriques et les clistances des figures polaires réciproques dans un plan.

120. Nous avons vu (58) qu'un faisceau quelconque de droites VA, VB, YC,..., VF (fig- 2^, PL III) convergeant en un même pointVsur un plan, et qu'on peut simplement ^ipi^elev faisceau projetant, avait pour réciproque, par rapport à une section conique quelconque (S) prise pour auxiliaire, un système pareil de points A', B', C',..., F', rangés sur une même droite, et vice versa; donc, si l'on suppose, en particulier, que (S) soit un cercle, toute relation existant entre les sinus des angles projetants formés autour du point V aura lieu également (110) entre les sinus des angles formés par les droites ou rayons vecteurs qui, du centre S, projettent les pôles respectifs de ces droites, c'est-à-dire entre les angles projetants des distances, rangées sur D'E', qui ont pour extrémités respectives les pôles des côtés des premiers angles; et réciproquement, toute relation entre les sinus des angles au centre S aura lieu pareillement entre ceux des angles correspondants formés autour du pôle V de D'E'.

Cela posé, admettons qu'entre les distances des points donnés A', BS C',..., F', il existe une ou plusieurs relations métriques projectives de la nature de celles que nous avons définies art. 9 et suivants du tome I" du Traité des Propriétés projectives, et qui ont été rappelées au n° 18 de la précédente Section, la même relation aura donc lieu entre les sinus des angles qui projetteraient ces distances du point quelconque S; et, par suite de ce qui précède, elle aura lieu également entre les sinus des angles du faisceau V. Donc toute droite AF, prise pour transversale de ce faisceau, y déterminera des points A, B, C,..., F, qui auront entre eux précisément la

io4 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES,

même relation projective que les points A', B', C',..., F' qui leur correspondent. Et réciproquement :

« S'il existe entre les sinus des angles du faisceau V, ou entre les distances » qui sous-tendent ces angles sur la transversale arbitraire AF, une relation » de la nature de celles qui précèdent, cette même relation aura lieu aussi I entre les distances correspondantes des pôles A', B', C',.., F' des côtés de » ces angles. »

121. Tout ce qui suit se rapportant essentiellement aux relations métriques qui sont de la nature de celles dont nous venons de rappeler le caractère particulier, nous nous contenterons, pour la simplicité du langage, de les désigner par l'épithète générale de relations projectiles ; on devra se rappeler en conséquence que, non-seulement de telles propriétés subsistent à la fois pour la figure donnée et pour toutes ses projections centrales ou perspectives sur un plan quelconque, mais qu'encore ces mêmes relations devront satisfaire aux conditions prescrites dans les endroits cités; de sorte qu'elles auront lieu également entre les sinus des angles projetants des diverses distances qui y entrent, c'est-à-dire des angles dont les couples de côtés s'appuient respectivement sur les extrémités de ces distances, et sur un point quelconque de l'espace pris pour sommet ou centre de projection.

Pareillement, par relation projective entre les sinus d'angles d'un faisceau quelconque de droites convergeant en un même point, nous entendrons toujours parler d'une relation qui subsisterait également entre les distances correspondantes d'une figure sur les différents points de laquelle s'appuieraient les droites ou projetantes du faisceau, et qui serait projective pour cette figure.

Or il suit de cette définition que, si l'on coupe un tel faisceau par un plan arbitraire, et que, dans la relation qui lui appartient, on remplace chaque sinus d'angle par la distance qui, sur le plan arbitraire, sous-tend cet angle, la nouvelle relation devra avoir lieu également entre toutes les distances pareilles, et sera d'ailleurs projective pour la figure à laquelle ces distances appartiennent.

En supposant qu'on voulût distinguer de tous les autres le faisceau de droites qui vient d'être défini en particulier, on pourrait le wovamev faisceau projectif; il est visible, en effet, qu'un pareil faisceau, mis en perspective, conservera toujours les mêmes propriétés (voyez le tome I" du Traité des Propriétés projectives, n"' 10, 576 et suivants).

122. Soit maintenant une figure quelconque AMBC... {fig. ^5), donnée

SECTION II. - DES POLAIRES RÉCIPROQUES. io5

sur le plan d'un cercle (S) pris pour auxiliaire, et supposons qu'il existe entre les dislances AM, AB, BN,... de cette figure une relation métrique projective : ces propriétés seront donc telles que, si l'on mène d'un point quelconque V du plan de la figure un faisceau de droites projetantes VA, VM, VB,... vers les extrémités A, M, B,... de ces diverses distances, il y aura entre les sinus des angles formés par ces droites la même relation qu'entre les distances dont ils sont les angles projetants respectifs.

Passant donc a la figure réciproque de la proposée à l'égard du cercle auxiliaire quelconque (S), et observant que les projetantes VA, VM, VB,... ont pour pôles une suite de points A', M', B',... rangés sur la polaire de V, et situés aux intersections respectives de cette polaire et de celles qui appartiennent aux extrémités A, M, B,... des distances que l'on considère, on en conclura (120) que la relation projective qui existe entre ces distances a lieu également dans la figure réciproque, entre les distances des points ou pôles qui appartiennent à la polaire de V; mais le point V est arbitraire, donc on peut énoncer ce théorème général, dont le réciproque est également vrai :

Une figure quelconque étant donnée sur un plan, s' il existe entre les diverses distances de ses points une relation métrique projective, la même relation existera aussi, dans la polaire réciproque de cette figure, prise par rapport à un cercle auxiliaire quelconque de son plan, entre les distances correspondantes formées sur une droite arbitraire par les intersections de cette droite avec les polaires des extrémités respectives des premières.

Et réciproquement :

S'il existe une relation pareille entre les distances des points d'intersection d'une transversale arbitraire et des diverses droites de l'une de ces figures, la même relation nura lieu aussi entre les distances de sa réciproque, qui ont pour extrémités respectives les pôles des droites dont il s'agit, pourvu toutefois quelle soit de la nature projective, quand on Rapplique à cette réciproque,

123. Mais ce n'est pas tout encore : la relation' métrique que nous supposions exister entre les droites MA, MB, MN,... de la figure proposée ayant lieu aussi, d'après sa nature (121), entre les sinus des angles projetants de ces distances, formés autour de S, pris en particulier pour centre de projection; et, d'un autre côté, chacun de ces angles, tel que DSC par exemple, ayant même sinus (109) que l'angle D'cC formé par les polaires cD', cG des extrémités D et C de la distance correspondante CD, on voit que, dans la figure réciproque de la proposée AMBD... la relation ci-dessus entre les II. i4

io6 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

distances se change en une relation pareille entre les sinus des angles formés par les polaires des extrémités de chacune d'elles; d'où ce nouveau théorème général ;

S' il existe entre les distances d' une Jîgure plane quelconque une relation métrique projective, la même relation aura lieu encore, dans la réciproque de cette figure prise par rapport à un cercle auxiliaire quelconque de son plan, entre les sinus des angles foimés par les polaires des extrémités respectives de ces distances.

Et réciproquement ;

S'il existe une certaine relation entre les sinus des angles de certaines droites de la figure primitive, la même relation aura lieu aussi entre les distances de la réciproque dont les extrémités respectives sont les pôles de ces droites, pourvu que cette relation soit, de sa nature, projective quand on V applique à cette réciproque.

124. On peut remarquer, en passant, qu'attendu la nature particulière des relations que nous venons d'examiner, ces différents théorèmes auraient lieu d'une manière analogue dans le cas où, à la place d'un cercle, on prendrait une section conique quelconque pour directrice ou auxiliaire; car on peut toujours considérer l'un de ces systèmes comme la perspective ou projection centrale de l'autre, pourvu néanmoins que les figures auxquelles ils se rapportent soient elles-mêmes projectives de leur nature, et ne concernent par conséquent aucune grandeur constante et déterminée.

Au surplus, je crois devoir le dire expressément, cette observation, qui s'applique également au cas de l'espace que nous aurons bientôt à examiner, n'ajoute rien à la généralité des conséquences qu'il est possible de déduire des théorèmes précédents (107), quoique leur énoncé suppose que les figures polaires réciproques soient prises simplement par rapport à un cercle auxiliaire; les réflexions générales présentées art. 100 et suivants sont donc également applicables au cas particulier dont il s'agit.

1 25. Nous allons terminer l'exposition de ces principes relatifs aux figures planes par quelques applications particulières à des propositions déjà connues, seulement pour en faire pressentir la fécondité et les rendre familiers à l'esprit du lecteur.

Et d'abord nous ferons observer d'une manière générale que les propriétés nombreuses de la Géométrie de la règle et de la théorie des transversales peuvent toutes recevoir l'application de ces principes, de sorte qu'elles sont susceptibles d'être immédiatement traduites en d'autres également intéres-

santés, et dont la plupart sont encore peu connues ou même entièrement ignorées des géomètres. En effet, ces relations ou propriétés, comme nous l'avons montré ailleurs, se rapportent essentiellement à ce que nous venons d'appeler relations ou propriétés projectwes ; mais, pour n'en pas rester à ces assertions générales, nous allons examiner successivement quelques exemples fort simples, en abandonnant au lecteur le soin de faire de semblables applications aux autres relations de la théorie des transversales.

Soit un polygone plan quelconque coupé par une droite arbitraire prise pour transversale, chaque point d'intersection formera deux segments sur le pôté correspondant, et l'on sait que le produit de la moitié de ces segments, qui n'ont pas d'extrémités communes, égale le produit de tous les autres segments; or, en passant à la polaire réciproque de cette figure, on aura à considérer (61) un nouveau polygoncABCD... F {^g. 26), des sommets duquel on aurait mené des droites vers un point quelconque V de son plan représentant le pôle de la transversale. Mais chaque segment du premier polygone doit être remplacé (123) par le sinus de l'angle des polaires qui répondent à ses extrémités, c'est-à-dire (61) par le sinus de l'angle de chaque nouveau côté AB avec l'un des rayons vecteurs AV ou BV correspondants; donc :

Le produit des sinus de la moitié de ces angles qui appartiennent à des sommets différents du polygone ABCD... F, égale le produit des sinus de tous les autres, c'est-à-dire qu'on a

sinVAF.sinVFE.sin.VED.sin.VDC.sinVBA = sinVEA.sin.VEF.sinVDE.sinVCD...sinVAB.

D'ailleurs le polygone dont il s'agit est quelconque aussi bien que le polygone primitif ou son réciproque, et il en est de même encore du point V; donc le théorème qui précède est général et s'applique à toute espèce de polygones plans.

126. Le même principe a été établi d'une autre manière par M. Carnot, p. 3oi de la Géométrie déposition; mais ce savant géomètre n'a pas remarqué que, si à travers le système de toutes les droites; formé tant par les côtés du polygone ABCD... F que par les rayons ou projetantes qui joignent ses sommets au point V, on mène une nouvelle droite quelconque h'e' prise pour transversale, la relation qui existe entre les sinus des angles ci-dessus avait également lieu entre les segments af\fé, erf',..., interceptés par ces mêmes angles ou leurs suppléments sur cette transversale; or, c'est ce qui

io8 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

résulte évidemment du principe de l'article 122, appliqué au cas particulier dont il s'agit.

Cette nouvelle proposition est d'ailleurs une conséquence des remarques

faites aux articles 174 et 175 du tome P*" du Traité des Propriétés projectiles des

égares, puisque les segments de la transversale b'e' sont véritablement la

projection faite, du point V, des paires de segments formés sur les différents

côtés du polygone ABCD... F, à compter de cette même transversale.

127. Considérons encore un triangle, des sommets duquel on aurait abaissé, par un point quelconque, des droites sur les côtés opposés; elles détermineront, sur chacun de ces derniers, deux segments, et tous ces segments auront entre eux, comme on sait, une relation analogue à celle qui vient d'être définie précédemment. En passant donc à la figure réciproque, on conclura immédiatement des principes déjà cités cette nouvelle proposition :

* Un triangle ABC {Jlg. 27) étant coupé par une droite arbitraire B'C'A', » si l'on joint chacun de ses sommets avec le point d'intersection du côté » opposé, par une nouvelle droite, cette droite partagera en deux autres » l'angle correspondant du triangle ou son supplément; or si l'on multiplie » entre eux les sinus de trois quelconques de ces angles qui n'appartiennent » pas aux mêmes sommets, ce produit sera égal à celui des sinus des trois » autres angles. »

On voit, en outre, que le système des trois droites ainsi tracées et des côtés du triangle sera coupé par une nouvelle transversale rectiligne arbitraire ab, en six points, dont les distances auront entre elles la même relation que les sinus des angles correspondants. Ces deux propositions s'étendraient aisément d'ailleurs à des polygones d'un nombre quelconque de côtés, au moyen du théorème de l'article 159 du*tome P' du Traité des Propriétés projectiles.

128. Les mêmes principes, appliqués aux propositions qui font le sujet des articles 515 et 527 de ce même volume, et qui sont relatives aux polygones inscrits et cirsonscrits à des sections coniques quelconques, feraient voir que ces propositions sont réciproques entre elles; de telle manière que, l'une d'elles étant supposée établie, l'autre s'ensuit immédiatement.

On s'assurera pareillement que les propositions des n"^* 29, 44 et 45 de la précédente Section relative aux centres de moyennes harmoniques, sont respectivement les réciproques de celles du n<* 42, et des première et deuxième propositions du n*' 49, etc. On pourrait même en énoncer plusieurs autres d'un genre analogue, et que nous avons négligé de faire connaître dans la

Section dont il s'agit; mais nous nous contenterons d'indiquer ces diverses recherches comme des exercices propres à faciliter l'intelligence des principes de la théorie des polaires réciproques, et nous passerons de suite à quelques exemples entièrement neufs, concernant les sections coniques et les courbes géométriques en général.

129. Soit d'abord une section conique quelconque (y?^. 28), coupée par un triangle ahc, dont les directions (A), (B), (C) des côtés prolongés sont prises pour transversales delà courbe; on aura, comme on sait, d'après le théorème de Carnot, en nommant/? et/?' les intersections de ab avec cette courbe, q et q' celles de bcy enfin r et r' celles de ac, la relation projective suivante :

ap.ap' bq.bq' cr.cr'

bp.bp' cq.cq' ar.ar'

Si, de là, nous passons à la figure réciproque à l'égard d'un cercle pris pour auxiliaire, nous aurons à considérer (60 et 65) un nouveau triangle ABC {Jig. 29), dont les sommets seront les pôles respectifs des côtés du premier et vice versa, et une nouvelle section conique pour laquelle les paires de points/?,/?', q, q' , r, r', appartenant aux intersections de la première et des côtés du triangle abc, se seront changées en des paires de tangentes (/?), (/?'); (^)' W)''> ('')» ('^O i^^^^^ des sommets respectifs C, A, B du triangle polaire ABC; donc on aura (123), d'après la relation ci-dessus, et en convenant d'exprimer par {«,/?), {ct^p'), etc., les angles formés respectivement par les droites (a) et (/?), (a) et (/?'), etc.,

s\n{a,p).sin{a,p') s'm{b,q).s'm{b,q') sin(c, r).sin(o,r')

sin(6,/?).sin(6,/?') sin(c,^).sin(c,g') sin(a,r).sin(a,r') '

relation qu'on peut se contenter d'écrire ainsi pour plus de simplicité :

[sin(a,/?)][sin(6,g)][sin(c,r)]__^

[sin(6,p)][sin(c,^)][sin(a,r)]

et qui donne lieu à cet énoncé :

Un triangle étant situé quelque part sur le plan d'une section conique quelconque, sif de ses différents sommets, on mène des paires de tangentes à la courbe, chacune d'elles divisera V angle correspondant du triangle ou son supplément en deux autres; cela posé, si l'on forme les différents produits de sinus des paires d'angles compris entre chaque côté et les tangentes issues de Vun de ses sommets, puis qu'on multiplie entre eux trois quelconques de ces produits rela-

iro PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

tifs à trois sommets différents du triangle, on obtiendra un résultat qui sera le même que celui qu'on aurait en multipliant entre eux les trois autres produits restants.

Ajoutons (122) que, si l'on trace à volonté une transversale rectiligne br' à travers le système de toutes ces tangentes et des trois côtés du triangle ABC, et qu'on nomme respectivement a, b, c ses intersections avec les côtés (a), [b], (c) ;/?,/?' ses intersections avec les tangentes (/?), (jo'), et ainsi de suite, on aura également la nouvelle relation

ap . ap' bq . bq' cr . cr'

bp.bp' cq.cq' ar.ar' '

entièrement analogue à celle d'où nous sommes partis, et qui est relative au triangle transversal abc de \'àfig. 28.

130. Maintenant, si l'on observe que cette dernière relation, mise pour

abréger sous la forme

{ap).{bq).{cr) ^ ^ {bq).[cq).{ar)

s'applique ou s'étend à une courbe quelconque du degré m prise pour transversale du triangle abc [fig. a8), on en conclura facilement (101) que les propositions inverses qui précèdent auront lieu également pour un triangle quelconque ABC [fig' 29) tracé sur le plan d'une telle courbe, et pour les trois groupes de m(m— i) tangentes issues des sommets de ce triangle; tout consistera simplement à étendre, d'une manière convenable, la signification des produits de segments et de sinus compris dans chaque parenthèse, tels que («/>), [sin(a,/?)], de la même manière qu'on l'a fait pour le cas simple d'une section conique.

Enfin, puisque la proposition du triangle transversal, d'où nous sommes partis précédemment, s'étend à un polygone d'un nombre de côtés quelconque, il en est de même aussi des propositions inverses que nous en avons déduites à l'aide de la théorie des polaires réciproques.

Nous terminerons ici ces exemples, qu'il serait facile de multiplier, pour reprendre, dans le paragraphe suivant, la théorie que nous n'avons encore exposée que pour le cas où les figures sont dans un même plan.

SECTION II. — DES POLAIRES RÉCIPROQUES. m