VI
Des relations projectives entre les lignes trigonométriques et les distances des figures polaires réciproques dans l'espace.
131. Prenons toujours une surface sphérique dont S (fig. 2/|) est le centre, pour servir à' auxiliaire ou de directrice aux pôles et polaires; et considérons, en premier lieu, une suite de plans VA, VB, VC,..., passant par une même droite V; leurs pôles respectifs A', B', C',..., seront, comme on sait (77), situés sur une même droite D'E' polaire de V; et, si l'on joint chacun de ces pôles avec le centre S de la sphère auxiliaire, par des droites ou rayons vecteurs, les angles appartenant à ce faisceau de droites auront mêmes sinus (109) que les angles correspondants du système de plans convergents VA, VB, VC,...; si donc (121) il existe une certaine relation projective entre les sinus des premiers, elle aura lieu également entre ceux des seconds et vice versa. Mais, d'après sa nature particulière, une telle relation ne saurait avoir lieu entre les sinus des angles du faisceau SA', SB', SC',..., sans avoir lieu également entre les distances correspondantes qui séparent les points ou pôles A', B', C',..., de la droite D'E', eivice versa. Donc :
^ il existe une relation métrique projective entre les distances de points quelconques rangés en ligne droite, elle aura lieu, de même, entre les sinus des angles correspondants dans des plans polaires de ces points.
Et réciproquement :
S'il existe une pareille relation entre les sinus des angles d^un système de plans passant par une même droite, la même relation aura lieu aussi entre les distances correspondantes des pôles de ces plans rangés en ligne droite.
132. On remarquera à ce sujet que, d'après la nature particulière des propriétés métriques projectives (121), « plusieurs points A, B, C,..., F, rangés sur une même droite, ne sauraient avoir entre eux une telle relation, sans que cette relation n'eût lieu également. entre les sinus des angles correspondants formés par les plans VA, VB, VC,..., qui passeraient par ces points respectifs et par une droite quelconque V, » et réciproquement que : <i si elle a lieu pour les sinus de tels plans, elle aura lieu également pour les distances comprises, entre ces plans, sur une transversale quelconque AF. >
Plus généralement encore :
« Si une relation métrique projective a lieu entre les distances apparte-
112 PROPitlÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.
" liant aux points d'une figure quelconque ABMCN... [fig. 25) située dans » l'espace, cette relation existera pareillement entre les sinus des angles » dièdres dont les plans passeraient par leurs extrémités respectives el par » une droite quelconque V. »
En effet, si l'on fait la projection orthogonale de toute la figure sur un plan perpendiculaire à l'arête commune V, cette même relation aura lieu, soit entre les distances simples de la projection, soit entre les sinus des angles qui mesurent, -sur le nouveau plan, les angles du faisceau de plans que l'on considère dans l'espace.
Quant à la proposition réciproque, elle ne peut avoir lieu (121) qu'autant que la relation qu'on supposerait exister entre les sinus des plans convergents, transportée aux distances de la figure correspondante, remplirait, pour cette figure, les conditions assignées aux relations métriques projectives que nous considérons en particulier.
D'après les raisons déjà spécifiées à la fin du n° 121, on pourra, pour plus de simplicité, désigner un système de plans tels que celui qui vient d'être défini, par l'épithète A^ faisceau projecdf.
133. Concevons maintenant que les plans VA, VB, VC,... [fig.il\), au lieu de passer par une même droite, comme précédemment, soient seulement assujettis à avoir un point commun V ; leurs pôles A', B', C, . . . , cesseront d'être en ligne droite et seront simplement (76) placés dans le plan D'E' polaire de V; quant aux rayons ou projetantes SA', SB', SC',..., les sinus de leurs angles seront toujours égaux à ceux des plans qui passent par V et leur correspondent respectivement. Mais, lorsqu'il existe entre les distances d'une figure plane A'B'C'D'... une relation projective de la nature de celles que nous avons envisagées jusqu'à présent, elle doit aussi avoir lieu (121) entre les sinus des angles projetants de ces distances, formés autour d'un point quelconque S pris pour centre de projection, et réciproquement; donc une semblable relation ne saurait avoir lieu, soit entre les angles dièdres des plans V, soit entre les angles plans des rayons S qui joignent leurs pôles au centres, soit enfin entre les distances correspondantes de ces différents pôles, sans qu'elle n'eût lieu, de la même manière, pour les deux autres systèmes; principe qu'on peut énoncer ainsi :
S'il existe, entre les distances des points d'une figure plane quelconque D'E', une relation métrique projective, la même relation aura lieu aussi entre les sinus des angles dièdres formés par les plans polaires respectifs de ces points, plans qui convergent en un même point '^.
SECTION IL - DES POLAIRES RÉCIPROQUES. ii3
Et réciproquement :
S'il existe une certaine relation entre les sinus des angles dièdres d'un fais-'
ceau (V) de plans convergeant en un même point, elle aura lieu également entre
les distances des paires de points qui sont les pôles de ces plans; pourvu toutefois
quelle satisfasse aux conditions de projectibiiité (121) dans la nouvelle
figure.
134. Supposons, en outre, que, d'une droite quelconque X, on dirige des plans vers tous les points A', B', C',..., du plan D'E'; la relation projectivc qui est censée avoir lieu entre les distances de ces points aura lieuégalement entre les sinus des angles dièdres qui comprennent leurs extrémités respectives (132); donc les pôles de ces plans, rangés sur une droite AF polaire de X, et situés à la rencontre de cette droite et des plans VA, VB,..., seront tels (131), qu'il existera, entre leurs distances mutuelles, la même relation projective qu'entre les sinus des angles dièdres des plans qui en renferment les extrémités, ou qu'entre les distances de la figure plane A', B', G',...; c'est-à-dire que :
Le système des plans qui convergent en V est tel, que toute droite AF, prise pour transversale, y détermine des points dont les distances respectives ont, entre elles, la même relation projective que celle qui existe entre les sinus des angles dièdres correspondants.
La réciproque de cette proposition s'établirait de la même manière, c'està-dire que :
Si un faisceau de plans, convergeant en un même point V, est tel, que toute droite, prise pour transversale, y détermine un système de points jouissant d'une relation projective, la même relation aura lieu aussi entre les sinus des angles dièdres correspondants .
N'oublions pas toutefois que cette dernière relation doit satisfaire aux conditions de projectibiiité, dans la figure formée par le système des pôles des plans, ainsi qu'il a été spécifié expressément à la fin de l'article 133.
Par les raisons déjà déduites également dans le n°121, pour les simples faisceaux de lignes droites, on pourrait nommer le faisceau de plans dont il s'di^ii faisceau projectif, et la relation de sinus qui lui appartient, relation projective.
Enfin, si l'on coupe un tel faisceau de plans par un dernier plan arbitraire, il en résultera un système de lignes droites jouissant évidemment de la même propriété que ce faisceau à l'égard d'une transversale rectiligne quelconque: or un tel système de droites est très-remarquable en général, et IL i5
n4 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.
nous avons déjà eu l'occasion d'en étudier les propriétés réciproques aux n*'*' 122 et 123.
135. Au lieu d'un système de plans VA, VB, VG,,.. {fig. M), considérons maintenant un système' de droites convergeant en un point unique V de l'espace, et représentées par les mêmes lettres; les polaires réciproques A', B', C',... de ces droites seront situées (78) dans un plan unique D'E', polaire deV.
Cela posé, admettons que le faisceau des droites V soit un faisceau projectif (121); en le coupant par un plan arbitraire AF, il en résultera un certain nombre de points dont les distances respectives auront entre elles la relation métrique projective qui appartient aux sinus des angles de ce faisceau. Mais, en passant à la figure A', B', C',..., polaire réciproque de celle dont il s'agit, à l'égard de la sphère (S), le plan AF sera remplacé par un point X pôle de ce plan, et ses différentes intersections A, B, C,..., avec les droites du faisceau, léseront par des plans passant par le pointX et les différentes droites A', B', C',..., réciproques de celles VA, VB, VC du même faisceau; donc, d'après les théorèmes ci-dessus (133), les relations projectives qui ont lieu entre les sinus des angles de ces dernières droites appartiendront aux angles dièdres correspondants des plans XA', XB', XG',..., qui, du point arbitraireX, projettent les droites A', B', G',..., réciproques de celles-là. 'î Ainsi le faisceau X des plans projetants sera analogue à celui qui a été défini ci-dessus (134); il devra donc aussi jouir des mêmes propriétés; et, par exemple, « si on le coupe par une droite transversale arbitraire, il existera entre les distances respectives des points d'intersection, les mômes relations projectives qu'entre les sinus des angles dièdres qui embrassent ces distances par les extrémités; » c'est ce que, au surplus, on pourrait établir directement à l'aide delà théorie des polaires réciproques, et par l'examen de ce qui se passe dans le faisceau primitif des projetantes V. Remarquons seulement que si, dans le plan des droites A', B', G',..., on trace une autre transversale rectiligne, les points où elle ira rencontrer ces droites devront jouir de la propriété dont il s'agit. En effet, tout revient évidemment à prouver (131 et 77) que :
« Si, d'une droite arbitraire passant par le sommet du faisceau (V), on mène » des plans vers les différentes droites de ce faisceau, les sinus des îwgles i de ces plans auront entre eux les mêmes relations projectives que ceux des » angles formés respectivement par ces droites ». Or c'est ce qui a nécessairement lieu (132), puisque ces plans et ces droites s'appuient sur les diffé-
SECTION II. — DES POLAIRES RÉCIPROQUES. iiS'
rents points d'une figure A, B, C,..., dont les distances ont entre elles, par hypothèse, les relations projeclives d'abord mentionnées. Concluons donc de tout ce qui précède, que :
Etant donné, dans l'espace, un faisceau projectif de droites convergeant en un même point, c'est-à-dire (121) qui s* appuient sur les différents points dune figure jouissant d' une certaine relation métrique projective, i° la même relation aura lieu entre les sinus des angles correspondants des faisceauùc ; 2° le système plan, des polaires réciproques des droites qui le composent, sera tel, qu'en le coupant par une droite arbitraire, les distances respectives des intersections auront entre elles la relation projective dont il s'agit; 3° si, d'un point quelconque de l'espace, on mène des plans vers ces mêmes polaires, les sinus de leurs angles auront encore entre eux la même relation.
Il est d'ailleurs entendu que, dans ces diverses figures et relations, on a soin de prendre toujours les angles et les distances qui se correspondent directement.
Quant à la proposition réciproque, elle est assez évidente par elle-même pour qu'il soit superflu de l'énoncer.
136. De ce qui précède on tire une nouvelle propriété du système de droites que nous avons considéré (art. 134), laquelle peut s'énoncer ainsi :
Quand un système de droites quelconques A', B', C/,..., situées dans un plan, est tel, qu'en le projetant d'un certain point X de l'espace, par de nouveaux plans, les angles dièdres qu'ils forment ont entre leurs sinus une certaine relation métrique projective (134), la même relation a lieu également pour tout autre faisceau de plans projetants, déterminés par un point quelconque de l'espace.
J'ajouterai, en dernier lieu, que: quand les droites du faisceau primitif (V) sont dans un même plan, non-seulement il en est ainsi de leurs réciproques A', B', C, . . . , mais encore celles-ci concourent également en un point unique, pôle du plan des premières; de plus, il est visible que les relations projectives de l'un de ces faisceaux appartiendront aussi à l'autre, en sorte qu'ils seront parfaitement réciproques entre eux.
137. Ces préliminaires nous mettent en état d'aborder directement le cas général où l'on a à considérer des relations métriques projectives appartenant à une figure quelconque dans l'espace, ou à sa polaire réciproque à l'égard d'une sphère prise à volonté'pour auxiliaire.
Soit en effet A, M, B, N, C,... [fig. aS) le système des points proposés, S le centre de la sphère prise pour auxiliaire; supposons qu'il existe une certaine relation métrique projective entre les distances AM, MB;... CP, PD,
ii6 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.
appartenant à ces points; par un raisonnement analogue à celui du n° 123 et qu'il est inutile de reproduire, on conclura que la même relation devra avoir lieu entre les sinus des angles dièdres correspondants des plans ak', aM',..., cP', cC polaires des extrémités de ces distances respectives. On pourra donc énoncer, pour le cas de l'espace, ce théorème entièrement analogue à celui de l'endroit cité :
S'il existe, entre les diverses distances d'une figure donnée dans V espace, une lelation métrique projective, la même relation aura lieu également entre les sinus des angles dièdres formés par les plans polaires des extrémités respectives de ces distances, par rapport à une sphère auxiliaire quelconque.
Et réciproquement :
S'il existe une certaine relation enti^les sinus des angles dièdres des plans d'une figure quelconque, la même relation aura lieu aussi entre les distances de la réciproque, dont les extrémités respectives sont les pôles de ces paires de plans, pourvu que cette relation soit, de sa nature, projective quand on l'applique à cette réciproque.
138. Supposons maintenant que, d'une droite quelconque V de l'espace, on mène des plans vers les différents points de la figure AMBC... considérée ci-dessus, le faisceau de ces plans sera projectif (132) puisque, par hypothèse, les distances de cette figure ont entre elles une relation projective; donc on conclura immédiatement ce théorème, du principe de l'article 131, en observant que les plans VA, VB, VM,.,., dont il s'agit et qui renferment les différents points de la figure proposée, ont leurs pôles situés à la rencontre de la polaire de la droite quelconque V et des plans polaires des points respectifs A, B, M,... :
S' il existe, entre les diverses distances d'une figure donnée dans l'espace, une relation métrique projective, la même relation existera pareillement, dans la figure réciproque, entre les distances correspondantes formées^ sur une droite arbitraire , par les intersections de cette droite avec les plans polaires des extrémités respectives des premières distances.
Et réciproquement : .
S' il existe une semblable relation entre les distances des points d'intersection d'une droite arbitraire et des divers plans d'une figure donnée dans l'espace, la même relation aura lieu aussi entre les distances de la figure réciproqiie qui ont pour extrémités respectives les pôles des plans dont il s'agit; pourvu toutefois (132) que cette relation soit, de sa nature, projective quand on l'applique à cette réciproque.
Autrement, enjeffet, la relation aurait simplement lieu (131) entre les sinus des angles dièdres formés par un faisceau de plans menés, d'une droite arbitraire, vers les différents points de celte même réciproque.
139. Les principes des n°* 133, 134 et suivants, concernant les faisceaux de droites et de plans, conduisent à plusieurs autres théorèmes analogues relatifs aux figures polaires dans l'espace; mais il serait superflu de s'y arrêter, vu qu'ils sont faciles à deviner et a saisir, lorsqu'on s'est bien pénétré de ces principes, et en général de ceux qui appartiennent à la théorie des polaires réciproques dans l'espace.
Au surplus, dans les applications de ces divers principes à des figures données, il ne faudra pas dédaigner la remarque suivante, très-propre à faciliter les moyens de traduire les énoncés des relations qui leur sont applicables.
c Ayant marqué à l'ordinaire, par des lettres quelconques, les différents points de la figure proposée, on en placera d'autres entièrement différentes sur les droites, les plans, les lignes et les surfaces qui y entrent, c'est-à-dire que chacune de ces lignes et surfaces se trouvera représentée par une lettre distincte dans la figure proposée. »
» Cela fait, on affectera des mêmes lettres les points, les plans, les droites, » les lignes et les surfaces de la figure polaire, qui sont respectivement ré- > ciproques de ceux de la figure primitive; on n'aura plus alors qu'à rem- » placer, dans les relations métriques qui leur appartiennent respective- » ment, chaque distance qui y entre par le sinus de l'angle des deux droites » ou des deux plans représentés par les lettres de ses extrémités; et récipro- » quement, à remplacer chaque sinus d'angle par la distance des deux » points représentés par les lettres qui désignent ses èdres ou côtés ; par » exemple, les distances ab, bc se changeront en sin [a, b), sin (6, c), et » vice versa, etc. »
Du reste, pour éviter la confusion, on pourra mettre entre parenthèses les lettres qui appartiennent aux lignes et aux surfaces, en réservant les lettres simples pour les points.
140. On a déjà eu occasion de voir, à la fin du paragraphe précédent (129), l'usage que l'on peut faire de cette notation très-simple, et les avantages qui en résultent pour la traduction des relations métriques des figures qui sont polaires réciproques sur le plan d'un cercle pris pour auxiliaire. Les considérations et les principes qui précèdent mettent en état d'étendre les conséquences auxquelles nous sommes parvenus. alors, au cas où les figures
ii8 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.
que l'on considère sont situées dans l'espace, et où les courbes sont remplacées par des surfaces quelconques du même ordre ; c'est à indiquer rapidement quelques-unes de ces applications particulières que je vais consacrer les dernières pages de ce Mémoire, afin de ne pas m'écarter de la marche que j'ai constamment suivie jusqu'à présent.
Sans m'occuper d'ailleurs du cas, en quelque sorte élémentaire, des figures rectilignes et polyédrales dans l'espace, coupées simplement par des droites ou des plans arbitraires, lequel conduirait sans peine à plusieurs propositions intéressantes et que je dois me borner à recommander à l'attention des géomètres, je ferai de suite observer, d'après Carnot, que le principe (129) du triangle et du polygone plan, coupés par une courbe géométrique du degré m, s'applique également à un polygone gauche coupé par une surface géométrique du môme ordre prise pour transversale de ce polygone. Or, de là résulte pour l'espace un principe entièrement analogue à celui de l'article 130, et qui est tout aussi général.
141. En effet, le polygone gauche dont il s'agit aura pour réciproque, à l'égard d'une sphère, un polyèdre indéfini (81) dont les arêtes seront réciproques des côtés de ce polygone; de sorte que les plans tangents, menés de ces arêtes à la surface polaire de la proposée, auront pour pôles respectifs (77 et 91) les ihtersections de celle-ci avec les côtés correpondants du polygone gauche. Tout consistera donc (101, 137 et 138) à substituer, pour le cas actuel de l'espace, un polyèdre indéfini au triangle des théorèmes énoncés en particulier (129) ; pour la section conique, une surface de l'ordre m à cette section conique; les arêtes du polyèdre aux sommets du triangle; les plans tangents passant par ces arêtes respectives, aux tangentes relatives à ces sommets; enfin les angles dièdres formés par chaque plan tangent et l'une des faces correspondantes du polyèdre, à l'angle formé par chaque tangente et par l'un des côtés correspondants du triangle.
L'énoncé des deux théorèmes auxquels on arrive ainsi se simplifie un peu dans le cas où le polygone primitif se réduit à un triangle, et dans celui où il se trouve compris tout entier dans un plan; car alors le polyèdre réciproque se réduit lui-même (81) à un angle solide irièdre ou à un angle solide d'un nombre quelconque de faces ou d'arêtes passant par un même point.
Au surplus, les principes des n°' 133 et suivants, appliqués .de même à la proposition du polygone gauche coupé par une surface quelconque de l'ordre m, conduiraient à d'autres conséquences non moins intéressantes et
non moins étendues que celles qui viennent de nous occuper; mais il nous suffit pour le moment d'indiquer, d'une manière générale, ces corollaires faciles de la théorie des polaires réciproques.
142. Pour terminer, nous considérerons encore une courbe à double courbure quelconque de l'ordre m; l'enveloppe des plans polaires de ses points sera (82 et 84) une surface développable de l'ordre m{m— i), à laquelle le théorème du polygone transversal demeurera applicable directement en vertu de la loi de continuité. Or, tout point d'intersection d'une certaine droite avec cette développable sera remplacé (83) par un plan tangent de la courbe primitive, passant par la réciproque de cette droite; donc le théorème qui précède, relatif à un polyèdre indéfini, des arêtes duquel on a mené des plans tangents à une surface géométrique^ subsiste également pour le cas ou Von substitue une courbe à double courbure quelconque à cette surface.
Il serait inutile d'étendre davantage ces exemples et ces applications de nos principes, et je crois en avoir dit assez pour montrer tout le parti qu'on en peut tirer dans le besoin et pour lever toute espèce de difficultés. Je crois, en outre, avoir prouvé que le nombre des propositions de la Théorie des transversales et de la Géométrie de la règle, ou, pour m'exprimer plus généralement, le nombre des relations et des propriétés projectiles des figures peut, dès à présent, être doublé et même triplé, sans qu'on éprouve d'autre embarras que de modifier leur énoncé d'après des règles bien connues et bien établies.
Dans la suite de ces recherches je m'occuperai uniquement des propriétés générales des courbes et des surfaces géométriques, et j'aurai souvent occasion d'employer les principes de la théorie des polaires réciproques et d'en montrer ainsi l'utilité et la fécondité d'une manière plus positive. Je ne doute pas d'ailleurs que les géomètres ne s'empressent d'adopter une théorie qui offre autant de ressources, et dont les principes seraient peut-être difficilement suppléés par' d'autres dans certaines recherches générales relatives aux figures.
PosT-ScRiPTUM de 1 828. — Il n'a paru jusqu'ici de ce Mémoire, que Vanalyse que j'en ai adressée, à la fin de 1826, à M. le rédacteur des Annales de Mathématiques, et le Rapport de MM. les Commissaires de l'Institut, inséré, en avril dernier, dans le Bulletin des Sciences de M. le baron de Férussac. Mais, comme la matière dont il traite a fait récemment l'objet des recherches de
plusieurs géomètres, je crois devoir déclarer qu'il parait ici conforme au manuscrit déposé, en 1824, à l'Académie des Sciences, et qui a été paraphé, dans toutes ses parties, par M. le baron Fourier, secrétaire perpétuel.
Je crois aussi devoir prévenir que, lors de la lecture que je fis, au sujet de ce Mémoire, dans la séance du 12 avril 1824, je développai et fis ressortir plusieurs des applications générales qui s'y trouvent simplement indiquées et qui ont été depuis mentionnées dans Vanalyse ci-dessus. Telles sont, en particulier, les propriétés angulaires et descriptives concernant les lignes et surfaces du second ordre. que je nommai homofocales ou confocales, parce qu'elles ont wn foyer commun, propriétés qui sont, en général (166), \es polaires réciproques de celles qui appartiennent à un système de cercles ou de sphères quelconques situés dans un plan ou dans l'espace, et qui deviennent les réciproques de celles des cercles ou des sphères concentriques (115), quand les lignes et les surfaces ont même polaire ou même plan polaire focal, c'est-à-dire même directrice ou même plan directeur.
Je montrai par des exemples comment ces propriétés sont, quant aux relations de situation, entièrement analogues à celles des lignes et des surfaces du second degré qui, étant inscrites dans un même angle ou dans un même cône, peuvent être envisagées comme la perspective, dans un plan ou en relief, les unes des autres, propriétés développées dans le tome P*" de cet ouvrage, et qui, dans le cas actuel, résultent de ce que le foyer commun est, en effet, idéalement pour toutes les surfaces, le sommet d'un tel angle ou d'autel cône circonscrit, ou, plus généralement, ce que j'ai nommé un centre de projection, un centre d'homologie (*).
Parmi les propriétés particulières du /ojer gênera/ des surfaces du second degré, je signalai comme les plus importantes celles des sections planes de ces surfaces, qui, d'un tel foyer, sont vues sous l'aspect de cercles qui appartiendraient tous à une sphère ayant ce foyer pour centre, et celles qu'ont les tangentes conjuguées de ces surfaces, d'être vues, de ce même foyer, sous un angle droit formé par les plans qui contiennent ces tangentes, propriétés qui ont servi à M. Dupin [Applications de Géométrie, IV^ Mémoire, p. 210
{ * ) Dans le cas particulier où les lignes et surfaces ont, en outre, n)ême directrice et même plan directeur, c'est-à-dire même droite ou même plan polaire focal, leur système a cette droite et ce plan pour corde idéale commune ou plan idéal commun de contact; ce qui entraîne, comme j'en ai déjà fait la remarque au n°456 du tome I de ce Traité^ une foule de propriétés dont celles qui concernent simplement les sections coniques ont été spécialement étudiées dans le dernier Chapitre de la Section III du même volume, et d'ailleurs sont tout à fait analogues à celles qui appartiennent aux cercles et aux sphères concentriques: l'un de ces systèmes étant la projection centrale ou per^ spective de l'autre.
et suivantes) pour établir sa belle théorie des faisceaux lumineux réfléchis à leur rencontre avec une surface quelconque.
Je fis voir encore « qu'un système quelconque de surfaces du second ordre, » confocales, lequel peut comprendre aussi des sphères ayant le foyer commun » pour centre, s'entrecoupent deux à deux suivant des sections coniques » dont les plans concourent trois à trois en une même droite^ et quatre à » quatre en un même point; que les développables circonscrites à ces surfaces, » prises deux à deux, sont des cônes du second degré qui s'entrecoupent » suivant des courbes du même degré et dont les sommets sont, trois par » trois, en ligne droite, et quatre par quatre en un même plan; que les » pôles de tout plan passant parle foyer commun, pris par rapporta ces sur- » faces respectives, sont situés sur un même rayon vecteur perpendiculaire » à ce plan; que les cônes circonscrits à ces surfaces, suivant les sections dé- » terminées par ce même plan, s'entrecoupent deux à deux suivant des lignes » du second degré dont les plans sont aussi \es plans de section des surfaces
> auxquelles ils appartiennent, etc., etc.; qu'enfin ces diverses relations per- » mettent de construire très-simplement, et sous des conditions données ^ » toute surface du second degré dont le foyer général est assigné ou doit » être commun à cette surface et à d'autres surfaces données, et qu'elles
> permettent aussi de construire les plans de section commune à un système
> de surfaces confocales, etc., etc. >
C'est à cela, comme on sait, que revient, en dernière analyse, la recherche du centre de la sphère tangente à quatre autres dans l'espace, puisque ce centre doit se trouver à l'intersection mutuelle de surfaces du second degré de révolution, qui ont pour foyer commun le centre de l'une quelconque des sphères données.
Metz, le 30 août 1828.
