SECTION III

ANALYSE DES TRANSVERSALES APPLIQUÉE AUX COURBES ET SURFACES GÉOMÉTRIQUES (*).

Introduction historique commune aux Sections III et IV.

J'ai annoncé, dans le tome VIII des Annales de Mathématiques de Montpellier (année 1827), des moyens généraux pour construire linéairement, ou avec une simple règle, les tangentes des courbes géométriques; j'étais en effet parvenu, dès le commencement de 1816, à ce résultat ainsi qu'à beaucoup d'autres concernant le cercle osculateur et les sections coniques osculatrices des divers ordres, en un point donné d'une telle courbe censée décrite. Dans une lettre en date de mai 1818, j'annonçai ces résultats à M. Servois, savant géomètre dont je m'honorerai toujours d'avoir été l'ami et

. ( * ) Cette IIP Section est conforme au Mémoire manuscrit lu et déposé à l'Académie des Sciences de l'Institut dans la séance du 5 septembre i83i (Commissaires, MM. Lacroix etPoinsot), puis inséré au tome VIII du Jourjial de Mathématiques de Crelle^ en quatre fragments séparés par de longs intervalles, fragments dont le premier a paru dans le Cahier de janvier 1882, avec cette épigraphe tirée de \ Essai de Carnot sur les ingénieux et admirables éléments de la doctrine dont cette IIP Section est le complément et le développement :

« La théorie des transversales n'est, à proprement parler, que la théorie des coordonnées qui, » au lieu de faire un angle, sont prises sur une même droite. »

Les seuls changements apportés au texte original de ce Mémoire consistent dans le déplacement et le changement de rédaction des titres et sous-titres qui s'accordaient mal avec les exigences typographiques et le but de la nouvelle édition, dont la première manquait de toutes figures dans le recueil de Berlin, et à laquelle, en outre, le IP Cahier du tome II des Applications d' Analyse et de Géométrie [Varis, 1864) pourra servir, au besoin, d'utile commentaire, d'exercices ou d'éclaircissement. Je saisirai d'ailleurs celte occasion pour faire remarquer qu'il s'est glissé, dans la note au bas de la page iSg du Cahier précité, une erreur de date relative à la présentation de V Analyse des transversales à l'Institut de France, qui a eu lieu véritablement le 5 septembre i83i, et non pas le 5 septembre de l'année i83o, comme je viens de le vérifier sur le manuscrit existant au secrétariat de l'Académie des Sciences, et comme on peut aussi le lire aux pages 79 et 1 18 du tome VII de la Correspondance mathématique de M. Quetelet, qui voulut bien insérer dans son Journal un extrait de mes Mémoires sur {'Analyse des transversales et les Polaires réciproques, qu'on trouvera rapporté à la fin de ce volume. — (Note de i865. )

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le disciple; je lui signalai comme exemple les corollaires particuliers relatifs aux courbes du troisième degré, lesquelles donnent lieu à des théorèmes et à des constructions d'une simplicité vraiment remarquable, et qui peut se comparer à ce que l'on connaît des belles propriétés des hexagones inscrits et circonscrits aux sections coniques dues à Pascal et à Brianchon. Je fis également part de ces corollaires à différents autres géomètres qu'il serait inutile de citer ici. EnQn, je donnai à la Société académique de Metz^ dans sa séance de décembre 1821, communication de l'ensemble de mes recherches sur les Propriétés projectives des lignes géométriques d'ordre quelconque (*).

M. Arago, membre de l'Académie des Sciences de Paris, qui était présent à cette séance, voulut bien me témoigner tout l'intérêt que lui inspiraient la nouveauté et la généralité de ces recherches; il m'encouragea même à les mettre promptement au jour; mais, d'après le plan que je m'étais dès lors formé, cette publication devait être précédée de celle du Traité des Propriétés projectives des figures (t. P), qui eut lieu en effet l'année suivante (1822), et dans laquelle je n'avais presque uniquement en vue que les lignes et les surfaces des deux premiers degrés, ainsi que les principes généraux de projection qui pouvaient m'être utiles pour établir ultérieurement la théorie géométrique des courbes et des surfaces d'un ordre quelconque.

J'annonçai néanmoins, en terminant l'Introduction de cet ouvrage, les recherches toutes spéciales que j'avais entreprises sur ce dernier sujet, et, dans la Section II du texte, p. 80, n*^ 151, je fis voir comment, par les principes delà projection centrale, on peut immédiatement passer, du théorème de Newton relatif aux produits des abscisses et des appliquées parai-lèles des courbes géométriques, au principe plus général de Carnot concernant les triangles et les polygones plans ou gauches coupés arbitrairement par de telles lignes ou par des surfaces géométriques quelconques.

En remarquant que, par suite de l'universalité de ces théorèmes, les lignes et surfaces dont il s'agit doivent jouir de certaines propriétés qui leur sont communes avec les sytèmes analogues de lignes droites et de surfaces planes; en affirmant qu'il était facile d'en déduire un grand nombre de conséquences particulières, mon intention était de faire pressentir la fécondité et l'extension que pouvait recevoir la doctrine des transversales, dont les admirables éléments sont un des principaux titres scientifiques de l'illustre et infortuné géomètre que je viens de citer; mais je ne sache pas que, depuis la publi-

(*) f^oyez le Compte rendu des travaux de cette Jcadémie, par M. Hcrpin, pendant Vannée 1821 à 1822, imprimé à Metz, chczLamort, en mai 1822.

cation du Traité des Propriétés projectives, personne ait encore tenté d'ouvrir cette nouvelle route de découvertes dans laquelle, je le répète, j'avais déjà parcouru un certain chemin dès l'année 1818, et dont Carnot lui-même ne semble pas avoir soupçonné toute la fécondité, si l'on en juge par ce qu'il a écrit dans sa Géométrie de position et dans son Essai sur la théorie des transversales touchant les applications du principe général qui lui est dû.

En 1823, je profitai de quelques loisirs pour rédiger, sur les centres de moyennes harmoniques et sur la théorie des polaires réciproques, les deux Mémoires que je présentai, a l'entrée de l'année suivante, à l'Académie royale des Sciences de Paris, et qui furent publiés tardivement (années 1828 et 1829) dans le Journal de Mathématiques de M. Crelle (*), lequel, dès lors, avait justement acquis une réputation européenne. Ces Mémoires, ainsi que l'indiquent leurs titres, devaient servir d'introduction ou de préliminaires à l'ouvrage étendu que je me proposais de faire paraître sur les Propriétés projectives des courbes et des surfaces géométriques. En traitant en particulier des nouvelles et élégantes propositions auxquelles donne lieu la théorie du centre des moyennes harmoniques pour les systèmes de plans et de droites arbitraires, je ne manquai pas de signaler d'une manière expresse l'extension dont leur énoncé est susceptible quand on y remplace ces systèmes par des lignes ou surfaces géométriques d'ordre quelconque.

Voici comment je m'exprime dans un passage qui termine le discours préliminaire de l'écrit qui contient cette théorie : « J'ai exposé, dans la der- » nière partie de mon Mémoire, quelques-unes des propriétés qui décout lent de la théorie du centre des moyennes harmoniques pour les systèmes » de points, de droites et de plans; et, afin de n'en pas multiplier inutile- ♦ ment le nombre, je me suis constamment borné à celles dont la nature » générale permet de les appliquer immédiatement aux courbes et aux sur- » faces géométriques d'un ordre quelconque, mettant ainsi ceux qui liront » ce Mémoire en état de pressentir cette extension et de se familiariser par » degrés avec ce qu'elle pourrait, au premier aperçu, avoir de trop difficile » ou de trop abstrait. » [Voyez la page 8, Sect. I, de ce volume.)

Pour ceux qui ont donné quelque attention au contenu du Mémoire dont il s'agit, notamment aux articles qui commencent au n*'^!, il paraîtra évident, en effet, que cette extension est une conséquence nécessaire, et de ce que les principales propriétés des centres, axes ei plans de moyennes harmoniques qui y sont exposées peuvent être toutes déduites directement du

(*) Voyez t. III, p. ai3, et t. IV, p. i.

théorème cité de Carnot, et de ce que ce même théorème est indistinctement applicable aux courbes et aux surfaces géométriques comme aux systèmes de droites et de plans arbitraires.

Lorsque j'annonçai, dans ces deux Mémoires de 1824, la publication prochaine et successive de mes recherches relatives aux courbes et aux surfaces géométriques, je pensais que le service dont j'étais alors chargé comme ingénieur me laisserait, d'année en année et pendant les courts intervalles de la suspension des travaux, assez de loisir pour mettre la dernière main à chaque partie; mais ma nomination de professeur à l'École de l'artillerie et du génie à Metz, en 1825, le cours de Mécanique appliquée aux machines que je fus chargé d'y créer, joint au fâcheux état de ma santé (en 1827 et 1828), me contraignirent d'ajourner toute rédaction définitive. Il résulte de ce retard que j'ai été prévenu dans la publication de quelques-unes d'entre elles, notamment de celles qui concernent la communauté d'intersection des lignes et surfaces géométriques, ainsi que les propriétés de leurs centres, axes et plans de moyennes harmoniques. En s'occupant avec succès de ces dernières recherches, depuis l'année 1826, MM. Bobillier, Chasles et Gergonne se sont servis d'ailleurs de moyens très-différents de ceux que j'ai moi-même mis en usage, et qui reposent essentiellement sur les principes de l'Analyse des coordonnées combinés avec quelques données fournies par la Géométrie intuitive, et notamment par la théorie Aqs projections centrales et des polaires réciproques.

Du reste, avant 1825, époque depuis laquelle je n'ai rien ajouté d'essentiel à mes recherches géométriques, on ne connaissait, si je ne me trompe, sur l'objet que j'avais spécialement entrepris de traiter, que : i*^ les trois théorèmes de Newton sur les appliquées parallèles des courbes, leurs diamètres conjugués à une direction donnée, et la coïncidence de ces diamètres avec ceux des asymptotes; 2*^ les trois théorèmes qui se déduisent respectivement de ceux-là, par nos principes de projection centrale, en remplaçant les sécantes parallèles par des droites convergeant au même point, les asymptotes par un système quelconque de tangentes dont les points de contact sont rangés en ligne droite, le centre de moyennes distances par le centre de moyennes harmoniques : théorèmes dont le premier, d'ailleurs, n'est autre que celui de Carnot déjà plusieurs fois cité, dont le second ou son annexe a été découvert par le célèbre Côtes, et dont le troisième, dû à Mac-Laurin, se trouve exposé dans le Traité des Propriétés générales des lignes géométriques, imprimé, sous la forme d'Appendice, à la suite de V Algèbre posthume de cet auteur, édition de Londres 1748; 3° enfin, plusieurs autres théorèmes expo-

xii6 PROPRIÉTÉS PROJECÏIVES DES FIGURES.

ses également dans ce /"/-««VedeMac-Laurin, et qui ont trait au cercle osculateur, à la parabole osculatrice des lignes planes géométriques, auxquelles il faut joindre diverses propriétés intéressantes surles lignes du troisième ordre, que cet illustre géomètre a envisagées d'une manière tout à fait spéciale, et qu'il déduit, de même que les précédentes, de ce principe général : < Si, d'un 1 point fixe pris arbitrairement sur le plan d'une courbe géométrique » quelconque, on mène une droite arbitraire, puis les tangentes aux inter- V sections de cette droite avec la courbe, supposées en nombre égal à celui " qui exprime le degré de cette courbe; qu'enfin, ayant tracé à volonté !> une nouvelle transversale par le point fixe dont il s'agit, on fasse, d'une » part, la somme algébrique Aqs réciproques ou valeurs inçerses des abscisses » interceptées par la courbe sur cette transversale et à compter du point " fixe; d'une autre, la somme pareille relative au système des tangentes is- » sues des points de la première transversale : i*' les deux sommes seront » égales entre elles; 2"" elles seront constantes quelles que soient les trans- » versales menées par le point fixe. »

Mac-Laurin déduit cette proposition remarquable du théorème de Newton sur le rapport invariable du produit des abscisses au produit des appliquées parallèles des courbes, en recherchant directement, à l'aide des données de la figure, l'expression des différentielles logarithmiques de ces produits, qui sont évidemment égales entre elles. Mais il est clair que la considération directe des coefficients des deux derniers termes des équations qui ont pour racines les abscisses relatives à la courbe ou au système des tangentes ci-dessus, conduirait sur-le-champ et sans discussions géométriques a la proposition dont il s'agit, de la même manière que la considération du dernier terme des équations qui ont pour racines les appliquées et abscisses correspondantes des courbes a conduit Newton au théorème sur les produits de ces abscisses et appliquées, de même enfin que la considération du second terme de la première de ces deux équations lui a fait découvrir la propriété des diamètres, etc. (*).

Cette remarque, au surplus, n'a point échappé à Mac-Laurin, qui, après s'être, servi de la proposition fondamentale ci-dessus pour en déduire le théorème de Côtes sur la droite lieu des centres de moyennes harmoniques des intersections d'une courbe géométrique et d'une droite mobile autour d'un

{ *) En général, la considération d'une fonction symétrique quelconque des racines de l'équation qui donne les abscisses des intersections de la courbe avec une droite ou un axe variable suivant jine loi donnée, conduit à une infinité de théorèmes analogues à celui de Côtes, et qui sont également susceptibles de s'étendre aux surfaces géométriques de tous les Ordres.

point fixe y s'est proposé ensuite de démontrer le même théorème par les considérations qui résultent directement de la théorie dos équations algébriques.

Si nous insistons sur cette remarque, c'est pour mettre en parfaite évidence la corrélation qui a lieu entre les théorèmes de Newton, de Côtes, de Mac-Laurin etdeCarnot, corrélation qui est telle, que, bien que ces théorèmes dérivent de la considération de termes distincts dans l'équation qui a pour racines les abscisses ou segments proposés, néanmoins ils peuvent aussi se déduire les uns des autres, d'une manière purement géométrique et par forme de simples corollaires. C'est en effet ce que nous avons reconnu dès nos premières recherches (1816) sur les propriétés projectives des courbes et surfaces géométriques, dans lesquelles, prenant le théorème de Carnot pour point de départ, nous en avons déduit à posteriori ceux de Ne^Yton, de Côtes et de Mac-Laurin, ainsi que beaucoup d'autres d'un genre très-différent et qui n'étaient point encore connus des géomètres.

Nous aperçûmes aussi tout d'abord, que ces mêmes théorèmes, démontrés seulement pour les courbes planes, étaient susceptibles de s'étendre immédiatement aux lignes à double courbure et aux surfaces géométriques, à peu près de la même manière que les propriétés des sections coniques s'étendent aux surfaces du second degré, et celles des systèmes de droites comprises dans un plan unique, aux systèmes de droites ou de plans situés à volonté dans l'espace.

- Enfin nous reconnûmes que ces divers théorèmes avaient leurs corrélatifs ou réciproques, et que l'ensemble des uns et des autres donnait lieu à une série de propositions entièrement analogues à celles qui constituent la théorie des pôles, polaires biplans polaires des lignes ou surfaces du second degré, et celles du centre, des diamètres ou plans diamétraux de ces lignes et surfaces. Mais, pour mettre cette analogie dans tout son jour, il nous a fallu, au préalable, donner à la théorie du centre des moyennes harmoniques ainsi qu'à celle des polaires réciproques toute l'extension et la généralité dont elles sont susceptibles comme doctrines fondamentales; et c'est ce qui nous a déterminé, dès 1823, à rédiger et à publier séparément nos deux Mémoires sur ces matières, dans lesquels nous n'avons pour ainsi dire pas perdu de vue un seul instant l'objet de nos recherches subséquentes sur les propriétés projectives des courbes ou surfaces géométriques d'un ordre quelconque.

Revenant maintenant au théorème de Carnot, qui n'est, comme on l'a vu, que l'extension de celui de Newton sur les produits des abscisses et des appliquées parallèles des courbes, nous ferons remarquer que la démonstra-

tion directe qu'on en trouve à la page 292 de la Géométrie de position est bien loin d'être aussi satisfaisante que pourraient le désirer les amateurs des méthodes intuitives et purement géométriques; de sorte que ce théorème reste encore à démontrer, si l'on ne veut point recourir aux principes de l'Analyse des coordonnées, ou si mieux, on ne préfère l'envisager, à priori, comme une simple définition des lignes et des surfaces géométriques, fondée sur ce que l'on connaît déjà des lignes et des surfaces des deux premiers degrés et des systèmes composés d'un certain nombre de ces lignes ou surfaces, auxquels les théorèmes de Carnot et de Newton sont immédiatement applicables.

Desargues, comme je l'ai déjà fait observer ailleurs (t. P'" du Traité des Propriétés projectives des figures, Introduction, p. xxviii, et Annotations, édition de i865, p. 409), avait eu la singulière et lumineuse idée de traiter les courbes géométriques comme un assemblage de lignes droites en nombre égal à celui qui marque le degré de ces courbes, ou le plus grand nombre des points suivant lesquels elles peuvent être coupées par une transversale arbitraire; c'est-à-dire qu'il leur appliquait les mêmes raisonnements, leur attribuait les mêmes propriétés, toutes les fois sans doute qu'il ne s'agissait que de ces relations générales et indépendantes de grandeurs déterminées, que nous avons nous-même nommées projectives, et qui font le caractère propre des spéculations de la théorie des transversales ou de la Géométrie de la règle, relations qu'on voit déjà subsister, sans aucune modification essentielle, pour les systèmes de lignes droites comme pour les sections coniques ou lignes du second ordre. Mais ce n'est là encore qu'une pure induction qui, bien que très-forte si l'on prétend tenir compte des différences spécifiques qui distinguent les simples assemblages de lignes droites des courbes véritables, ne peut néanmoins être admise tout au plus que comme moyen d'investigation, ainsi que le faisait observer notre illustre Descartes 'dans une lettre au P. Mersenne, concernant les recherches géométriques de Desargues, qui fut son contemporain et son ami.

Ce qui s'oppose d'ailleurs à ce qu'on admette à priori le théorème de Carnot ou celui de Newton comme définition des courbes géométriques, c'est que ces courbes possèdent en elles-mêmes un caractère qui les définit universellement et d'une manière purement intuitive, celui de ne pouvoir être coupées, au moyen d'une droite ou d'un plan arbitraires, qu'en un nombre de points limité et déterminé pour chacune d'elles; d'où il résulte qu'en partant des théorèmes dont il s'agit, on n'est point sûr d'embrasser à la fois toutes les lignes d'un même degré, et qu'il devient indispensable de dé-

montrer, pour chaque ligne d'espèce donnée ou définie par une construction géométrique, qu-'elle jouit effectivement du caractère supposé par ces théorèmes, avant de lui appliquer aucune des conséquences qui en dérivent. Or, une semblable démonstration pourrait, dans certains cas, présenter des difficultés presque insurmontables au point de vue purement géométrique. ~ Ces considérations nous avaient depuis longtemps engagé à rechercher, du théorème de Newton sur les appliquées parallèles des courbes, une démonstration qui fût indépendante de leur définition au moyen des équations algébriques entre les coordonnées ordinaires, et uniquement fondée sur la limitation du nombre des intersections possibles de la courbe avec une droite ou transversale -arbitraire. Ce genre de démonstration, dont nous avions déjà donné une idée et divers exemples dans nos précédents Mémoires de Géométrie et spécialement dans le tome P"" du Traité des Propriétés projectives (Sect. IV, Chap. III, p. 33^ et suiv.; Supplément, p. 384 etsuiv.), repose sur le Principe de continuité (*), que nous aurons souvent occasion de mettre en usage en traitant des propriétés projectives des courbes ou surfaces géométriques, et sur lequel il convient que nous revenions un instant dans ces préliminaires.

Envisagé dans son application aux courbes planes continues, c'est-à-dire aux courbes dont les différentes parties, les différentes branches sont assujetties à une même loi géométrique, à un même mode de génération, ce principe consiste spécialement en ce que toute droite tracée arbitrairement au travers d'une telle courbe doit toujours être censée la rencontrer en un nombre de points invariable et égal à celui qui désigne son degré; ce qui, d'après ce qu'on sait déjà des lignes du second ordre, oblige à admettre aussi bien les intersections imaginaires que les intersections réelles, les in-^ tersections situées à l'infini que celles qui se trouvent à distance donnée, et d'où il résulte généralement que toutes les fois qu'il sera possible de prouver, en toute rigueur et en ayant égard uniquement au mode de génération d'une ligne courbe située sur un plan, qu'une certaine droite tracée dans ce plan n'a en commun avec elle que m points, soit réels, soit imaginaires, situés ou non à l'infini, confondus en un seul ou réunis par groupes distincts de deux ou de plusieurs points, il sera par là même démontré que la courbe est effectivement et au plus du degré marqué par le nombre m.

En particulier, si cette courbe est engendrée par la trace de certains

(*) Voyez aussi, sur ce Principe, les réflexions des pages xxi et suivantes de X Introduction du Traité dont il s'agit.