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i3o PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

points assujettis à une construction unique, et qui se trouvent situés sur une droite noobile autour d'un autre point donné servant de pôle fixe; pour pouvoir prononcer affirmativement sur le degré de la courbe, il suffira de rechercher le nombre total des points dont il s'agit, et de s'assurer qu'aucune des branches de cette courbe ne passe par le pôle fixe, ou qu'aucun de ses points générateurs ne vient à se confondre avec ce pôle, pour certaines positions de la transversale mobile qui les renferme : autrement, en effet, le" nombre des intersections se trouverait augmenté de celui qui marque la multiplicité de la courbe en ce pôle, je veux dire du nombre des branches distinctes, réelles ou imaginaires, qui y passent, ou du nombre de coïncidences distinctes des points générateurs avec ce même pôle.

Si d'ailleurs les transversales, au lieu d'être concourantes en un point fixe, étaient simplement assujetties à demeurer parallèles entre elles ou à une droite donnée, les mêmes choses auraient encore lieu, si ce n'est que le pôle étant alors situé à l'infini, on devrait, dans chaque cas, rechercher lé nombre des positions distinctes de la transversale pour lesquelles l'un de ces points générateurs passe à l'infini et se confond ainsi avec ce pôle; or, c'est ce que la discussion exacte apprendra toujours, dans chaque cas spécial, et quand le mode de construction des points générateurs que contient chaque transversale sera rigoureusement défini. Mais, afin de ne pas courir le risque de se tromper dans l'appréciation du degré ou du nombre total et effectif des intersections des transversales, il sera indispensable de procéder, d'une manière entièrement directe, à la recherche de ces intersections, comme s'il s'agissait de résoudre un problème ordinaire de Géométrie, et de ne point s'en rapporter simplement à ce que pourrait apprendre une discussion purement intuitive ou fondée sur les apparences, offertes par le tracé effectif de la courbe, laquelle devra toujours être censée non encore décrite.

La solution de ce problème, qui se compose, comme on voit, de deux parties distinctes, pourra presque toujours être ramenée à celle d'un autre où il s'agira de découvrir les intersections d'une certaine droite avec une courbe de degré donné à /?non, ce qui lèvera toute espèce d'incertitude, puisqu'on connaîtra ainsi rigoureusement le nombre de ces intersections quelle qu'en soit la nature, c'est-à-dire réelle, imaginaire, etc. Si, au contraire, les intersections cherchées n'étaient déterminées que par les relations purement métriques qui les lient, soit entre elles, soit avec des grandeurs connues, il faudrait prendre garde de ne négliger aucune des combinaisons essentielles et distinctes des inconnues et des données, c'est-à-dire aucune des permutations, des changements de position et d'ordre, qui, sous

SECTION 111. — ANALYSE DES TRANSVERSALES. i3t

le point de vue géométrique ou arithmétique, peuvent s'opérer entre ces diverses quantités, et donner lieu ainsi à la multiplicité des solutions de chaque problème.

Qu'au nombre des données se trouvent, par exemple, les intersections de la transversale, mobile autour du pôle fixe, avec une certaine courbe simple, assujettie à un même mode de génération ou de construction dans toutes ses parties et dont le degré soit connu, on devra se rappeler qu'en vertu de la continuité ces diverses intersections jouent absolument le même rôle et ne doivent point être distinguées les unes des autres, de sorte qu'il est permis de les permuter entre elles sans, pour cela, changer ou altérer en rien l'état des questions qui s'y rapportent. Or cette circonstance tient à ce que les différentes branches ou parties des courbes simples sont rentrantes sur elles-mêmes ou se fondent, pour ainsi dire, les unes dans les autres sans solution de continuité, et elle n'aurait plus lieu évidemment si ces courbes n'étaient pas assujetties, dans toute leur étendue, à une loi unique, ou si elles se composaient de différentes lignes particulières et qui seraient soumises à des modes de génération distincts.

Mais nous n'avons point l'intention de nous étendre ici sur le principe de continuité considéré même dans la théorie des courbes; nous y reviendrons peut-être un jour d'une manière toute spéciale, selon la promesse que nous en avons déjà faite dans V Introduction du Traité des Propriétés projectives ( * ) ; il nous suffira, pour le moment, d'avoir posé ou rappelé les généralités qui précèdent, dont les applications particulières présentent rarement des difficultés sérieuses, comme le prouvent les différents exemples qui en ont été donnés dans le Traité dont il s'agit.

Qu'il s'agisse, en particulier, de démontrer le théorème de Côtes mentionné plus haut, et qui n'est que l'extension, aux lignes géométriques en général, de celui du n" 42 de notre Mémoire sur les centres de moyennes harmoniques, relatif aux simples systèmes de lignes droites situées dans un plan : attendu qu'on n'a qu'un seul centre à considérer sur chacune des transversales issues du pôle fixe, et que ce centre ne peut jamais coïncider avec le pôle, dès que ce dernier est indépendant de la courbe, on voit que le lieu examiné ne saurait être que du premier degré ou une simple ligne droite. Mais cela suppose expressément, comme on voit, que les moyennes harmoniques soient prises par rapport à des coefficients numériques égaux

(*) Tome premier; promesse réalisée par la publication, en 1864, du tome deuxième des Applications d'Analyse et de Géométrie, auquel j'ai déjà renvoyé le lecteur pour certains éclaireissements ou développements indispensables.

entre eux ou à l'unité; car, s'il en était autrement, la permutation qui, d'après ce qui précède, devrait être opérée entre les coefficients relatifs aux diverses branches de la courbe, donnerait lieu à un nombre m (m— i) de centres des moyennes harmoniques pour chaque transversale , m étant d'ailleurs le degré de cette courbe ou le nombre de ces branches.

('omme nous nous proposons, dans ce travail, de conclure directement le théorème de Côtes du principe des transversales de Carnot, nous n'insisterons pas sur la démonstration qui précède, et nous passerons de suite à celle qui concerne le théorème fondamental de Newton, relatif aux abscisses et appliquées parallèles des courbes géométriques. A cet effet, nous nommerons q, q', q",... (fig.'io, PL IV) les intersections réelles ou idéales d'une telle courbe, supposée du degré m, avec la parallèle ab à une droite ou axe fixe tracé arbitrairement dans son plan, et/?, p', p",.... les intersections de cette même courbe avec une parallèle quelconque ac à une autre droite fixe aussi donnée, parallèle dont le point de renct>ntre avec le premier axe sera, de plus, représenté par la lettre a. Cela posé, nous savons déjà que si, au lieu d'une courbe unique et distincte, du degré m, nous avions à considérer un assemblage de droites ou de sections coniques dont la somme des degrés fût égale à m, nous aurions sans cesse la relation

ap . ap' . ap" ... ,

-!- — i-; — i— — =:consl. = /r, aq.aq .aq ...

qui exprime que le produit des ordonnées ou appliquées ap, ap\ ap",... est à celui des abscisses correspondantes aq, aq' , aq",... dans un rapport qui demeure invariable quelle que soit la position du point a sur l'axe fixe, et bien que certains des segments qui y entrent puissent devenir nuls, infinis, imaginaires, ou changer de sens et de signe avec la position de ce point ou des appliquées qui lui correspondent. Or cela tient uniquement à ce que les produits dont il s'agit n'ont qu'une seule valeur pour une même position du point a, valeur indépendante de l'ordre dans lequel on combine entre eux leurs facteurs simples, soit numériquement ou par le calcul, soit géométriquement ou par des constructions graphiques qu'il est facile d'imaginer, et sur lesquelles nous n'insisterons pas, attendu qu'elles se rapportent à des problèmes élémentaires bien connus.

Supposons, en effet, qu'on porte, sur chacune des droites ou directions d'appliquées parallèles ac, et à compter de l'axe fixe ou du point a, une longueur ay qui ait, avec une certaine ligne prise pour unité de mesure, le même rapport que k avec l'unité numérique ou absolue, et qui, de plus, ait

SECTION III. — ANALYSE DES TRANSVERSALES. i33

le sens que réclame la loi des signes de position ou la construction effective et géométrique de aj; il est évident qu'on n'obtiendra, dans le cas delà courbe comme dans celui d'un simple assemblage de droites ou de lignes du second ordre, qu'un seul pointj, et que la suite de tous ces points formera une ligne continue assujettie, dans toutes ses parties, à la même loi, au même mode de génération; or je dis que cette ligne est généralement une droite parallèle à l'axe fixe ab, comme cela a lieu notoirement pour le cas où la proposée se compose d'un système de lignes du premier ou du second degré; ce qui revient à dire que ay ou k demeure constant pour tous les cas possibles.

D'abord il est aisé de se convaincre que jamais le point générateur/ ne peut s'éloigner à l'infini du point a ou de l'axe fixe ab', car il faudrait, pour que cela eût lieu, ou que l'un des segments qui entrent dans le numérateur ap, ap' , ap" ,... de ^ devînt lui-même infini, ce qui ne peut être, à moins que la direction ac des appliquées n'ait été prise, contrairement à nos hypothèses, parallèlement a l'une des branches ou des asymptotes de la courbe, ou à moins que la droite ac tout entière ne soit supposée à l'infini. Mais, en comparant ce qui arrive, dans ce dernier cas, avec ce qui aurait lieu pour celui d'un simple assemblage de lignes droites ou de sections coniques, il sera facile de voir que le rapport k n'en conserve pas moins une valeur unique, qui est finie si la direction de l'axe fixe ah et celle ac des appliquées sont quelconques par rapport aux directions des différentes branches de la courbe proposée, valeur qu'on peut même calculer ou construire géométriquement si les m asymptotes de cette courbe ou les directions de ses m branches infinies sont données. En effet, traçant, par exemple, les m droites pqy p'q', p" q"y..., censées parallèles à ces directions respectives et qui joignent les intersections fixes ^, q', q'\... aux intersections correspondantes p, p' , p",... de l'appliquée ap ou ac supposée tout entière à l'infini, la valeur ^u rapport k sera donnée pour ces m droites, et la même que celle qui appartient aux intersections dont il s'agit.

Les différentes appliquées parallèles apc ne contenant donc qu'un seul point y à distance donnée et n'en ayant aucun à l'infini, il résulte du principe général rappelé ci-dessus que la suite de tous ces pointsj est une ligne du premier degré ou une simple droite. Je dis en outre que c'est une parallèle à l'axe qq' des abscisses; et, pour Je prouver, il ne s'agit que de faire voir clairement qu'elle ne saurait rencontrer cet axe en un point qui soit situé à une distance assignable ou finie; or, cela paraîtra parfaitement clair si l'on considère que, pour l'appliquée correspondante à ce point, l'un des

r34 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES,

segments a/?, ap\ ap",...y soit ap, devrait s'évanouir; ce qui ne peut être qu'autant que l'intersection/? de la courbe relative à ce segment se trouve en a sur l'axe qq\ et sans que par conséquent l'une aq au moins des abscisses ou segments du dénominateur de la fraction k ne devienne aussi nulle. Mais la loi de continuité assigne une tangente en ce même point/) de la courbe, dont le rapport de l'ordonnée à l'abscisse est précisément le même que celui des segments nuls et infiniment petits ap et aq que l'on considère. Donc ce dernier rapport et, par suite, la valeur de ay ou de k ne cessent point d'être déterminés, et ne peuvent devenir nyls tant que le point d'origine a des appliquées se trouve à une distance donnée ou finie sur l'axe des abscisses, ou tant qu'il n'arrive pas que les éléments tangentiels de la courbe en ses différentes intersections q, q\ q",... avec cet axe se trouvent confondus avec la direction même de ce dernier; toutes circonstances qui ne peuvent avoir lieu d'après la généralité de nos hypothèses sur la situation respective de la courbe et des axes fixes considérés.

Concluons donc, en second lieu, que la droite des points j, ne pouvant généralement rencontrer l'axe qq' en des points situés à une distance donnée, il faut bien que cette droite lui soit parallèle, ou que ay, ainsi que le rapport k du produit des appliquées ap, ap', ap",... à celui des abscisses correspondantes aq, aq', aq" , demeurent invariables pour toutes les positions possibles de ces appliquées parallèles à une droite donnée, et, par suite aussi, pour toutes celles que peut prendre l'axe des abscisses en se transportant parallèlement à lui-môme dans le plan de la courbe, ce qui constitue proprement le théorème de Newton qu'il s'agissait de démontrer.

Nous n'insisterons pas sur ce qui arrive dans les cas particuliers où l'axe des abscisses est pris tangentiellement à l'une des branches de la courbe, c'està-dire parallèment à l'une des asymptotes, parce que la loi de continuité indique clairement alors comment on doit entendre le théorème ci-dessus, et que les circonstances sont absolument les mêmes que celles qui se présentent dans le cas bien connu des lignes du second ordre. D'ailleurs ces détails, sur lesquels nous aurons occasion de revenir, ne seraient point à leur place dans cette introduction, où nous avons seulement prétendu prouver que le théorème qui doit servir de base principale à nos recherches peut être établi à priori, en se fondant uniquement sur le principe de continuité combiné avec les données d'une Géométrie générale dont j'ai exposé les premiers éléments dans le précédent volume des Propriétés projectives.

Après avoir donné, dans ce qui précède, un aperçu en quelque sorte historique de mes recherches sur les propriétés projectives des courbes géo-

SECTION III. — ANALYSE DES TRANSVERSALES. i35

métriques et des vues qui m'ont principalement guidé en m'y livrant, de loin en loin, depuis 1816, il me reste à dire un mot du plan que j'ai adopté dans cette présente rédaction, qui, bien loin d'offrir un traité suivi et méthodique sur la matière, comme j'ai déjà dit en avoir eu primitivement l'intention, n'est qu'une esquisse fort imparfaite, je l'avoue, des principaux résultats auxquels je suis depuis longtemps parvenu, et que le peu de loisirs dont je puis actuellement disposer (i83o) ne me permet pas de perfectionner davantage ni de mettre dans l'ordre rigoureux que je leur eusse souhaité.

Prenant donc pour définition, propre à caractériser à la fois toutes les lignes et surfaces géométriques, la relation qui subsiste entre les différents segments formés sur les côtés d'un triangle arbitraire par les intersections de ces lignes et surfaces, et voulant donner tout d'abord une idée de l'extension que peuvent recevoir les principes de la doctrine des transversales, j'ai débuté, dans un premier paragraphe, par appliquer ces principes aux lignes du second ordre, considérées d'une manière individuelle ou dans leur combinaison, et qui ont tant et depuis si longtemps occupé la sagacité des géomètres, qu'il semble que, dorénavant, il n'y ait absolument plus rien de vraiment neuf et d'intéressant à en dire. La facilité surprenante avec laquelle on arrive ainsi aux propriétés projectives les plus générales et les plus belles de ces lignes, me semble bien propre d'ailleurs à éveiller l'attention du lecteur et à l'initier à l'esprit de la méthode.

Passant de là à ce qui concerne les lignes du troisième ordre, j'ai fait voir comment la* théorie dés transversales peut, sur-le-champ, conduire à la découverte de leurs principales propriétés projectives, déjà mentionnées dans la partie historique de cette introduction comme étant les corollaires de théorèmes plus généraux concernant les lignes d'un ordre quelconque. Quelques-unes de ces propriétés, relatives aux points d'inflexion et aux quadrilatères complets inscrits, ont été longuement et péniblement démontrées dans le Traité des courbes géométriques de Mac-Laurin, qui, ainsi que je l'ai également fait observer précédemment, a envisagé les propriétés des courbes du troisième degré d'une manière tout à fait spéciale.

Lors de mes premières recherches sur cette matière, j'avais eu l'intention de donner une certaine étendue à l'article qui concerne la théorie des lignes du troisième ordre, à cause de la singulière analogie qu'offrent leurs propriétés avec celles des sections coniques ordinaires; je me proposais, par exemple, de les construire par points sous différentes données, de construire leurs systèmes d'intersections ou leurs systèmes de tangentes rela-

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tives à des droites ou à des points de position assignée, de rechercher tous leurs points singuliers ainsi que les propriétés dont jouissent ces points par rapport aux points ordinaires de la courbe, etc. Mais, comme ces différentes questions se reproduisent également pour les lignes de tous les degrés et donnent lieu aux mêmes solutions générales, je me suis ici borné à quelques propositions spéciales propres à servir d'exemple de la fécondité des principes et de la fertilité de leurs applications. Ce que j'ai dit d'ailleurs, dans ce même article, concernant les intersections et les contacts divers des lignes du troisième ordre et des sections coniques, doit être considéré uniquement comme une sorte d'introduction à ce que je me propose de donner dans la seconde partie de ces recherches touchant les osculatrices des lignes d'ordre supérieur.

Laissant là bientôt ces préliminaires, je passe, dans un second paragraphe, à ce qui concerne les courbes planes géométriques d'un ordre quelconque considérées d'une manière individuelle et par rapport aux systèmes de transversales rectilignes qui peuvent les couper. Je fais voir comment on doit entendre ou appliquer, dans ce cas simple, l'équation ou relation fondamentale qui définit à la fois toutes ces lignes; je m'occupe ensuite des différentes transformations ou traductions, soit métriques, soit descriptives, dont elle est susceptible dans certains cas, et notamment pour certaines situations particulières des transversales, où, sous sa forme primitive, elle devient illusoire, identique, et cesse ainsi de demeurer applicable au système. Ces circonstances se présentent, entre autres, quand une ou plusieurs des intersections propres des transversales se trouvent situées sur la courbe ou se confondent entre elles, et elles donnent ainsi lieu à de nouveaux théorèmes sur les lignes ou surfaces géométriques, comme elles fournissent des méthodes variées et simples pour le tracé de leurs tangentes et plans tangents dans les différents cas. On verra que les transformations dont il s'agit reposent principalement sur le mode d'élimination général par lequel on peut débarrasser l'équation primitive ou ses dérivées de certains segments qui y entrent et qui les rendent illusoires dans les cas précités.

Du reste, à l'exception de ce qui concerne la relation que nous avons nommée inçolution simple de certains systèmes de points en ligne droite, relation qu'on doit considérer comme fondamentale, nous avons fort peu insisté sur les propositions ou corollaires particuliers qui peuvent découler de nos principes, dont l'exposition méthodique est d'ailleurs le. but essentiel de la première partie de ce Mémoire : c'est ainsi, par exemple, que nous ne faisons qu'indiquer, chemin faisant, les nombreux corollaires relatifs aux

points singuliers ou multiples des courbes, aux polygones qui leur sont inscrits ou circonscrits, à leurs systèmes d'asymptotes, etc.

Ayant montré, dans ce qui précède, comment on peut rendre la relation fondamentale applicable à tous les états de la figure, à toutes les situations possibles des transversales, nous nous occupons, dans un nouveau paragrapbe, de la détermination ou du tracé même des lignes géométriques par leurs systèmes d'intersections avec des transversales données, en nous fondant uniquement sur les propriétés qui dérivent de l'équalion de définition de ces lignes. Cette discussion nous conduit à plusieurs résultats curieux, et notamment à celui-ci : < Lorsqu'une ligne géométrique plane, » d'un degré quelconque, est donnée par un nombre suffisant de ses sys- » tèmes d'intersections avec des droites ou transversales arbitraires, on peut, » non-seulement décrire la courbe tout entière par points, mais, de plus,

> trouver directement ses intersections avec une autre transversale donnée, » le tout par des méthedes purement linéaires, ou qui n'exigent, en der- » nière analyse, que la construction desimpies lignes droites; par quoi on

> doit entendre d'ailleurs que toutes les courbes auxiliaires qui servent à la » solution du problème sont elles-mêmes constructibles par de simples » intersections de lignes droites. »

Ce paragraphe, qui était indispensable pour justifier l'adoption de notre équation fondamentale comme définition caractéristique et suffisante des courbes et surfaces géométriques, contient d'ailleurs le germe de toutes les recherches sur la communauté d'intersection des lieux, qui seront mentionnées plus loin, et spécialement sur la détermination des lignes et des surfaces qui sont assujetties à des conditions données.

Après nous être ainsi étendu sur ce qui concerne les systèmes d'intersections des lignes géométriques avec des droites arbitraires, il était naturel de s'occuper des questions inverses relatives à leurs systèmes de tangentes issues de points donnés; questions qui dérivent immédiatement de nos principes sur la théorie des polaires réciproques, attendu que toutes les relations métriques et descriptives précédemment examinées sont, de leur nature, projectives ou telles, qu'elles subsistent à la fois dans toutes les projections coniques delà figure; conformément à ce qui est réclamé par les considérations des n"" 120 et suiv. du Mémoire (Sect. II) qui contient cette théorie. Mais, comme l'exposition des principes de cette même doctrine a suscité quelques doutes dans l'esprit de certaines personnes, notamment en ce qui concerne le degré des courbes polaires réciproques de courbes planes données; comme d'ailleurs nous n'avons fait que glisser sur cette importante et II. 18

i38 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES,

épineuse maliëre, dans les n*'' 66 et siiiv. du Mémoire en question, et que, dans la crainte d'anticiper par trop sur le sujet de nos recherches relatives aux propriétés des courbes ou surfaces géométriques, nous y avons même négligé de démontrer, à priori et par les méthodes qui nous sont propres, quelques-uns des théorèmes dont nous sommes partis, tels que celui sur le nombre et le degré des intersections de ces courbes et surfaces, celui sur le nombre et l'espèce de leurs tangentes ou plans tangents passant par les mêmes points ou les mêmes droites, ces différents motifs nous ont engagé à revenir sur ces questions fondamentales, qui demandent encore à être éclaircies et approfondies, bien qu'elles aient fait dans ces derniers temps (1828) l'objet des méditations d'habiles géomètres analystes.

En effet, la solution de telles questions dépend, comme on peut le voir à l'endroit déjà cité, du perfectionnement d'une autre théorie, celle des points singuliers des courbes, qui n'est point encore complètement faite malgré les savantes recherches de nos premiers géomètres ('); et elle tient aussi aux difficultés les plus ardues de la science de l'élimination. Mais, quoique les considérations d'une Géométrie purement intuitive, appuyée de notions qui dérivent de l'admission du principe de continuité, nous aient permis d'entrer plus avant dans le fond de la question, nous ne saurions nous flatter cependant d'en avoir éclairci entièrement les difficultés et d'avoir dissipé tous les nuages dont elle demeure encore enveloppée.

A l'occasion de ces discussions, nous présentons les éléments d'un nouveau mode de transformation des figures qui diffère essentiellement, du moins en apparence, de celui qui ressort de la théorie des pôles et polaires des lignes du second degré, mais qui, malheureusement, fait retomber sur les mêmes résultats relativement aux questions de réciprocité, et n'offre d'autre avantage que celui d'une facilité plus grande dans les moyens de construire la transformée ou dérivée d'une figure donnée.

Tel est l'exposé succinct des matières contenues dans cette première partie de nos recherches, dont la seconde a spécialement pour objet l'exposition des principales conséquences relatives aux propriétés projectives des systèmes de lignes et de surfaces géométriques.

Cette second partie, dont nous renvoyons la publication à un prochain

(*) Voyez le Traité du Calcul différentiel et du Calcul intégral àe M. Lacroix, t. III, et la Théorie des points singuliers donnée par M. Poisson, dans le XIV* Cahier du Journal de VÉcble polytechnique.

Mémoire ou Section, n'offre, pour ainsi dire, que le développement et les applications des principes exposés, dans la première, sur l'Analyse des transversales : elle se subdivise également en plusieurs paragraphes, dont nous nous contenterons d'exposer sommairement le contenu, déjà mentionné au commencement de cette introduction.

1° Des systèmes de lignes et de surfaces géométriques, de même degré, V qui ont les mêmes intersections communes, ou que touchent les mêmes plans, les mêmes surfaces développables enveloppes; tracé effectif de l'une d'entre elles au moyen de toutes les autres, par des constructions purement linéaires on qui se rapportent uniquement à la Géométrie de la règle; de l'involution complète des systèmes de points, de lignes et de surfaces; des lieux géométriques; problème de Pappus résolu pour la première fois par Descartes; combinaison des lieux et de leur décomposition en lieux plus simples.

2° Application de l'Analyse des transversales à la théorie et à la recherche des osculatrices du deuxième degré et des divers ordres, en des points déterminés des lignes et des surfaces géométriques; tracé de ces osculatrices par points ou par l'enveloppement des tangentes, à l'aide de constructions purement linéaires, etc.

3** Principales conséquences relatives aux centres, aux axes et aux plans de moyenn-es distances ou de moyennes harmoniques des lignes et surfaces géométriques individuelles, ou des systèmes de lignes et de surfaces géométriques assujetties à des conditions données; solution nouvelle du problème relatif aux faisceaux convergents de tangentes, tracé et propriétés des . polaires successives, etc.

Dans cette seconde partie, destinée seulement à l'indication rapide des principaux résultats de nos propres recherches et de celles des autres sur les courbes et surfaces de tous les degrés, nous avons négligé une infinité de corollaires, neufs ou piquants, qui eussent ralenti notre marche, sans rien ajouter d'essentiel aux considérations théoriques qui peuvent servir à faire saisir l'esprit général de nos méthodes, et à en démontrer l'utilité et la fécondité.

En insistant principalement sur les applications de la Théorie des transversales, nous avons voulu prouver que cette théorie, envisagée comme nous le faisons, constitue aussi un corps de doctrine à part, une sorte A' Analyse géométrique très-digne de fixer l'attention des savants et surtout des auteurs d'Eléments, par la simplicité et la facilité de l'algorithme, la généralité et l'étendue des conséquences, la fertilité et la variété des ressources qu'elle

i4o PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

offre dans la solution des questions les plus relevées. Si l'on prend d'ailleurs la peine de comparer le contenu des présents Mémoires avec les belles et récentes découvertes sur les propriétés des courbes et surfaces de tous les degrés, qui ont été exposées par MM. Gergonne, Bobillier, Chasles, Plucker, etc., dans les Annales de Mathématiques, la Correspondance de Bruxelles et le Journal àe M. Crelle (année 1827 à i83o), on se convaincra, j'espère, que, malgré le retard involontaire qu'a éprouvé la publication de mes propres recherches sur cette matière, antérieures de plusieurs années, elles n'ont point encore perdu, à certains égards, l'intérêt et le mérite de la nouveauté (*).

Au surplus, en exposant les principaux théorèmes sur les intersections des lignes et des surftices géométriques, je ne me suis nullement astreint à en opérer à chaque pas, comme l'ont fait quelques-uns de ces géomètres, "^ \a traduction en d'autres théorèmes relatifs aux tangences de ces lignes et surfaces; ce qui est toujours facile au moyen des principes généraux de la Théorie des polaires réciproques. J'ai dû me contenter d'en montrer, de loin en loin, des exemples, en insistant plus particulièrement sur ceux qui pouvaient offrir le plus d'intérêt par l'étendue des conséquences ou par les moyens d'y parvenir.

A ce même sujet, nous devons ici reproduire une observation importante î)ar sa généralité : c'est qu'en partant directement des théorèmes sur les ■ tangentes ou plans tangents des lignes et surfaces géométriques, qui sont les corrélatifs ou réciproques de ceux de Carnot, sur les intersections des transversales arbitraires, et dont les énoncés se trouvent rapportés à la fin du Mémoire sur la théorie des polaires réciproques (Sect. II, n*^' 128 et suiv., 141 et 142); en partant, dis-je, de ces théorèmes inverses, on peut, par une analyse analogue à celle qui fait l'objet de ce travail, arriver, sur-lechamp et sans pétition nouvelle de principe, à toutes les conséquences ou propositions réciproques dont il vient d'être parlé; ce qui donnerait lieu à un autre moyen de découvertes géométriques, à un autre corps de doctrine analogue à celui qui constitue l'Analyse même des transversales. En laissant donc de côté, fort souvent, tout ce qui concerne cette réciprocité, nous éviterons d'entasser inutilement des théorèmes dont l'exposition, ne coûtant

( * ) -En rendant ce public hommage à quelques-uns des travaux des géomètres dont je citais en i83i les noms aujourd'hui mieux connus, les lecteurs instruits comprendront q.u"il ne s'agissait là exclusivement que de certaines matières traitées dans la Section IV ci-après, où je nie proposais, conmie dans le tome I*"", de rendre à chacun la juste part qui lui était due, si mes occupations m'en eussent laissé le loisir nécessaire. — (Note de i865.)

SECTION III. — ANALYSE DES TRANSVERSALES. i4i

pour ainsi dire que la peiue d'en transcrire les énoncés, serait d'un bien faible intérêt pour les lecteurs, qui estiment principalement, dans les spéculations mathématiques, l'utilité des applications ou la nouveauté et la fertilité des routes qu'elles peuvent ouvrir à l'esprit dans la recherche de la vérité.

Exposé de la méthode dans son application aux lignes planes des

trois premiers degrés.

Pour donner tout de suite une idée de nos méthodes, et en rendre l'exposition générale plus claire et plus facile, nous commencerons par les appliquer au cas simple des lignes du second ordre, ou du système de deux droites indéfinies situées à volonté sur un même plan : quelques exemples suffiront pour montrer comment les principes de la théorie des transversales conduisent directement aux propriétés les plus universelles de ces lignes.