APPLICATION DE LA MÉTHODE AUX LIGNES DU SECOND ORDRE

143. Quadrilatère inscrit au système de deux droites; involution. — Soit ABCD {fig. 3i, PL IV) un quadrilatère quelconque, avec ses deux diagonales AC et BD se rencontrant au point G, et dontE, F sont les points de concours des couples de côtés opposés AB et CD, AD et BC. Soit ae une droite ou transversale arbitraire, rencontrant les directions indéfinies des diagonales AC, BD aux points e,/, et celles des côtés AB, BG, CD, DA aux points a, 6, c, û? respectivement. On aura, en vertu du théorème fondamental de Carnot, et en tant que le triangle Eac se trouve coupé par le système des deux côtés opposés ADF, BCF du quadrilatère, considéré comme une ligne du second ordre,

EA.EB ad.ab cD.cC

ED.EC cd.cb aA.aB

Le même triangle, coupé par le système des deux diagonales ACe, BD/, donnera pareillement

ED.EC CTA.aB ce.cf EA.EB * cD.cC ' ae.af~ ''

comparant entre elles ces équations, on en déduira cette troisième

ab.ad cb . cd

ae . af ce.cf

i42 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

Il est clair qu'en traitant de même les triangles Yhd, e/'G, qui sont formés par la transversale arbitraire ç/"et par le couple des deux autres côtés opposés ou des diagonales du quadrilatère ABCD, on aurait également

ba . hc da . de ea.ec fa .fc

be . bf de.df eb.ed fb-fd

relations qui, étant combinées entre elles et avec la précédente par voie de multiplication ou de division, donnent lieu à ces quatre autres

ec.ab.df =^ eb.af.de, €a.cd.bf=cd.cf.ab, ad. be. cf =z ae.be. df, ad.bf.ce = de,af.bc.

Ce sont là, en effet, les sept relations démontrées par M. Brianchon dans son Mémoire sur les lignes du second ordre, imprimé à Paris en iSi'y; relations qui, d'après Desargues, expriment que les six points d'intersection a, b, c, d, e,'f de la transversale arbitraire sont en involudon.

On sait d'ailleurs que l'une quelconque d'entre elles comporte nécessairement les six autres, qui ainsi n'expriment individuellement que la même propriété de situation des points auxquels elles s'appliquent, savoir ; que, » si l'on décrit, à volonté, sur un plan, un quadrilatère simple quelconque, » dont les côtés et les diagonales, à la réserve d'un seul ou d'une seule, » soient assujettis à passer respectivement par cinq quelconques de ces » points pris dans un ordre convenable, le dernier côté ou la dernière » diagonale ira naturellement' passer par le dernier point. >

144. Quadrilatère inscrit à une conique quelconque; théorème de Desargues. — Supposons maintenant que le quadrilatère ABCD soit inscrit à une ligne du second ordre quelconque, comme il l'est en effet au système indéfini des deux diagonales AC et BD; soient e' et/' les nouvelles intersections de la transversale arbitraire e/'avec la courbe, intersections qui peuvent d'ailleurs être réelles ou imaginaires, distinctes ou confondues en une seule, etc., on aura d'abord, entre les six points «, b, c, d, e,/, les sept relations ci-dessus. De plus, si l'on considère, à son tour, la courbe comme transversale des triangles formés par l'arbitraire e/*, soit avec chacun des couples de côtés opposés du quadrilatère ABCD, soit avec le système des diagonales de ce quadrilatère, on en déduira trois nouvelles équations qui, étant combinées entre elles et avec les précédentes par voie de division ou de multiplication, conduiront à sept autres relations indépendantes des points e et /des diagonales, et qui exprimeront que les intersections e',/', relatives à la courbe, jouent, par rapport aux intersections a, b, c, d des côtés du quadrilatère,

ACTION III. - ANALYSE DES TRANSVERSALES. i43

absolument le même rôle que les intersections propres e,/des diagonales: proposition qui a son analogue pour les courbes géométriques d'un ordre quelconque, comme on le verra plus tard, et qui peut s'énoncer ainsi d'une manière fort simple :

Un quadrilatère quelconque étant inscrit à une ligne du second ordre, toute transversale coupe les côtés de ce quadrilatère et la courbe en six points qui sont en involution.

Ce principe, comme on sait (*), est d'une fécondité remarquable : outre qu'il conduit immédiatement, et par forme de simples corollaires, aux propriétés des pôles et polaires des lignes du second ordre, à celles de la division harmonique des lignes droites, au tracé des tangentes, etc., il permet encore de construire directement les courbes du second degré par points, soit à l'aide du calcul, soit par de simples intersections de lignes droites. Mais ces dernières qualités, il ne les possède pas d'une manière exclusive, et l'on arrive aux mêmes résultats, plus rapidement encore, en partant directement de notre principe fondamental, qui a l'avantage de s'appliquer immédiatement aux lignes et surfaces géométriques de tous les ordres, et qui, en particulier, définit ou caractérise celles du second ordre, de la manière la plus générale et la plus précise, comme on va le voir.

145. Tracé par points des coniques. — Soient {Jig' Sa )/>, /?', q, q' et r cinq points choisis arbitrairement sur le périmètre d'une ligne du second ordre; traçons les droites/»/?', qq' se rencontrant en b, et proposons-nous de trouver l'intersection r' de la courbe avec une droite quelconque rr' qui^ passant parr, rencontrerait en a et c respectivement les deux premières. Le triangle abc, considéré comme transversale de la courbe, nous donnera, pour déterminer r',

ap.ap' hq.bq' cr.cr'

bp.hp' cq.cq' ar.ar' *

relation dans laquelle tout est connu sauf le rapport de cr' à ar'; on pourra donc calculer ou construire géométriquement ce rapport, et, par suite, obtenir le point r' sur la direction rr'; car, quoiqu'il y ait deux points qui résolvent la question par rapport aux sommets a et c du triangle abc, il ne saurait néanmoins y avoir ici aucune incertitude sur la véritable position de celui r' dont il s'agit {voyez le n** 149 ci-après). Faisant donc varier la position de la droite rr', ou ac, autour du point r, on obtiendra successi-

{*) Foycz le Mcinoirc déjà cité de M. Briunchon, ainsi que le tome I'"'" dos Pmpnéics pruje<y tives des figures, Sect. 11, Cliap. I.

i44 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES. *

vement tous les points de la ligne du second ordre qui passe par les cinq

points donnés/?,/)', q, q' et r.

On simplifiera un peu l'équation ci-dessus et par conséquent le calcul ou le nombre des opérations nécessaires pour trouver le point r, en traçant, une fois pour toutes, la transversale qr qui rencontre en K le côté du triangle abc dont les points y et/* ne dépendent pas; car cette transversale donnera lieu à la nouvelle équation

ar cq bK

cr bq aK ' v

de laquelle on tire, après l'avoir multipliée par la précédente,

ap . ap' bq' cr' bK

bp.bp' cq' ar' «K

Au lieu de déterminer directement r' sur la droite rh, on pourrait encore se borner à construire le point L où la direction de bc est rencontrée par c^lle de/?'r'.Or, en considérant/?' r' L comme une nouvelle transversale du triangle abc, on aura

ar' bp' cL

cr' ap' 6L '

et, en multipliant par la précédente,

ap bq' bK cL

'bp"^'"âK'bL~^'

nouvelle équation où tout est connu, sauf le rapport de cL à bL, qu'elle servira à déterminer ainsi que le point L dont dépend finalement r',

146. Tracé, détermination des tangentes, — Veut-on supposer maintenant que les points r et ^, par exemple, au lieu d'être distincts, soient confondus en un seul, ou que Krq soit une tangente de la courbe en ce point? On le pourra, car il n'y aura rien à changer dans l'égalité obtenue en dernier lieu.

Cette relation, jointe aux précédentes, sera donc très-propre à déterminer la tangente au point dont il s'agit, à l'aide des quatre autres points quelconques/?,/?', ^' et r' de la courbe.

Pareillement encore, les points r, q, q', /?' étant donnés, on pourrait supposer que /?' et r' vinssent, à leur tour, se confondre en un seul, sans que les relations dont il s'agit éprouvassent aucun changement, de sorte qu'elles ne cesseraient pas de donner la direction de Lr'/?' devenue une tangente de la courbe.

Enfin, pour rendre ces mêmes relations indépendantes de la position res-

SECTION III. — ANALYSE DES TRANSVERSALES. i45

pective des points/? eiq', on tracera la droite/?^', rencontrant en I le côté opposé ac du triangle abc; et, la considérant comme une nouvelle transversale de ce triangle, on aura

bp cq' a\

ap bq' cl '

équation qui, multipliée par la dernière des précédentes, conduit à cette autre

6K. cL «I aK' bh' cl~^'

laquelle, ne renfermant aucun des segments relatifs aux intersections de la courbe et du triangle abc; subsiste évidemment quelle que soit la position respective de l'un et de l'autre, pourvu seulement que leurs intersections ne soient point imaginaires, et qu'aucun des côtés de ce triangle ne passe à l'infini.

147. Remarque générale. — Quoi qu'il arrive, on pourra toujours débarrasser la relation dont il s'agit des segments qui la rendent illusoire, en imaginant, par les intersections correspondantes, soit une nouvelle section conique quelconque ou même une simple circonférence de cercle, si ces intersections sont entièrement impossibles, soit de nouvelles droites quelconques si ces intersections sont seulement éloignées à l'infini sur le plan de la figure; après quoi on se servira des relations qui appartiennent à ces différentes lignes, pour éliminer de la proposée tous les segments qui proviennent des intersections impossibles.

Je reviendrai bientôt sur la combinaison des lignes du second ordre que suppose la première hypothèse; quant à la seconde, j'admettrai, pour offrir un exemple, que ce soit le côté bc qui s'éloigne à l'infini sur le plan du triangle, et je me proposerai d'éliminer, de la dernière des relations ci-dessus, les segments bh et cL qui appartiennent à ce côté et dont le rapport devient seul indéterminé, puisque celui des segments infinis ôK et cl, qui tje difrfèrent entre eux que d'une quantité donnée, doit être censé égal à l'unité.

Traçant donc une droite quelconque, telle que KT (fig. 32), qui contienne le point L censé à l'infini sur/?V, ou, ce qui revient au même, qui soit parallèle à la droite />'r', on aura, en nommant K' et F ses intersections avec les côtés ab et ac du triangle, la nouvelle équation

W cL ar

i46 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES,

qui, étant divisée parla proposée, membre à membre, donnera

bK"cî''aK''aI~'' ^" «K' ""«!''

attendu que les rapports de bK' à 6K, de cl à cV sont égaux à l'unité. Or cette dernière relation, qui est indépendante du point à l'infini, n'exprime évidemment autre chose que le parallélisme de la droite K' F avec celle qui joindrait les points K et I obtenus comme il a été dit ci-dessus.

148. Hexagone inscrit aux coniques. — On peut arriver tout d'un coup à l'équation

6K.cL.aI «K.6L.6l~"^'

relative au cas général. Car, en tant que la courbe est considérée comme transversale du triangle abc, on a

ap.ap' X bq.bq' Xcr.cr'

bp.bp' X cq.cq'Xar.ar' '

et, en tant que le même triangle est censé coupé par le système des trois droites qrK,p' r'L, q'pl, on a aussi

bp.bp'xbKxcqcq'XchXar.ar' Xal ap.ap'xbK Xbq.bq'x bLxcr.ci' X cl~ ,'

équation qui, multipliée par la précédente, redonne celle dont il s'agit.

On remarquera d'ailleurs que les six points /?,/>', q, q\ r, r' peuvent être censés pris, d'une manière entièrement arbitraire, sur le périmètre de la courbe proposée, et ne sont autre chose que les sommets de l'hexagone quelconque pq'qrr'p'p inscrit à cette courbe. Or je dis que la relation qui vient de nous occuper et qui concerne les points de concours I, K, L, des côtés respectivement opposés de cet hexagone, exprime que ces trois points sont toujours situés en ligne droite.

En effet, il suffit évidemment de prouver qu'ils sont en nombre pair sur le périmètre même du triangle abc, ou en nombre impair sur les prolongements de ses côtés; ce qui est incontestable puisque les six intersections de ce triangle avec la courbe, et ses neuf intersections avec le système des trois transversales qrK, p'r'L, q'pl, parmi lesquelles se trouvent les I, K, L, sont elles-mêmes en nombre pair sur le contour de ce périmètre, où en nombre impair sur ses prolongements, de sorte qu'en retranchant, des neuf dernières

intersections, les six premières, les intersections restantes doivent nécessairement se trouver aussi dans les mêmes circonstances.

149. Remarques générales. — Pour bien saisir l'esprit de ce raisonnement, il est essentiel de remarquer que les relations du genre de celles qui nous occupent peuvent fort bien subsister entre les segments de points situés sur les côtés d'un triangle ou leurs prolongements, sans que, pour cela, ces relations expriment nécessairement une propriété relative à une certaine ligne géométrique ou à une combinaison de droites ou de lignes de cette espèce. Le théorème général de Carnot suppose en effet implicitement que les intersections considérées se trouvent en nombre égal sur chaque côté; que l'on ne néglige aucune de celles qui peuvent être confondues avec d'autres, imaginaires ou situées à l'infini; que les produits des segments soient pris dans l'ordre qu'assigne l'énoncé du théorème; qu'enfin et notamment les intersections réelles soient en nombre pair sur le périmètre même du triangle ou du polygone transversal, en regardant zéro comme un nombre pair.

Les premières conditions sont évidentes par elles-mêmes; quant à la dernière, elle. est une conséquence inévitable du principe de continuité appliqué aux intersections des courbes décrites en vertu de lois géométriques quelconques. En effet, quelle que soit une telle courbe, on pourra toujours construire, d'une infinité de manières différentes, un triangle ou un polygone qui, étant considéré comme transversal de cette courbe, ne contienne aucun des points de celle-ci sur le contour même de son périmètre. Supposant donc que ce polygone change de position et de grandeur, par degrés insensibles ou continus, de manière à venir coïncider finajement avec le polygone considéré, il parait évident qu'attendu la continuité de la courbe, une branche quelconque de cette courbe ne pourra pénétrer dans l'intérieur du polygone variable que de deux manières différentes : 1° en passant par l'un de ses sommets; 2° en devenant tangente à Tun de ses côtés. Dans l'un et l'autre de ces cas, le nombre des intersections de la courbe, qui sont venues se placer sur le périmètre même du polygone, sera de 2, d'abord confondus en un seul sur le même côté ou sur deux côtés différents, mais bientôt distincts. La même chose ayant lieu pour de nouveaux points d'intersection qui passeraient du dehors au dedans du périmètre du polygone et réciproquement, on voit que le nombre effectif des points réels qui se trouvent situés sur le contour de ce périmètre est nécessairement pair, ainsi que nous l'avons avancé.

La même conséquence peut se déduire aussi de la considération des chan-

i48 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES,

gements de position et de signe que doivent subir, dans la relation proposée ou sur la figure, les différents segments qui appartiennent aux intersections des côtés du polygone et de la courbe; car, d'après la forme même de cette relation, il est clair qu'aucun des segments dont il s'agit ne peut devenir nul ou négatif sans qu'aussitôt un segment, appartenant à un point différent, ne devienne nul ou négatif en même temps, et sans que par conséquent deux points distincts ne quittent simultanément le périmètre du polygone transversal, ou ne viennent s'y placer à la fois.

Ces remarques nous seront principalement utiles pour la partie de ces recherches qui concerne les applications de la théorie des transversales aux lignes géométriques d'un ordre quelconque.

150. Système de coniques à intersections communes; involution. — On vient de voir avec quelle singulière facilité la théorie des transversales conduit aux propriétés les plus générales et les plus fécondes des lignes du second ordre, car nos lecteurs auront reconnu, dans celle qui a été démontrée en dernier lieu, sur l'hexagone inscrit à ces courbes, le théorème de Pascal qui est fondamental, et qu'on retrouve dans presque toutes les recherches relatives aux propriétés de situation des figures. Il nous reste maintenant à prouver que la même méthode s'applique, avec une égale facilité, aux systèmes de courbes du deuxième degré.

Considérons, par exemple, l'ensemble de deux lignes du second ordre quelconques situées dans un même plan, ainsi que l'un des trois couples formés respectivement par celles de leurs cordes ou sécantes communes qui sont conjuguées deux à deux (t. I^"^, Sect. III) ou se rencontrent hors du périmètre des deux courbes; je dis que, si l'on vient à couper ces courbes et l'un quelconque des couples dont il s'agit, par une droite ou transversale arbitraire, les six intersections ainsi obtenues seront en involution entre elles (144 et 145).

En effet, cette transversale et les deux sécantes conjuguées déterminent, par leurs rencontres mutuelles, un triangle qui, étant considéré successivement comme transversale des lignes proposées, donnera lieu à deux relations qui ne différeront entre elles que par les produits des couples de segments appartenant aux intersections de la droite arbitraire, puisque les intersections relatives aux deux sécantes communes sont censées les mêmes pour les deux courbes. Divisant donc ou multipliant ces relations de manière à éliminer les segments relatifs à ces dernières intersections, on en déduira une autre qui, ne contenant plus que les produits dont il s'agit, se con-

fondra avec l'une des six équations établies au n° 143 ci-dessus, dont nous avons vu qu'une seule entraîne avec elle les cinq autres et suffit pour établir qu'il y a involution entre les six points correspondants.

Substituons maintenant, à l'une de nos deux courbes, une troisième section conique qui ait les mêmes intersections qu'elles ou les mêmes sécantes conjuguées communes, il est clair qu'elle donnera lieu à une nouvelle équation analogue à la précédente. Enfin si l'on élimine, à leur tour, de ces dernières équations, les produits de segments relatifs aux sécantes communes, on en obtiendra une troisième, toujours de la même forme et qui donnera lieu à ce théorème fondamental :

Les intersections d'une droite ou transversale arbitraire avec trois lignes du second ordre quelconques, ayant les mêmes intersections ou les mêmes sécantes communes, forment entre elles une involution de six points ( * ) .

Cet énoncé s'étend évidemment au système de trois surfaces du second ordre quelconques, coupées par une transversale arbitraire et qui ont la même courbe d'intersection commune.

151. Généralisation. — Plus généralement, soit (fig. 33) le système de deux sections coniques quelconques situées sur un même plan; soit abc un triangle formé par les intersections de trois transversales arbitraires a6, bc et ca, dont la première rencontre nos deux courbes aux points p et/)', P et P' respectivement, la seconde aux points q et q', Q et Q', la troisième enfin aux points retr', R et R'; on aura, en vertu du principe de Carnot,

ap . ap' X hq . bq' x cr. cr'

bp . bp' X cq . cq' X ar. ar'

aP.aP'X 6Q.6Q^XcRcR' 6P.6P'xcQ.cQ'x«R.«R'

(*) Ce théorème, qui, ainsi que ses inverses [voyez plus loin n^dSS), renferme une des premières applications que nous ayons faites de l'Analyse des transversales, sera étendu, dans la seconde partie de ces recherches, aux lignes et surfaces géométriques de tous les ordres, et nous conduira à un grand nombre de conséquences curieuses. M. Sturm, qui, le premier, en a donné une démonstration analytique pour les lignes du second ordre, s'est attaché à en montrer la fécondité dans un excellent Mémoire inséré à la page 178 du tome XVII des Annales de Mathématiques, et dont la suite, qui devait contenir les applications du théorème inverse, n'a point été publiée, au grand regret de ceux qui cultivent la Géométrie. Parmi les choses remarquables que contient la partie de ce Mémoire qui a reçu le jour, se trouve, entre autres, une démonstration de la propriété de l'hexagone inscrit de Pascal, fondée absolument sur les mômes principes que celle que nous en avons donnée ci-dessus n° 148, et à laquelle nous étions parvenu dix ans auparavant.

i5o PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

et par conséquent ^

ap.ap'xbq. bq' X cr.jn^ bP . b^' X cQ . cQ' y< aK. aW bp.bp'Xcq.cq' xar.ar' ^ aP.aP' X bQ.bQ' xcK.cR'~''

' Supposons en particulier que les six points /?, q, r, P, Q, R soient pris sur une troisième ligne du second ordre quelconque, il est clair qu'en vertu même du principe cité, tous les segments relatifs à ces points disparaîtront de la relation ci-dessus, et que la nouvelle équation n'exprimera autre chose si ce n'est que les six derniers points jd', q', r', V, Q', R' se trouveront, de leur côté, sur une troisième section conique conjuguée à la précédente.

Supposons encore qu'un ou plusieurs des points appartenant aux mêmes transversales ou aux mêmes côtés du triangle abc soient communs aux deux lignes du second ordre proposées, ou se confondent deux à deux; les segments relatifs à ces points disparaîtront de la relation dont il s'agit, qui demeurera toujours propre à faire trouver l'une des intersections restantes au moyen de toutes les autres.

Par exemple, si les points r et R, r' et R' se réunissent respectivement en un seul ou deviennent communs aux deux courbes, auquel cas la transversale ac se changera en une sécante ou corde indéfinie commune à ces courbes, on aura, entre toutes les intersections restantes, la relation

ap . ap' X bq . bq' bV .bV X cQcQ' bp.bp' X cq.cq' ^ aV .aV xbÇ^.bQ' ~ ' '

qui pourra servir à construire l'une des deux courbes au moyen de l'autre et de certains points donnés, sans qu'il soit nécessaire, pour cela, de recourir aux intersections communes de ces courbes, lesquelles pourront ainsi devenir imaginaires ou se confondre par couples sans que les constructions cessent d'être applicables.

Si les points q' et Q' se réunissaient, à leur tour, en un seul commun à la fois aux deux courbes, la relation ci-dessus se simplifierait encore; et elle exprimerait, conformément à ce qui a déjà été démontré précédemment, que les six intersections appartenant à la transversale ab sont en involution; si, de plus, il arrivait que les points ^ et Q se confondissent également en un seul commun à la fois aux deux courbes, etc., etc.

152. Cas des intersections imaginaires ou coïncidentes . — Enfin on pourrait encore faire intervenir de nouvelles transversales rectilignes contenant, deux par deux, les intersections des proposées, et éliminer de la relation primitive tout ce qui leur appartient en commun. Ces intersections pourraient

SECTION III. - ANALYSE DES TRANSVERSALES. i5i

donc devenir imaginaires, ou se confondre par couples, sans que la relation transformée cessât, pour cela, de conserver une signification réelle, et de fournir des moyens de construire l'une des deux courbes à l'aide de l'autre, censée décrite, et de certaines données. En particulier, il en résulterait des méthodes pour le tracé des osculatrices des lignes du second ordre assujetties en outre à remplir certaines conditions; mais, comme ces méthodes se trouvent indiquées, pour la plupart, dans la Section III du tome P' du Traité des Propriétés projecdves, et qu'elles sont susceptibles de s'étendre, d'une manière analogue, aux osculatrices des lignes géométriques de tous les degrés, nous n'en dirons pas davantage pour le moment, et renverrons le lecteur soit au volume dont il s'agit, soit au § II de la Section IV de celui-ci.

Notre objet étant ici uniquement de faire pressentir la fécondité du principe des transversales, il conviendrait peu de nous étendre sur les nombreux corollaires qui peuvent découler de son application particulière aux lignes du second ordre, corollaires qui se trouvent également exposés dans le Traité des Propriétés projectives, et qui sont trop connus des géomètres pour exciter désormais l'intérêt. Seulement nous ferons remarquer que beaucoup de ces corollaires seraient difficiles à établir si l'on voulait y appliquer directement le principe de Carnot, tandis qu'on les obtiendra sans aucune hésitation, en combinant les conséquences immédiates de ce principe avec les considérations qui résultent de la Théorie des polaires réciproques, considél"ations qui permettent de traduire, sur-le-champ, chaque théorème sur les intersections des lignes courbes, en un autre sur leurs tangences.

153. Théorèmes réciproques relatifs aux systèmes de coniques. — C'est ainsi, par exemple, que le théorème de Pascal, sur l'hexagone inscrit aux lignes du second ordre, qui a été démontré au n° 146 ci-dessus, conduit immédiatement à celui de Brianchon, sur l'hexagone circonscrit à ces mêmes lignes, et que, des théorèmes établis aux n**' 143, 144 et 149, on conclut également ceux qui suivent :

« 1° Si d'un point, choisi à volonté sur le plan d'un, quadrilatère com- » plet formé par la rencontre mutuelle de quatre droites quelconques, on » mène d'autres lignes droites aux six sommets de ce quadrilatère, ces six » lignes droites seront en involution, c'est-à-dire telles, qu'en les coupant » par une transversale arbitraire, les intersections qui en résulteront for- » nieront elles-mêmes entre elles une involution (144). »

t 2° Un quadrilatère simple quelconque étant circonscrit à une ligne du » second ordre, si, d'un point choisi à volonté sur son plan, on mène des

i52 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

» droites vers ses quatre sommets et de plus deux tangentes à la courbe, ces

» six lignes droites seront en involution. »

« 3^ Trois lignes du second ordre quelconques étant inscriptibles à la fois » dans le même quadrilatère, ou ayant les mêmes centres d'homologie, » c'est-à-dire les mêmes points de concours des tangentes communes, les * six tangentes menées, d'un point arbitraire, à ces sections coniques, sont » en involution. »

Ces mêmes théorèmes et tous leurs analogues pourraient, au surplus, être déduits directement de la proposition générale qui a été démontrée aux n°' 129 et 130 de la précédente Section. Mais, sans plus m'arrêter sur ces corollaires, je me hâte de dire quelques mots touchant les applications de la théorie des transversales aux lignes du troisième ordre.