APPLICATION DE LA MÉTHODE AUX LIGNES DU TROISIÈME ORDRE

154. Théorème principal qui en dérive. — Soit une courbe plane du troisième degré considérée comme transversale d'un triangle quelconque abc [fig. 34), tracé sur son plan et dont le côté ab la rencontre aux trois points p, p' , p"\ le côté bc aux trois points q, q\ q"; le côté ca aux trois derniers points r, r\ r" : on aura, en vertu du principe des transversales dû à Carnot,

ap . ap' . ap" X bq . bq' . bq" X cr. cr' . cr"

bp . bp' . bp" X cq.cq' . cq" Xar. ar' . ar"

Supposons, en particulier, que le système des trois couples de points/? et />', q^iq',r&i r' soit à une ligne quelconque du second ordre, on aura aussi l'équation

ap . ap' X bq . bq' X cr. cr'

bp.bp'yc cq.cq' Xar. ar' '

qui réduit la précédente à cette autre

ap" X bq'^ X cr" bp" X cq" X ar" ~ ' '

exprimant évidemment (148 et 149) que les trois dernières intersections p'\ q", r", appartenant à des côtés différents du triangle abc, sont situées sur une même ligne droite.

Réciproquement, si ces intersections sont supposées en ligne droite, l'équation qui leur est relative réduira la proposée à celle qui exprime que les six intersections /?,/>', q, q', r, r' appartiennent à une simple ligne du second ordre.

SECTION III. — ANALYSE DES TRANSVERSALES. i53

Ce théorème, qui s'applique immédiatement au système de trois droites quelconques d'un même plan, considéré comme une ligne du troisième ordre, et que nous verrons, dans le § IV, s'étendre aux courbes géométriques de tous les ordres, coupées par des transversales rectilignes quelconques et en nombre arbitraire, ce théorème, dis-je, peut s'énoncer trèssimplement en cette manière :

Si, parmi les neuf intersections d'une ligne plane du troisième ordre avec trois transversales arbitraires, six quelconques appartiennent à une même ligne du deuxième ordre, les trois intersections restantes seront à une simple ligne droite; et réciproquement, si trois quelconques de ces neuf intersections , appartenant à des transversales distinctes, sont situées sur une même droite^ les six intersections restantes seront à une simple ligne du second ordre.

155. Corollaires relatifs aux tangentes accouplées et asymptotes. — Cet énoncé général conduit à une foule de conséquences particulières relatives aux courbes du troisième degré, dont il nous suffira ici d'indiquer rapidement les principales et les plus dignes d'intérêt.

Supposons, par exemple, qu'on remplace, dans ce même énoncé, la ligne du second ordre dont il y est fait mention, par le système de deux nouvelles droites arbitraires, le théorème subsistera toujours à l'égard des trois dernières intersections qui demeureront en ligne droite; et si, plus particulièrement encore, on suppose que les droites composant ce système viennent à se réunir en une seule, on sera conduit à ce corollaire :

Lorsque les points de contact de trois tangentes d'une ligne quelconque du troisième ordre sont situés sur une même droite, les trois intersections nouvelles de la courbe et de ces tangentes sont elles-mêmes en ligne droite.

Donc aussi :

Les trois asymptotes d'une ligne du troisième ordre rencontrent la courbe en trois nouveaux points qui sont situés sur une même droite.

156. Points d'inflexion. — On sait que la tangente au point d'inflexion d'une ligne du troisième ordre contient trois points consécutifs de la courbe; donc, en vertu de notre premier théorème.

Si, par l'un des points d'inflexion d'une courbe du troisième degré, on mène trois transversales arbitraires, les six intersections nouvelles de ces transversales et de la courbe seront à une simple ligne du second ordre, de sorte que trois quelconques d'entre elles, appartenant à des transversales distinctes, ayant été prises sur une même droite, les trois intersections restantes seront également à une autre droite.